函數(shù)中的三 類易錯(cuò)題

胡 玨

有些同學(xué)在做函數(shù)問題時(shí)，感覺做對(duì)了，結(jié)果卻又做錯(cuò)了。這主要是由于同學(xué)們對(duì)概念、性質(zhì)理解不透導(dǎo)致的。為了幫助同學(xué)們更好地掌握這部分內(nèi)容，下面以例題的形式總結(jié)了函數(shù)問題中的3類易錯(cuò)題。

一、概念問題

例1 已知函數(shù)y=（m-1）y||m+5m是一次函數(shù)，則m的值為（ ）。

A.1 B.-1 C.0或-1 D.1或-1

【錯(cuò)解】D。

【錯(cuò)因】忽略一次函數(shù)定義中的隱含條件。

【正解】B。

【點(diǎn)評(píng)】本題根據(jù)一次函數(shù)的概念求m的取值范圍時(shí)，要考慮兩個(gè)方面，一是函數(shù)的指數(shù)為1，二是該函數(shù)的一次項(xiàng)不能為0。同學(xué)們很容易忽略第二點(diǎn)。

二、性質(zhì)運(yùn)用問題

1.反比例函數(shù)中的幾何意義。

【錯(cuò)因】錯(cuò)解知道k的幾何意義，但忽略了圖像的性質(zhì)。當(dāng)k＜0時(shí)，圖像在第二、四象限。

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是k的幾何意義，同學(xué)們?nèi)菀缀鲆昸的值還與圖像的位置有關(guān)。

2.二次函數(shù)中的平移。

例3 若拋物線y=x2-2x+3不動(dòng)，將平面直角坐標(biāo)系先沿水平方向向右平移1個(gè)單位長度，再沿豎直方向向上平移3個(gè)單位長度，則原拋物線的表達(dá)式應(yīng)變?yōu)開______。

【錯(cuò)解】y=（x-2）2+5。

【錯(cuò)因】錯(cuò)解誤將平移平面直角坐標(biāo)系看作平移拋物線。

【正解】y=x2-1。

【點(diǎn)評(píng)】拋物線的平移規(guī)律為“左加右減，上加下減”，這個(gè)規(guī)律的適用范圍是坐標(biāo)系不動(dòng)，拋物線平移。本題是拋物線不動(dòng)，坐標(biāo)系平移，所以平移規(guī)律與上述規(guī)律正好相反。

3.函數(shù)圖像。

例4 在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=ax+b與y=bx2+ax的圖像可能是（ ）。

【錯(cuò)解】B、C或D。

【錯(cuò)因】遺忘一次函數(shù)的圖像性質(zhì)，難以根據(jù)一次函數(shù)圖像信息判斷a、b分別與0的大小關(guān)系；或者不清楚二次函數(shù)的圖像性質(zhì)，判斷出了拋物線開口方向，卻忽略了頂點(diǎn)位置。

【正解】若a＞0，b＞0，則y=ax+b經(jīng)過第一、二、三象限，y=bx2+ax開口向上，頂點(diǎn)在y軸左側(cè)，故B、C錯(cuò)誤；若a＜0，b＜0，則y=ax+b經(jīng)過第二、三、四象限，y=bx2+ax開口向下，頂點(diǎn)在y軸左側(cè)，故D錯(cuò)誤；若a＞0，b＜0，則y=ax+b經(jīng)過第一、三、四象限，y=bx2+ax開口向下，頂點(diǎn)在y軸右側(cè)，故A正確。

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖像，解題的關(guān)鍵是明確函數(shù)圖像性質(zhì)，利用分類思想解答。

三、分類問題

1.對(duì)“函數(shù)”概念的理解。

例5 如果函數(shù)y=mx2-6x+2的圖像與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，則m的值為_______。

【錯(cuò)解】∵y=mx2-6x+2的圖像與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，∴由b2-4ac=0，解得m=。

【錯(cuò)因】審題不清。題目條件是函數(shù)，該函數(shù)可以是一次函數(shù)，也可以是二次函數(shù)。所以要分類討論：如果m=0，函數(shù)是一次函數(shù)，圖像與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，符合題意；如果m≠0，函數(shù)是二次函數(shù)，當(dāng)b2-4ac=0時(shí)，頂點(diǎn)在x軸上，也符合只有一個(gè)公共點(diǎn)。

【點(diǎn)評(píng)】審題時(shí)要區(qū)分題目中的“函數(shù)”“二次函數(shù)”“一次函數(shù)”等概念性詞語。

2.求函數(shù)表達(dá)式。

例6 已知一次函數(shù)y=kx+b中自變量x的取值范圍是-4≤x≤2，相應(yīng)的函數(shù)值的取值范圍是-5≤y≤7。求此函數(shù)的表達(dá)式。

【錯(cuò)解】把x=-4，y=-5；x=2，y=7代入一次函數(shù)表達(dá)式中，可得{-4k+b=-5，解得{k=2，2k+b=7， b=3，則這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式是y=2x+3。

【錯(cuò)因】x的取值范圍與y取值范圍的對(duì)應(yīng)關(guān)系，并不是x與y的對(duì)應(yīng)關(guān)系，所以應(yīng)當(dāng)有兩種情況。

【正解】（1）當(dāng)k＞0時(shí)，y隨x的增大而增大。x=-4時(shí)，y=-5；x=2時(shí)，y=7，同上解。（2）當(dāng)k＜0時(shí)，y隨x的增大而減小。x=-4時(shí)，y=7；x=2時(shí)，y=-5。同理，由待定系數(shù)法可得函數(shù)表達(dá)式為y=-2x-1。綜上所述，這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式是y=2x+3或y=-2x-1。

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查一次函數(shù)的性質(zhì)。當(dāng)k＞0時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)k＜0時(shí)，y隨x的增大而減小。注意要分情況討論。

例7 若一次函數(shù)的圖像y=kx+b與兩坐標(biāo)軸圍成三角形的面積是8，且過點(diǎn)（0，2），求此一次函數(shù)的解析式。

【錯(cuò)解】設(shè)一次函數(shù)的圖像與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，則OB=2?！咧本€與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是8，∴×OB×OA=8，

OA=8?！帱c(diǎn)A的坐標(biāo)為（8，0），由待定系數(shù)法可得此函數(shù)表達(dá)式為y=-x+2。

【錯(cuò)因】當(dāng)OA=8時(shí)，忽視點(diǎn)A的坐標(biāo)有兩種可能：（8，0）或（-8，0）。

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查用待定系數(shù)法求一次函數(shù)表達(dá)式，要分情況討論。