數(shù)學(xué)解題教學(xué)要引領(lǐng)學(xué)生走理解之路*
——一次自習(xí)輔導(dǎo)課學(xué)生的意外“落水”與教學(xué)設(shè)計(jì)及思考

劉亞平 黃曉學(xué) 趙 波

(1.江蘇省睢寧高級(jí)中學(xué) 221200；2.江蘇師范大學(xué)教育科學(xué)學(xué)院 221116；3.江蘇省睢寧李集中學(xué) 221221)

通過高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)，學(xué)生解題的思路已形成、方法已具有、思想已領(lǐng)會(huì)、思維已優(yōu)化．然而，時(shí)常會(huì)出現(xiàn)令人費(fèi)解的一幕：教師認(rèn)為應(yīng)該做得很好的題，學(xué)生卻做得不盡人意．下面通過一道試題的教學(xué)來一探究竟.

1 試題的呈現(xiàn)

已知函數(shù)f(x)=a(2-x)ex,g(x)=(x-1)2(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))．若關(guān)于x的方程f(x)=g(x)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1,x2，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

這是一位高三學(xué)生在數(shù)學(xué)自習(xí)課上獨(dú)立研究的一道試題,該題條件簡潔,但高度抽象、內(nèi)涵豐富、綜合性強(qiáng),涉及分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)方程等思想,考查函數(shù)零點(diǎn)、構(gòu)造法、分析法等知識(shí)與方法.該學(xué)生說，雖然題后有詳細(xì)的解答過程,但仔細(xì)研究后仍對(duì)某些細(xì)節(jié)感到困惑、多次被迫“落水”，讓學(xué)習(xí)者很“痛苦”.于是，筆者決定采取一對(duì)一指導(dǎo)教學(xué)模式，探究學(xué)生因何緣故多次“落水”.

2 教學(xué)設(shè)計(jì)及意圖

2.1 選擇轉(zhuǎn)化,準(zhǔn)備“搭橋”

問題1已知f(x)=g(x)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1,x2，你能直接求出此方程的兩個(gè)根嗎？如果不能求出方程的根，那又如何處理？

設(shè)計(jì)意圖學(xué)生遇到方程根的問題，第一反應(yīng)可能是想把方程的根直接求出來，由于f(x)=g(x)是超越方程，沒有固定的求根公式，顯然強(qiáng)攻硬取是不明智的．既然求不出方程的根,那必須用轉(zhuǎn)化思想把方程根的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù),看看學(xué)生有無轉(zhuǎn)化意識(shí).

學(xué)生：因?yàn)閒(x)=g(x),所以(x-1)2-a(2-x)ex=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1,x2，由于此方程是超越方程,通過嘗試也無特殊值的根,所以無法直接求根.對(duì)于類似問題,運(yùn)用函數(shù)、方程思想轉(zhuǎn)化為函數(shù)h(x)=g(x)-f(x)在R上有兩個(gè)不同零點(diǎn).

2.2 找準(zhǔn)方法,準(zhǔn)備“過河”

問題2已知函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù),求參數(shù)的取值范圍.有幾種常見的研究方法?如何運(yùn)用這些方法？對(duì)問題1你選擇哪種方法？

設(shè)計(jì)意圖學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)需要一定的記憶與模仿,不單單是歸納、理解與反思．?dāng)?shù)學(xué)概念、定義、定理、基本方法、基本技能等該學(xué)生記憶與理解的,教師就要不耐其煩地反復(fù)滲透,直到學(xué)生耳熟能詳為止.

學(xué)生：有四種方法：1求方程的根;2零點(diǎn)存在性定理;3構(gòu)造一個(gè)函數(shù);4構(gòu)造兩個(gè)函數(shù).方法1與方法2實(shí)質(zhì)是函數(shù)零點(diǎn)定義；運(yùn)用零點(diǎn)存在性定理需要滿足兩個(gè)條件：一是連續(xù)函數(shù);二是函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值異號(hào);構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)時(shí),兩個(gè)函數(shù)圖象有幾個(gè)交點(diǎn)原函數(shù)就有幾個(gè)零點(diǎn),交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是原函數(shù)的零點(diǎn).另外,在構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)時(shí),使用參變量分離法時(shí)盡量使構(gòu)造的兩個(gè)函數(shù)中一個(gè)為常函數(shù)或一次函數(shù)，這樣便于畫圖.解決本題我選擇方法3與方法4.

2.3 踏著“險(xiǎn)橋”,被迫“落水”

問題3請(qǐng)你把解題過程寫出來，解題中涉及哪些思想方法？你有哪些困惑點(diǎn)？

設(shè)計(jì)意圖困惑產(chǎn)生問題，問題來自困惑.有時(shí)候，提出問題比解決問題更彌足珍貴.只有讓學(xué)生親身經(jīng)歷解題過程才能提出真問題，這有利于教師準(zhǔn)確把脈學(xué)生解題思維的困惑點(diǎn).

學(xué)生：解題過程用到分類討論、數(shù)形結(jié)合等思想，解題中我有三個(gè)困惑點(diǎn).

因?yàn)楹瘮?shù)h(x)在R上有兩個(gè)不同零點(diǎn),所以h(x)的圖象與x軸有兩個(gè)不同交點(diǎn).

因?yàn)閔′(x)=2(x-1)+a(x-1)ex

=(x-1)(aex+2)，

①當(dāng)a=0時(shí)，h(x)=(x-1)2只有一個(gè)零點(diǎn)x=1，故a=0不成立；

所以函數(shù)h(x)在R上只有一個(gè)零點(diǎn)；

圖1

③當(dāng)a>0時(shí)，h′(x)=(x-1)(aex+2)，令h′(x)=0,得x=1.

列表判斷得h極小值=hmin(x)=h(1)=-ae<0，根據(jù)函數(shù)h(x)的大致圖象可以判斷有兩個(gè)零點(diǎn)(如圖2).

圖2

但判斷h(x)有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，學(xué)生又遇到兩個(gè)困惑：一是因?yàn)閔(3)=ae3+4>0，所以h(1)·h(3)<0，又因?yàn)閔(x)在(1,+∞)為單調(diào)遞增連續(xù)函數(shù)，所以由零點(diǎn)存在性定理知h(x)在(1,+∞)有一個(gè)零點(diǎn)，同樣也可以取h(4),h(5),……，為什么這些值都大于0，難道僅僅是巧合？

二是為什么h(-4),h(-5),……，符號(hào)不確定？如何在(-∞,1)上取值才能使其函數(shù)值大于零？

2.4 數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，輔助“過河”

問題4.1我們?cè)诋嫼瘮?shù)p(x)=a(2-x)(a∈R)的圖象時(shí)，能否任意畫？理論依據(jù)是什么？

問題4.2在剛剛過去的月考中，我們解決過一個(gè)類似問題：已知函數(shù)f(x)=ex+m(x+1),其中m<-1,e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).求證：f(x)在R上有兩個(gè)零點(diǎn).大家當(dāng)時(shí)是如何運(yùn)用零點(diǎn)存在性定理判斷零點(diǎn)的？

設(shè)計(jì)意圖普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)明確提出要培養(yǎng)學(xué)生的四基，即培養(yǎng)學(xué)生的基本知識(shí)、基本技能、基本思想與基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)．對(duì)于學(xué)生提出的上述兩個(gè)困惑點(diǎn)，教師通過激活學(xué)生已有的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)啟發(fā)學(xué)生深度思考.

教師追問：能否再舉出其他函數(shù)值大于0，學(xué)生回答：f(-3m),f(-4m),……,函數(shù)值都大于0.因勢(shì)利導(dǎo)，教師接著問道：為什么f(3),f(4),……，甚至f(100)=e100+101m的函數(shù)值不一定大于0？學(xué)生思考交流：因?yàn)閙<-1，所以從f(100)=e100+101m解析式本身就能看出函數(shù)值不一定大于0；又因?yàn)闃O小值點(diǎn)ln(-m)能取遍一切正數(shù)，更能詮釋f(100)的函數(shù)值為什么不一定大于0.

2.5 積累經(jīng)驗(yàn)，成功“上岸”

問題5我們來繼續(xù)探究問題3中尚未解決的問題：如何在(-∞,1)上取值才能使其函數(shù)值大于零？

設(shè)計(jì)意圖在學(xué)生合作交流與情感體驗(yàn)中積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)后，通過問題5培養(yǎng)學(xué)生的知識(shí)方法遷移能力，領(lǐng)悟取值方法——放縮法.

學(xué)生：因?yàn)閍>0,所以h(-4)=25-6ae-4符號(hào)不確定，因此不能在(-∞,1)取確定數(shù)的函數(shù)值，若取x=b(b<0)，h(b)=(b-1)2+a(b-2)·eb，但我不知下一步如何放縮？

教師：h(b)=(b-1)2+a(b-2)eb(b<0)是關(guān)于b的超越函數(shù)，能不能通過放縮把它變?yōu)殛P(guān)于b的基本函數(shù)？

學(xué)生(恍然大悟)：讓我試一試，h(b)=(b-1)2+a(b-2)eb>(b-1)2+(b-2)=b2-b-1，但b2-b-1>0對(duì)一切b<0不成立，學(xué)生通過多次嘗試，終于放縮函數(shù)值成功，并給出取值理由.

教師追問：還有其他放縮方法嗎？你能否給出更一般的放縮方法？在教師的循循善誘的引導(dǎo)下，學(xué)生探究如下：

取b<0，不妨設(shè)h(b)=a(b-2)eb+(b-1)2>λ(b-2)+(b-1)2=b2+(λ-2)b+(1-2λ)，其中λ>0，要使p(b)=b2+(λ-2)b+(1-2λ)>0對(duì)一切b<0成立(如圖3).

圖3

2.6 順流而下，再探優(yōu)法

問題6你能給出更簡潔的解法嗎？并指出這種解法的優(yōu)缺點(diǎn).

設(shè)計(jì)意圖考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合等思想，甄選優(yōu)法的能力.

3 思想“缺失”，再次“落水”

聽到學(xué)生對(duì)選擇構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)法“真實(shí)”的緣由，筆者又讓學(xué)生解決如下問題.

(2015年江蘇省高考數(shù)學(xué)第19題)

設(shè)計(jì)意圖創(chuàng)設(shè)認(rèn)知沖突，讓學(xué)生深刻地認(rèn)識(shí)到注重通性通法及挖掘題設(shè)中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，才是解決數(shù)學(xué)問題的“正道”.

4 教學(xué)思考

理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)是教師專業(yè)發(fā)展的基石，是數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的根本保證，是廣大數(shù)學(xué)教師提高教學(xué)效益的法寶．學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，理解學(xué)生教師可以準(zhǔn)確地找到學(xué)生的“潛在思維發(fā)展區(qū)”，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，讓學(xué)生覺得知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展自然而徜徉，進(jìn)而更好地理解數(shù)學(xué)．如何引領(lǐng)學(xué)生走上數(shù)學(xué)解題教學(xué)理解之路呢？本人有如下三點(diǎn)的思考.

4.1 解題內(nèi)容的設(shè)計(jì)要關(guān)注學(xué)生的理解

現(xiàn)在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課流行這樣一個(gè)模式：三個(gè)例題、幾個(gè)變題、一系列訓(xùn)練題，數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課儼然成了數(shù)學(xué)題目的堆砌課．教師一開始就滔滔不絕地忙于分析講解、規(guī)范展示，學(xué)生忙于聽講記錄，積極思考！但一考試，學(xué)生的成績就讓師生“苦惱不已”．理解性教學(xué)認(rèn)為，教師在關(guān)注三維目標(biāo)教學(xué)時(shí)，更要關(guān)注建構(gòu)學(xué)生的理解能力，而不僅僅是解法的獲得與思維的提煉，要急學(xué)生所急，想學(xué)生所想，惑學(xué)生所惑，需學(xué)生所需，才會(huì)真正設(shè)計(jì)出適合學(xué)生思維發(fā)展需要的“真內(nèi)容”.

由于試題1有詳細(xì)的解答過程，學(xué)生仔細(xì)研究多遍，教師在與學(xué)生的交流討論中，沒有發(fā)現(xiàn)學(xué)生在數(shù)學(xué)思想方法方面有太多的認(rèn)知障礙．但在“順流而下，再探優(yōu)法”的教學(xué)環(huán)節(jié)中，構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)法優(yōu)點(diǎn)是構(gòu)造函數(shù)中不含參數(shù)，不需要分類討論，竟然成為這位學(xué)生“情有獨(dú)鐘”此方法的最主要的理由．涉及函數(shù)零點(diǎn)問題的通性通法主要有四種，至于運(yùn)用哪種方法好，要因題而異，學(xué)生僅僅憑借“感情用事”，顯然學(xué)生的理解方向出現(xiàn)的偏差.

關(guān)注到學(xué)生的理解，遵循“顧客是上帝”的服務(wù)原則，筆者設(shè)計(jì)了試題2，使學(xué)生產(chǎn)生“不憤不啟、不悱不發(fā)”的強(qiáng)烈的釋疑愿望，學(xué)生在特定的情境中，用自己的頭腦去發(fā)現(xiàn)解決問題的辦法，為學(xué)生發(fā)現(xiàn)新方法和認(rèn)識(shí)新思想創(chuàng)造了一個(gè)最佳的心理環(huán)境．毋庸置疑，一個(gè)恰當(dāng)?shù)睦}勝過一打理論，也勝過“結(jié)構(gòu)松散”的多道例題的講解與示范.

4.2 解題活動(dòng)的設(shè)計(jì)要促進(jìn)學(xué)生的理解

著名國學(xué)大師王國維在《人間詞話》中對(duì)詩人的最高境界給予精辟的描述：“詩人對(duì)宇宙人生，須入乎其內(nèi)，又須出乎其外．入乎其內(nèi)，故能寫之；出乎其外，故能觀之．”同樣，最高境界的數(shù)學(xué)解題教學(xué)何嘗不是如此呢？入乎其內(nèi)，就是要鼓勵(lì)學(xué)生親力親為的實(shí)踐，從自己砥礪前行的探索思考中獲得體驗(yàn)，通過積極思考、動(dòng)手操作、自主探究、合作交流等學(xué)習(xí)方式，慢中求悟、悟中求道；出乎其外，就是學(xué)生通過豐富多彩的數(shù)學(xué)問題的順利解決覺得“數(shù)學(xué)好玩”，能感悟“題在書外，理在書內(nèi)”的深刻道理，對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解大徹大悟.

在教學(xué)過程中，筆者根據(jù)對(duì)學(xué)生的已有認(rèn)知進(jìn)行了分析，所設(shè)計(jì)的學(xué)習(xí)活動(dòng)緊緊圍繞學(xué)生理解的思維生惑點(diǎn)進(jìn)行．江蘇師范大學(xué)黃曉學(xué)教授在其《少教多學(xué)模式研究》中指出：“‘惑’這種心理現(xiàn)象在數(shù)學(xué)教學(xué)中主要發(fā)生在學(xué)生遇到數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生發(fā)展的生長點(diǎn)和銜接點(diǎn)、數(shù)學(xué)思想方法的轉(zhuǎn)折點(diǎn)、數(shù)學(xué)思維的癥結(jié)點(diǎn)等時(shí)機(jī)．這些關(guān)節(jié)點(diǎn)、轉(zhuǎn)折點(diǎn)、癥結(jié)點(diǎn)都是典型的思維生惑點(diǎn)．并進(jìn)一步指出，這些思維生惑點(diǎn)的解除必須通過發(fā)展認(rèn)知能力才能實(shí)現(xiàn)”[1]．為了幫助學(xué)生順利突破思維生惑點(diǎn)，教師要適時(shí)幫助學(xué)生解釋困惑，支撐學(xué)生的理解.

例如，對(duì)于第一個(gè)困惑，教師通過引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)作圖方法(一個(gè)坐標(biāo)系內(nèi)畫兩個(gè)函數(shù)的圖象)解除學(xué)生的困惑；對(duì)于第二個(gè)困惑，根據(jù)函數(shù)h(x)在區(qū)間[1,+∞)為單調(diào)遞增函數(shù)，且h(x)恒過定點(diǎn)(2,1)，學(xué)生容易理解；對(duì)于第三個(gè)困惑，教師并沒有把取值方法強(qiáng)塞于學(xué)生，而是借助學(xué)生已有的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，從另外一個(gè)角度進(jìn)行再回顧，給學(xué)生帶來新鮮感，促進(jìn)學(xué)生從多個(gè)角度思考問題，學(xué)生再次感悟放縮法取值的真諦，使學(xué)生獲得真正意義上的理解，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的正遷移.

4.3 解題評(píng)價(jià)的設(shè)計(jì)要落實(shí)學(xué)生的理解

對(duì)數(shù)學(xué)解題教學(xué)的評(píng)價(jià)，是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要一環(huán)節(jié)，但往往被部分?jǐn)?shù)學(xué)教師所忽略．有的數(shù)學(xué)教師僅通過學(xué)生解題方法的優(yōu)劣來評(píng)價(jià)學(xué)生；有的是通過學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)與方法收獲多少來評(píng)價(jià)學(xué)生；更有甚者只是通過學(xué)生作業(yè)、反應(yīng)快慢、考試成績的多少來評(píng)價(jià)學(xué)生等．其實(shí)數(shù)學(xué)解題教學(xué)的評(píng)價(jià)既要評(píng)估學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識(shí)和技能的狀況，又要考量學(xué)生的提出、解決問題的能力和思維發(fā)展?fàn)顩r，還要關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的情感、態(tài)度與價(jià)值觀的取向．?dāng)?shù)學(xué)知識(shí)的獲取不僅取決于學(xué)生的智力，還與學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度、學(xué)習(xí)習(xí)慣、參與的積極性、努力的程度、內(nèi)在的動(dòng)力等密不可分．教育家蘇霍姆林斯基說：“要像對(duì)待荷葉上的露珠一樣，小心翼翼地保護(hù)學(xué)生幼小的心靈．”在數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)教師要對(duì)學(xué)生多一點(diǎn)耐心，多一點(diǎn)等待，多一點(diǎn)傾聽，多一點(diǎn)激勵(lì)性評(píng)價(jià)，學(xué)生就會(huì)多一點(diǎn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心與勇氣，多一點(diǎn)對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的挖掘與理解.

如“學(xué)生(恍然大悟)：讓我試一試，h(b)=(b-1)2+a(b-2)eb>(b-1)2+(b-2)=b2-b-1，但b2-b-1>0對(duì)一切b<0不成立，學(xué)生通過多次嘗試，終于放縮函數(shù)值成功，并給出取值理由．”；“教師諄諄教導(dǎo)：可見，套題型、記方法不是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的根本啊！那怎么辦呢？”；“學(xué)生豁然開朗：真沒想到運(yùn)用函數(shù)、方程思想把‘不等式解集’向‘方程解集’轉(zhuǎn)化后是如此的簡單??！”等等．不經(jīng)意間，這些都調(diào)動(dòng)了學(xué)生的探究熱情，讓學(xué)生覺得他是學(xué)習(xí)的主人，師生的情感得以溝通，和諧學(xué)習(xí)的氛圍得以保證，學(xué)生的活力得以激發(fā)，學(xué)生的理解得以落實(shí).

學(xué)生是主體，教師是主導(dǎo)，這個(gè)教學(xué)的雙主體是內(nèi)涵豐富的話題，雙主體的基礎(chǔ)是理解學(xué)生，數(shù)學(xué)解題教學(xué)一定要從理解學(xué)生做起[2]．要做到理解學(xué)生，就要充分關(guān)注“學(xué)情”；其次是理解數(shù)學(xué)，就是教師要研讀教材，窺探數(shù)學(xué)本質(zhì)，從數(shù)學(xué)思想方法角度給學(xué)生一雙睿智的“眼睛”；再次是理解教學(xué)，教師教學(xué)要從學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律出發(fā)，選擇適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法，幫助學(xué)生給通性通法尋求一個(gè)合理合情的“辯護(hù)”，讓學(xué)生體會(huì)優(yōu)秀的解法是自然的、有人情味的.