整數(shù)乘分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)路徑優(yōu)化的實證研究

鞏子坤，朱賢梅，2，王 旭

（1.杭州師范大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310000；2.杭州市第十一中學(xué)，浙江 杭州 310000）

一、問題提出

分?jǐn)?shù)是小學(xué)數(shù)學(xué)的關(guān)鍵內(nèi)容，它為學(xué)習(xí)有理數(shù)和分式做了鋪墊，在數(shù)學(xué)的知識結(jié)構(gòu)中具有重要地位。分?jǐn)?shù)乘法是乘法意義的一次擴(kuò)展，分?jǐn)?shù)乘法算理的理解和算法的掌握，直接影響分?jǐn)?shù)除法的學(xué)習(xí)。[1]《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識，不能依賴死記硬背，而應(yīng)以理解為基礎(chǔ)；在基本技能的教學(xué)中，不僅要使學(xué)生掌握技能操作的程序和步驟，還要使學(xué)生理解程序和步驟的道理。[2]但在實際學(xué)習(xí)中，學(xué)生往往只是記住了運算法則，并沒有真正明白算理。因而，學(xué)生只是具備了運算技能，而不是運算能力。為了提高學(xué)生的運算能力，讓學(xué)生真正理解分?jǐn)?shù)乘法的算理，就必須要探索有利于學(xué)生理解的分?jǐn)?shù)乘法學(xué)習(xí)路徑。

學(xué)習(xí)路徑就是為了達(dá)成教學(xué)目標(biāo)而設(shè)計的任務(wù)序列，這些任務(wù)之間具有一定的邏輯遞進(jìn)關(guān)系，這些任務(wù)是指向教學(xué)目標(biāo)的。也就是說，我們教材中設(shè)計的活動或者例子序列，就是一個學(xué)習(xí)路徑。

我國小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，分?jǐn)?shù)乘法一般分為“分?jǐn)?shù)乘整數(shù)”“整數(shù)乘分?jǐn)?shù)”和“分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)”三個部分，其中“整數(shù)乘分?jǐn)?shù)”是承上啟下的內(nèi)容，也是關(guān)鍵環(huán)節(jié)。本文針對該部分內(nèi)容的教學(xué)進(jìn)行研究。主要回答的問題是：教師在教學(xué)中實施了怎樣的學(xué)習(xí)路徑？學(xué)習(xí)路徑是怎樣逐步得到優(yōu)化與完善的？對教材編寫、教學(xué)實施的建議是什么?

二、研究設(shè)計

（一）研究對象

選取杭州市某小學(xué)六年級兩個平行班，記為甲班、乙班。學(xué)生的期末數(shù)學(xué)考試成績和研究者的前測數(shù)據(jù)表明，兩個班級的學(xué)生數(shù)學(xué)成績沒有顯著差異，執(zhí)教教師S教齡5年。

（二）研究程序

研究步驟如圖1所示。

（三）數(shù)據(jù)收集

通過課堂教學(xué)觀察與課后對學(xué)生的測試來說明學(xué)習(xí)路徑是否得到了優(yōu)化，主要采用課堂觀察法、問卷調(diào)查法、訪談法以及行動研究法來收集數(shù)據(jù)。包括：研討錄像，教學(xué)設(shè)計，課堂作業(yè)，后測及訪談。

圖1 研究的實施步驟

（四）學(xué)生測試

1.理論模型

為了幫助學(xué)生更好地理解分?jǐn)?shù)乘法的算理，探究有利于學(xué)生理解的分?jǐn)?shù)乘法學(xué)習(xí)路徑，將學(xué)生的理解類型（或者說分?jǐn)?shù)乘法算理的表征方式）劃分為以下三種[3]（如表1）。

表1 學(xué)生分?jǐn)?shù)乘法的理解類型

2.測試材料

先列式計算，再用盡可能多的方法，如文字解釋、畫直觀圖、列算式等方法，說明你的回答是正確的，說明過程書寫得越詳細(xì)越好。

（1）一個長方形蛋糕的長是3 厘米，寬是2 厘米，長方形的面積是多少？（2）冰箱里有3 個蘋果，小新吃了其中的，請問小新一共吃了多少個蘋果？

3.計分標(biāo)準(zhǔn)

根據(jù)學(xué)生的回答，參照表1的理解類型，對學(xué)生的理解進(jìn)行分類、計分，每類理解，正確計1分，錯誤或者沒有回答計0分，最高得3分。

最終以學(xué)生理解水平的提升程度、學(xué)生的課堂表現(xiàn)和課后訪談為依據(jù)，探查整數(shù)乘分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)路徑是否得到了優(yōu)化。

三、研究結(jié)果與分析

（一）干預(yù)前S老師設(shè)計的學(xué)習(xí)路徑B1 1.學(xué)習(xí)路徑B1呈現(xiàn)

在不受任何干預(yù)的情況下，S老師獨立備課，并完成授課。根據(jù)課堂實錄以及教學(xué)設(shè)計，得到S 老師實施的學(xué)習(xí)路徑B1（如圖2所示）。

圖2 干預(yù)前S老師實施的整數(shù)×分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)路徑B1

由圖2可知，S 老師選擇了與教材中分?jǐn)?shù)乘法例2(“一桶水有12 升，3 桶水共多少升？桶是多少升？桶是多少升？”[4])類似的模型進(jìn)行教學(xué)設(shè)計，由整數(shù)乘法的意義入手，遷移該意義（3 倍、），進(jìn)而列出乘法算式，并借助分?jǐn)?shù)的意義來理解算理、推導(dǎo)法則。

2.學(xué)習(xí)路徑B1的實施效果

學(xué)生后測情況統(tǒng)計如表2。從表2可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生程序理解的平均得分為0.681，表明有較多的學(xué)生計算錯誤。分析發(fā)現(xiàn)，學(xué)生錯誤的原因在于沒有能夠列出正確的乘法算式，因此，教師要幫助學(xué)生理解分?jǐn)?shù)乘法的意義。直觀理解的平均得分0.085分，只有7位學(xué)生勉強(qiáng)畫出方格圖進(jìn)行直觀表征，個別學(xué)生畫出了線段圖，但這種表征并不直觀。學(xué)生直觀理解水平之低提醒我們，必須補(bǔ)上直觀表征這一課。學(xué)生抽象理解水平較好，但平均得分也只是0.361。

表2 第一次教學(xué)后理解類型的平均得分

3.存在的問題

為什么后測效果如此差呢？通過分析教學(xué)實錄、聽取教師反饋以及開展教學(xué)研討，我們發(fā)現(xiàn)以下問題。

（1）關(guān)鍵任務(wù)的作用沒有凸顯

整數(shù)乘分?jǐn)?shù)的關(guān)鍵任務(wù)并不是任務(wù)1，而是任務(wù)2，因為任務(wù)2 才具有一般性，任務(wù)2 才觸及了整數(shù)乘分?jǐn)?shù)的算理。但由于任務(wù)1求得的結(jié)果均為整數(shù)，借助分?jǐn)?shù)的意義用除法算式求出，就無須直觀表征，而任務(wù)2、任務(wù)3 都沒有直觀表征。但是講解分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)時，必須使用直觀表征：直觀表征才能夠講清楚算理與算法。因而，啟下的作用無法發(fā)揮，就沒有為分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)做好鋪墊。而教材的例2出現(xiàn)的問題與任務(wù)1如出一轍。

（2）任務(wù)情境選取不當(dāng)

從課堂教學(xué)、學(xué)生后測、學(xué)生課堂作業(yè)單中發(fā)現(xiàn)，很少有學(xué)生能夠?qū)λ憷磉M(jìn)行直觀表征。由于S教師在課堂教學(xué)中沒有引導(dǎo)學(xué)生利用直觀，選用“千克”與教材中例2 的“升”相似，容易用一維的線段圖直觀表征。然而，線段圖容易表征一維的加減運算，而不利于表征二維的乘法運算。分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)，顯然需要二維的面積圖來表征。

（3）分?jǐn)?shù)乘法的意義未有效滲透

從課堂教學(xué)來看，首先是整數(shù)乘整數(shù)（15×3）；然后遷移整數(shù)乘法的意義，得到“求15的”仍然用乘法即；進(jìn)一步，求得結(jié)果是5。按照這樣的教學(xué)思路就變成了“求一個數(shù)的幾分之幾是多少，就用這個數(shù)乘幾分之幾”。顯然這樣表述不符合教材中的“一個數(shù)乘幾分之幾表示的是求這個數(shù)的幾分之幾是多少”，邏輯上反了過來。即便把邏輯關(guān)系理清楚了，還有一個更加本質(zhì)的問題：即求一個數(shù)的幾分之幾是多少，為什么用乘法，而不是加法或者減法。

關(guān)鍵任務(wù)與任務(wù)情境均涉及算理的直觀理解與抽象理解，乘法的意義涉及算理的程序理解，因而，本次教學(xué)效果較差也就在情理之中了。

4.改進(jìn)建議

抓住本質(zhì)性、代表性的任務(wù)，多種表征講清算理，并進(jìn)而得到法則。同時，這個任務(wù)要能夠啟下，即為分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)做好方法論的鋪墊，能夠蘊含分?jǐn)?shù)乘法的意義。這個任務(wù)必須是這樣的結(jié)果為分?jǐn)?shù)的任務(wù)。

（2）用面積模型作為任務(wù)情境

用“月餅”等面積模型作為任務(wù)情境，可以為后面講解分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)做好鋪墊。如果僅就整數(shù)乘分?jǐn)?shù)而言，可以利用線段圖來表征，但是如果貫通來看，二維面積圖就具有了一致性、本質(zhì)性。

（3）合乎邏輯地滲透分?jǐn)?shù)乘法的意義

學(xué)生已經(jīng)清楚求幾個相同加數(shù)的和用乘法；在整數(shù)乘分?jǐn)?shù)中，可以總結(jié)出求一個數(shù)的幾分之幾也用乘法。因此可以得到：求幾個相同加數(shù)的和用乘法，求一個數(shù)的幾分之幾也用乘法。這就順利實現(xiàn)了分?jǐn)?shù)乘法意義的擴(kuò)展。當(dāng)然，對于乘法而言，一次更大的擴(kuò)展是“負(fù)負(fù)得正”。

（二）修改后的學(xué)習(xí)路徑B2

1.學(xué)習(xí)路徑B2呈現(xiàn)

通過課后研討與S 老師課后反思，重新修改的學(xué)習(xí)路徑B2如圖3。

圖3 修改后的整數(shù)×分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)路徑B2

教學(xué)任務(wù)由整數(shù)乘法引入：一盒有3 個月餅，（1）吃3 盒是多少個？（2）吃1 盒是多少個？“1”是臨界情況。上述兩個任務(wù)是“溫故”，為整數(shù)乘分?jǐn)?shù)做鋪墊。以下任務(wù)是“知新”。（3）吃盒，是多少個？這是整數(shù)×單位分?jǐn)?shù)結(jié)果為整數(shù)；引入整數(shù)乘分?jǐn)?shù)。（4）吃盒，是多少個？這是整數(shù)×單位分?jǐn)?shù)，結(jié)果是分?jǐn)?shù)，這是關(guān)鍵、難點，也是著力點。（5）吃盒，是多少個？這是整數(shù)×非單位分?jǐn)?shù)，結(jié)果是分?jǐn)?shù)。路徑B2利用面積模型，促進(jìn)學(xué)生對分?jǐn)?shù)乘法算理的理解。該路徑將整數(shù)乘法的意義引申到分?jǐn)?shù)乘法上來，實現(xiàn)了算理、算法與意義的統(tǒng)一。

2.學(xué)習(xí)路徑B2的實施效果

后測結(jié)果如表3。

表3 第二次教學(xué)后不同理解類型的平均得分

對比表2、表3，第二次教學(xué)后，不同理解類型得分均有大幅度提升，這表明，實施學(xué)習(xí)路徑B2，取得了良好的效果。

3.存在問題

T：你會列式嗎？你會畫圖嗎？

T：“求一個數(shù)的幾分之幾是多少，用乘法”

從上述片斷中，我們發(fā)現(xiàn)以下問題：

（1）“承前”，即承“分?jǐn)?shù)乘整數(shù)”的舊知識。學(xué)生先列出了算式，再來直觀表征算式的意義與結(jié)果。但是我們以為，應(yīng)該先有直觀表征，基于直觀表征，才有了算式。“承前”應(yīng)該是把整數(shù)乘分?jǐn)?shù)的算法轉(zhuǎn)化成了分?jǐn)?shù)乘整數(shù)。而顯然，整數(shù)乘分?jǐn)?shù)的意義不能夠轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)乘整數(shù)（分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的意義本質(zhì)上就是整數(shù)乘法的意義）。

（2）“啟后”，即啟“分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)”的新知識。關(guān)鍵有兩點：一是直觀表征整數(shù)乘分?jǐn)?shù)的算理，為分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)做鋪墊。學(xué)生對算理的直觀表征（見S1的畫圖），他把每個月餅看成了一個整體。而把每個月餅作為一個整體，還是整數(shù)的思維方式，只有把所有的月餅看成一個整體，才是整體的思維方式。當(dāng)接下來學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)，沒有了整數(shù)，這樣的直觀表征就不再適合。二是分?jǐn)?shù)乘法意義的獲得，即“求一個數(shù)的幾分之幾是多少，用乘法”。但教師并沒有借助直觀表征說明“一個數(shù)的幾分之幾，如何轉(zhuǎn)換成乘法”。在完成所有的教學(xué)任務(wù)后，學(xué)生的思維受阻，沒能自主總結(jié)出分?jǐn)?shù)乘法的意義。

4.改進(jìn)建議

（1）承上：利用“分?jǐn)?shù)乘整數(shù)”的算理、算法，闡釋整數(shù)乘分?jǐn)?shù)的算理、推導(dǎo)法則。

（2）啟下：利用“整數(shù)乘分?jǐn)?shù)”的知識，得到“求一個數(shù)的幾分之幾是多少，用乘法”，從而為“分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)”列出乘法算式做鋪墊。

（三）完善的學(xué)習(xí)路徑B3

我們建議的整數(shù)×分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)路徑B3如圖4。

圖4 優(yōu)化的整數(shù)×分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)路徑B3

四、結(jié)論與建議

（一）重點任務(wù)

整數(shù)乘分?jǐn)?shù)包括整個分?jǐn)?shù)乘法中，最最重要的任務(wù)是“整數(shù)乘分?jǐn)?shù)”，而其中的執(zhí)牛耳者是，這個關(guān)鍵任務(wù)完成了，就解決了分?jǐn)?shù)乘法的算理、算法，也解決了分?jǐn)?shù)乘法的意義。因而，建議教材增加這個任務(wù)。

（二）直觀表征

對于分?jǐn)?shù)乘法、分?jǐn)?shù)除法，表征算理的最好方式是直觀。[5-6]而由于乘法運算是二維運算，因而，面積模型具有本質(zhì)性、代表性。這個直觀模型具有前后一致性：無論分?jǐn)?shù)乘法、還是分?jǐn)?shù)除法，均可使用。建議教材放棄對線段圖的偏愛，也放棄對水桶的偏愛，使用面積模型。

（三）分?jǐn)?shù)乘法的意義

分?jǐn)?shù)乘法是乘法意義的一次擴(kuò)展，我們無法也不能夠回避。在介紹小數(shù)乘法時，我們刻意回避了乘法的意義；在即將學(xué)習(xí)負(fù)數(shù)乘負(fù)數(shù)時，乘法的意義具有了形式化的特征，我們不得不回避。[7]既如此，如果此時不直面乘法意義的拓展，我們就再也沒有機(jī)會來體會乘法的意義了。建議以整數(shù)乘分?jǐn)?shù)為載體，抓住難得的機(jī)遇，承上啟下，滲透、介紹分?jǐn)?shù)乘法的意義?！?/p>