數(shù)學(xué)教材“拓展欄目”：價(jià)值挖掘與實(shí)現(xiàn)策略
——基于人教A版“數(shù)列”章節(jié)的分析

張定強(qiáng)，梁會(huì)芳

（西北師范大學(xué)教育學(xué)院，甘肅 蘭州 730070）

教材作為教育教學(xué)權(quán)威、穩(wěn)定、直接、系統(tǒng)的課程資源，是教師和學(xué)生之間的紐帶，鉆研教材、吃透教材、把握教材、運(yùn)用教材是教育教學(xué)有效運(yùn)行的基本保障。為了貫徹《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》所提出的“通過在高中階段數(shù)學(xué)文化的學(xué)習(xí)，學(xué)生將體會(huì)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值、人文價(jià)值，尋求數(shù)學(xué)進(jìn)步的歷史軌跡，受到優(yōu)秀文化的熏陶，領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)的美學(xué)價(jià)值”[1]這一理念，人教A版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書在編制的過程中，富有創(chuàng)意地設(shè)置了“閱讀與思考”“探究與發(fā)現(xiàn)”“信息技術(shù)的應(yīng)用”等多種“拓展欄目”，這些拓展欄目是教材的重要組成部分，是對(duì)教材正文的進(jìn)一步補(bǔ)充與延伸，從而建構(gòu)了完整的教材體系。本文將結(jié)合人教A版“數(shù)列”章節(jié)，挖掘“拓展欄目”所蘊(yùn)含的價(jià)值，并探討其實(shí)現(xiàn)策略。

一、“拓展欄目”的價(jià)值挖掘

（一）“拓展欄目”的基本認(rèn)知

“拓展”一詞在《現(xiàn)代漢語詞典》解釋如下：“拓”有開辟、擴(kuò)充之意；“展”為張開、擴(kuò)大的意思；“拓展”意指開拓、發(fā)展。由以上的解釋不難看出，“拓展”就是在原有的基礎(chǔ)上，增加新的東西，使原有的內(nèi)涵不斷豐富。因此，數(shù)學(xué)教材中的“拓展欄目”就是不斷增潤(rùn)正文部分的內(nèi)涵與外延，以開拓學(xué)生知識(shí)視野與認(rèn)知視域，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，喚醒數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)熱情，發(fā)展數(shù)學(xué)思維方式，增強(qiáng)數(shù)學(xué)實(shí)踐能力，豐富應(yīng)用意識(shí)以及提升數(shù)學(xué)綜合素質(zhì)等。

高中數(shù)學(xué)人教A版教材在“數(shù)列”這一章節(jié)中，所設(shè)置的拓展欄目基本概況如表1所示。[2]

表1 “數(shù)列”章節(jié)“拓展欄目”概況

不難看出，“數(shù)列”章節(jié)當(dāng)中“拓展欄目”均選用與數(shù)列強(qiáng)相關(guān)的素材，并將這些拓展性課程資源嵌套在數(shù)列章節(jié)中，以增強(qiáng)數(shù)列知識(shí)的趣味性、吸引力和應(yīng)用性，豐富數(shù)列知識(shí)的內(nèi)涵。從正文與拓展欄目的分布情況來看，全章節(jié)共44個(gè)頁面，其中拓展欄目有7個(gè)頁面，占比近16%。從與正文的關(guān)聯(lián)來看，“斐波那契數(shù)列”是對(duì)“章頭圖”“章引言”所蘊(yùn)含知識(shí)的具體化例說；“九連環(huán)”“購(gòu)房中的數(shù)學(xué)”是借助于中國(guó)古老智力游戲與現(xiàn)實(shí)生活中的問題來豐富等比數(shù)列的前n項(xiàng)和一節(jié)內(nèi)容；“估計(jì)的值”是從數(shù)學(xué)史上的第一次數(shù)學(xué)危機(jī)出發(fā)來構(gòu)造特殊的數(shù)列，運(yùn)用迭代和算法思想來關(guān)聯(lián)數(shù)列的非等差、等比類型。

（二）“拓展欄目”蘊(yùn)藏的價(jià)值分析

數(shù)學(xué)教材作為教與學(xué)的有效課程資源，承載著人類數(shù)學(xué)知識(shí)的精華。[3]而“拓展欄目”作為數(shù)學(xué)教材當(dāng)中傳遞數(shù)學(xué)知識(shí)的重要資源，在教育教學(xué)的過程中，充分挖掘其價(jià)值，能夠使數(shù)學(xué)教學(xué)達(dá)到事半功倍的效果。

1.文化價(jià)值

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》明確提出，通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，應(yīng)使學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值。[4]數(shù)學(xué)作為人類文化的重要組成部分，承載著開發(fā)學(xué)生思維、培養(yǎng)學(xué)生人文情懷與審美意識(shí)的重要功能。而“拓展欄目”作為數(shù)學(xué)教材當(dāng)中數(shù)學(xué)文化的一個(gè)有效載體，通過數(shù)學(xué)概念、命題、定理等的拓展，開拓學(xué)生的知識(shí)視野，加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解與掌握。通過介紹數(shù)學(xué)文化（如展示數(shù)學(xué)家所經(jīng)歷的艱苦漫長(zhǎng)的探究過程，像數(shù)學(xué)的第一次危機(jī)等），使學(xué)生充分體會(huì)和把握數(shù)學(xué)文化的形成過程，感悟其中所蘊(yùn)含的思想方法，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，感受數(shù)學(xué)的魅力，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心。

如“數(shù)列”中的“閱讀與思考”中的斐波那契數(shù)列，是以斐波那契在《算盤全書》中所提出的兔子繁殖問題為導(dǎo)向，利用表格的形式將兔子對(duì)數(shù)羅列出來，讓學(xué)生從中發(fā)現(xiàn)所蘊(yùn)藏的數(shù)學(xué)規(guī)律，得到斐波那契數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144…并通過觀察、比較、分析，得出其遞推公式，感悟數(shù)學(xué)家在探究知識(shí)過程中的思維方式以及大自然當(dāng)中所蘊(yùn)藏的美妙規(guī)律，有助于培養(yǎng)學(xué)生的探究能力與文化素養(yǎng)。另外，斐波那契數(shù)列還有著廣泛的應(yīng)用價(jià)值，好多自然現(xiàn)象如花朵、向日葵、樹枝等呈現(xiàn)類似規(guī)律，在這些規(guī)律的探索中可以讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)黃金分割、“魔術(shù)師的地毯”、楊輝三角、尾數(shù)循環(huán)、數(shù)字謎題等與斐波那契數(shù)列密切聯(lián)系的數(shù)學(xué)規(guī)律。[5]還有“的探索”，是數(shù)學(xué)史上最經(jīng)典的數(shù)學(xué)案例，啟發(fā)學(xué)生對(duì)有理數(shù)與無理數(shù)辯證關(guān)系的反思，通過對(duì)這些與之相關(guān)的數(shù)學(xué)史料的教材呈現(xiàn)，促使學(xué)生感知數(shù)學(xué)文化的博大精深，體會(huì)和理解數(shù)學(xué)的魅力，從而提高學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生的審美意識(shí)與人文情懷。

2.育人價(jià)值

通過高中階段的數(shù)學(xué)教育，應(yīng)當(dāng)使學(xué)生“會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界；會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考世界；會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界”，這“三會(huì)”的培養(yǎng)目標(biāo)與數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)可以說是等價(jià)的。[6]為了有效地將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)融入數(shù)學(xué)教育的過程當(dāng)中，新課標(biāo)在制定的過程中，將“三會(huì)”目標(biāo)具體化，形成了六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，并指出情境與問題、知識(shí)與技能、思維與表達(dá)、交流與反思是體現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的四個(gè)方面。[7]教材作為這四個(gè)方面的具體化，通過創(chuàng)設(shè)情境設(shè)置精妙問題將知識(shí)與技能、思維與表達(dá)、反思與交流融為一體，讓學(xué)生通過對(duì)問題的觀察、分析與解決來提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。因此教材中的問題情境創(chuàng)設(shè)要能調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情與積極性，適合學(xué)生的認(rèn)知水平和已有經(jīng)驗(yàn)，那么選擇適合學(xué)生最近發(fā)展區(qū)的材料，運(yùn)用適切的語言表達(dá)方式來呈現(xiàn)就是實(shí)現(xiàn)育人目標(biāo)的重要舉措?！巴卣箼谀俊弊鳛閿?shù)學(xué)教材當(dāng)中的有效資源，主要通過數(shù)學(xué)史、知識(shí)拓展、數(shù)學(xué)探究、數(shù)學(xué)建模等方面的素材，補(bǔ)充、完善、拓展正文中的選材，給學(xué)生“三會(huì)”留下更廣闊的思維空間，引導(dǎo)學(xué)生深度介入數(shù)學(xué)的源與流、數(shù)學(xué)的道與術(shù)，并通過自主探索、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流等方式探究、感悟與之相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)。

如“數(shù)列”章節(jié)中的“購(gòu)房中的數(shù)學(xué)”，以現(xiàn)實(shí)生活中居民在購(gòu)房時(shí)所遇到的困惑為出發(fā)點(diǎn)，要求學(xué)生根據(jù)所學(xué)數(shù)列知識(shí)，在考慮該居民家庭經(jīng)濟(jì)狀況的前提下，結(jié)合貸款評(píng)估員所提供的信息與建議，為其選擇購(gòu)房的最佳方案。通過解決這一現(xiàn)實(shí)問題，讓學(xué)生充分意識(shí)到數(shù)學(xué)不僅是訓(xùn)練思維的重要工具，也是解決現(xiàn)實(shí)問題的有效手段，是“三會(huì)”目標(biāo)的具體體現(xiàn)。通過這個(gè)現(xiàn)實(shí)問題的解決，有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算以及數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

3.發(fā)展價(jià)值

發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)教育目標(biāo)的具體化，隨著時(shí)代的發(fā)展，信息技術(shù)正在逐漸滲透到教育教學(xué)當(dāng)中，這對(duì)教師的教以及學(xué)生的學(xué)產(chǎn)生著深刻的影響，也影響著數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)養(yǎng)成的路徑與方式。信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的有機(jī)融合已成為時(shí)代發(fā)展的必然趨勢(shì)，未來教育形態(tài)將是與信息技術(shù)全面融合的教育體系。因此，教師必須以信息技術(shù)為抓手，根據(jù)時(shí)代發(fā)展的要求，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)實(shí)踐創(chuàng)新能力。[8]“信息技術(shù)應(yīng)用”這一拓展欄目就是信息技術(shù)融入課程領(lǐng)域的表征，信息技術(shù)作為環(huán)境、手段、內(nèi)容、思想已深深地嵌入到數(shù)學(xué)教材中，在“拓展欄目”中信息技術(shù)類型在人教A 版中占比37.5%，在正文中比例也不小，隨著新課標(biāo)頒布以及新的數(shù)學(xué)教材編寫，信息技術(shù)將會(huì)以新的態(tài)勢(shì)融入其中，不僅變革教材中數(shù)學(xué)知識(shí)技能、思維表達(dá)、交流反思的方式方法，而且變革教與學(xué)的生態(tài)環(huán)境，將更加充分地培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力、批判性思維能力以及合作與交流、自主發(fā)展和信息素養(yǎng)等。[9]

二、“拓展欄目”的實(shí)現(xiàn)策略

“拓展欄目”的設(shè)置，豐富了課程資源，增加了教材的彈性，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效資源。但由于該欄目是作為一種選學(xué)內(nèi)容，課標(biāo)并未對(duì)其提出明確的實(shí)現(xiàn)要求，致使其價(jià)值旁落，在實(shí)際數(shù)學(xué)教育教學(xué)過程中往往處于一種“邊緣化”的狀態(tài)。因此，在解讀與運(yùn)用“拓展欄目”素材時(shí)，要在理念上高度重視，在行為上傾心投入，在評(píng)價(jià)上抓鐵有痕。

（一）在理念上高度重視，把“拓展欄目”作為數(shù)學(xué)課程不可或缺的組成部分

理念是行動(dòng)的先導(dǎo)?！巴卣箼谀俊敝栽趯?shí)際的教學(xué)過程中淪為一種“擺設(shè)”，在很大程度上是因?yàn)閹熒鷮?duì)于其價(jià)值與作用的認(rèn)識(shí)不到位，致使師生對(duì)“拓展欄目”的教與學(xué)持消極的態(tài)度。如“數(shù)列”章節(jié)中的“九連環(huán)”這一拓展欄目，在以往的教學(xué)過程中，由于師生對(duì)于其蘊(yùn)含的思維方式認(rèn)識(shí)不到位，認(rèn)為該內(nèi)容比較抽象，理解難度大，并且與教材正文的相關(guān)性“看似”不明顯，升學(xué)考試也未對(duì)其提出明確的要求，故往往將其棄之，導(dǎo)致其教育價(jià)值得不到發(fā)揮。因此，在實(shí)際教學(xué)的過程中，作為教學(xué)組織者與引導(dǎo)者的教師應(yīng)將“拓展欄目”視為數(shù)學(xué)教育體系不可或缺的重要組成部分，在認(rèn)真學(xué)習(xí)、研究、理解和掌握“拓展欄目”內(nèi)容的基礎(chǔ)上，準(zhǔn)確分析其在教材中的地位與作用，高度重視“拓展欄目”所扮演的角色，切不可喧賓奪主，亦不可放任自流，應(yīng)積極引導(dǎo)學(xué)生深入挖掘其文化價(jià)值、育人價(jià)值、發(fā)展價(jià)值。學(xué)生作為學(xué)習(xí)的主體，應(yīng)轉(zhuǎn)變數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)功利性的態(tài)度，注重自身的個(gè)性發(fā)展以及未來人生規(guī)劃的思考，重視“拓展欄目”的學(xué)習(xí)，認(rèn)真品味其中所蘊(yùn)含的思想和方法，通過拓展欄目的學(xué)習(xí)培養(yǎng)主動(dòng)探索數(shù)學(xué)的興趣。

（二）在行為上傾心投入，把“拓展欄目”作為教學(xué)設(shè)計(jì)、實(shí)施、反思的重要任務(wù)

學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，最終要落在具體的教學(xué)過程當(dāng)中，教材“拓展欄目”的設(shè)置，為其提供了有效的路徑。如“數(shù)列”章節(jié)的“章引言”“數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單的表示法”的教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施中，切不可遺失對(duì)“閱讀與思考”欄目中“斐波那契數(shù)列”的設(shè)計(jì)與實(shí)施，在分析數(shù)列概念及表示法的過程中也要把斐波那契數(shù)列作為教學(xué)過程中的孕育點(diǎn)與生長(zhǎng)點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生閱讀并啟發(fā)學(xué)生觀察自然現(xiàn)象中的斐波那契規(guī)律。再如對(duì)值的探索，教師可以根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知水平以及實(shí)際經(jīng)驗(yàn)，結(jié)合本節(jié)數(shù)列概念的設(shè)計(jì)，在構(gòu)造無窮數(shù)列中探索的值究竟是多少，將此問題融入實(shí)際教學(xué)過程當(dāng)中，并結(jié)合數(shù)學(xué)史中的第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的故事，使數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施充滿趣味性與故事性，也使數(shù)學(xué)教學(xué)富有生命形態(tài)和生活氣息，增潤(rùn)課堂氛圍；同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生交流和反思到底如何認(rèn)知，就此也可以開展專題講座，深度挖掘其中所蘊(yùn)藏的價(jià)值，從而拓展學(xué)生的知識(shí)視野，培養(yǎng)學(xué)生的人文素養(yǎng)。拓展欄目的教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施路徑很多，可以留作課后閱讀并以數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的方式開展，有問題與任務(wù)驅(qū)動(dòng)，有精心的準(zhǔn)備與具體的任務(wù)清單，有翔實(shí)的活動(dòng)流程與檢測(cè)手段，充分發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性與積極性；也可利用拓展欄目的類型與素材精巧地設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，如利用數(shù)學(xué)文化類素材讓學(xué)生大量地查閱數(shù)學(xué)史料，強(qiáng)化對(duì)數(shù)學(xué)源與流的認(rèn)知，如利用生活應(yīng)用類素材緊扣日常生活現(xiàn)實(shí)，開展研究性學(xué)習(xí)，撰寫數(shù)學(xué)作文，引導(dǎo)學(xué)生利用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，體會(huì)學(xué)以致用，強(qiáng)化數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)；如利用知識(shí)拓展類素材鼓勵(lì)學(xué)生想象、聯(lián)想，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)，如從的近似值求解聯(lián)想到的近似值求解等，運(yùn)用信息技術(shù)開展數(shù)學(xué)建?；驍?shù)學(xué)探究活動(dòng)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維與綜合素質(zhì)。

（三）在評(píng)價(jià)上抓鐵有痕，把“拓展欄目”作為學(xué)業(yè)質(zhì)量的監(jiān)測(cè)內(nèi)容

學(xué)業(yè)質(zhì)量是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)應(yīng)達(dá)成的目標(biāo)，是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)與課程內(nèi)容的有機(jī)結(jié)合，是學(xué)生自主學(xué)習(xí)與評(píng)價(jià)、教師教學(xué)活動(dòng)與評(píng)價(jià)、教材編寫的指導(dǎo)性要求，也是相應(yīng)考試命題的依據(jù)。[10]將“拓展欄目”作為學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)的內(nèi)容之一是時(shí)代發(fā)展的需要，這種監(jiān)測(cè)主要體現(xiàn)在過程性評(píng)價(jià)中，評(píng)價(jià)的方式可以是課堂觀察、口頭測(cè)驗(yàn)、開放式活動(dòng)、研究性作業(yè)等。其目的是為優(yōu)化教材的呈現(xiàn)方式、為富有特色地建設(shè)數(shù)學(xué)教材與有效教學(xué)提供依據(jù)，最重要的是通過監(jiān)測(cè)促使“拓展欄目”的價(jià)值得以實(shí)現(xiàn)。由于“拓展欄目”的特殊性以及教學(xué)效果的非顯性，因此，在評(píng)價(jià)中應(yīng)注重觀察學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中所發(fā)生的潛在變化，分析學(xué)生學(xué)習(xí)過程中在知識(shí)掌握、數(shù)學(xué)表達(dá)、思維方式等方面發(fā)生的細(xì)微變化，通過過程性評(píng)價(jià)留下學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、動(dòng)機(jī)、熱情、態(tài)度、習(xí)慣等發(fā)生變化的痕跡，做到抓鐵有痕，并透過“拓展欄目”的教學(xué)評(píng)價(jià)，反思教學(xué)過程，改進(jìn)教學(xué)設(shè)計(jì)?！巴卣箼谀俊彪m為教材的補(bǔ)充與延伸，但蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法，如何采取更加科學(xué)合理的方式建構(gòu)拓展欄目也是一個(gè)重大的教材編寫命題，包括素材選取的適切性、信息指向的一致性、關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)的有效性等，需要在繼承的基礎(chǔ)上創(chuàng)新，以提高數(shù)學(xué)教材拓展欄目的建構(gòu)質(zhì)量。▲