高中數(shù)學(xué)可視化情境的設(shè)計(jì)原則及實(shí)施路徑*

張志勇

(江蘇省常州市第五中學(xué) 213001)

隨著新課程改革的深入，數(shù)學(xué)教學(xué)已不再是單純地傳授知識(shí)，而是要由知能視角轉(zhuǎn)向核心素養(yǎng)培育，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光、視角發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言、模型描述問(wèn)題，用數(shù)學(xué)的思想、方法解決問(wèn)題．而如何幫助學(xué)生學(xué)會(huì)“用數(shù)學(xué)的眼睛看，用數(shù)學(xué)的思維想，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言說(shuō)”，則離不開(kāi)數(shù)學(xué)情境的默化和增潤(rùn)，正如《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》所強(qiáng)調(diào)的那樣，“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是在學(xué)生與情境、問(wèn)題的有效互動(dòng)中得到提升的．……在教學(xué)中，應(yīng)結(jié)合教學(xué)任務(wù)及其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)設(shè)計(jì)合適的情境和問(wèn)題，啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)．”在可視化技術(shù)支持下創(chuàng)設(shè)互動(dòng)情境，恰可以在抽象的數(shù)學(xué)與生動(dòng)的現(xiàn)實(shí)間構(gòu)建聯(lián)系通道，突破數(shù)學(xué)因高度抽象概括特性而帶來(lái)的“難以意會(huì)、無(wú)法言傳”之障礙，為改善數(shù)學(xué)的教與學(xué)提供極大可能．

1 可視化情境的概念辨析

情境一詞，在《現(xiàn)在漢語(yǔ)詞典》中解釋為“情景，境地”，在辭海中的解釋則是“指一個(gè)人在進(jìn)行某種活動(dòng)時(shí)所處的社會(huì)環(huán)境，是人們社會(huì)行為產(chǎn)生的具體條件”．學(xué)習(xí)是基于境脈的，脫離情境脈絡(luò)獲得的知識(shí)，往往只是“惰性知識(shí)”，既難以真正習(xí)得也難以遷移運(yùn)用；譬如鹽是人體每天必須攝入的，若是將15克鹽放在你的面前，無(wú)論如何你難以下咽，但將15克鹽放入一碗美味可口的湯中，你就在享用佳肴時(shí)，將15克鹽全部吸收了．情境之于知識(shí)，猶如湯之于鹽，知識(shí)需融于情境之中，才能顯示出活力和美感[1]．

情境在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中有著極其重要的作用，因?yàn)閿?shù)學(xué)概念的理解、數(shù)學(xué)命題的掌握、數(shù)學(xué)技巧的形成、數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用、數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決都要基于數(shù)學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)、運(yùn)行、反思來(lái)完成．學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的情境，是從事數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)的環(huán)境、產(chǎn)生數(shù)學(xué)行為的條件，理想的數(shù)學(xué)情境應(yīng)該包括“境”與“情”兩個(gè)不可分割的部分，講究“以境啟知，由知怡情”[2]；“境”多指向認(rèn)知領(lǐng)域，設(shè)“境”為了啟“知”，從學(xué)生的生活實(shí)際和學(xué)習(xí)背景出發(fā)構(gòu)建一條件場(chǎng)域，為新的數(shù)學(xué)行為的產(chǎn)生開(kāi)辟路徑、啟發(fā)思考；“情”則更多的聚焦非認(rèn)知領(lǐng)域，通“知”方能怡“情”，只有學(xué)生積極主動(dòng)地參與，課堂氛圍才能活躍、教學(xué)效果才能凸顯，情境教學(xué)需要將學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣、情緒、情感體驗(yàn)、美感等方面擺放在應(yīng)有位置．

數(shù)學(xué)情境不僅是數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生的背景，也內(nèi)嵌有數(shù)學(xué)思想方法的表達(dá)；它不僅能激發(fā)數(shù)學(xué)問(wèn)題的提出，也能為數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決提供信息和依據(jù)[3]；從而“知”既是連接“境”與“情”的關(guān)鍵環(huán)節(jié),也是情境設(shè)置的終極目標(biāo)．從數(shù)學(xué)目標(biāo)的呈現(xiàn)角度出發(fā)，數(shù)學(xué)情境往往包括文詞語(yǔ)言表述的情境(語(yǔ)義豐富)、符號(hào)語(yǔ)言表述的情境(抽象簡(jiǎn)潔)、圖形語(yǔ)言表述的情境(形象直觀)等三類[4]．特別地，我們又要注意到，數(shù)學(xué)內(nèi)容、方法與呈現(xiàn)形式的高度抽象性，使得數(shù)學(xué)難以被感官直接感知，更難被理解和內(nèi)化，往往“學(xué)的人不知數(shù)學(xué)如何去意會(huì)，教的人不知數(shù)學(xué)如何去言傳”，這就需要用“圖示”的方式解決“意會(huì)”與“言傳”間的障礙[5]，也就是我們需要的是“看的見(jiàn)的境”，即數(shù)學(xué)可視化情境，從而挖掘可視化技術(shù)于數(shù)學(xué)的表征優(yōu)勢(shì)，建立“可見(jiàn)形式”與“抽象形式”之間的直接聯(lián)系，使數(shù)學(xué)的關(guān)聯(lián)性變得可見(jiàn)并且可操作．

綜上，數(shù)學(xué)可視化情境是為從事數(shù)學(xué)活動(dòng)、產(chǎn)生數(shù)學(xué)行為而構(gòu)建的境脈場(chǎng)域，它以學(xué)生的生活實(shí)際和學(xué)習(xí)背景為基礎(chǔ)，強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)活動(dòng)體驗(yàn)的直接獲?。灰灾R(shí)學(xué)習(xí)為紐帶，強(qiáng)調(diào)支架性地幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)本質(zhì)；以情感調(diào)節(jié)為手段，強(qiáng)調(diào)學(xué)生的積極主動(dòng)參與；以形象直觀為手段，強(qiáng)調(diào)應(yīng)用豐富多樣的視覺(jué)表征手段呈現(xiàn)數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性；以素養(yǎng)提升為旨?xì)w，強(qiáng)調(diào)以可視引導(dǎo)思維、以互動(dòng)交流思維．

2 可視化情境的價(jià)值探尋

反思當(dāng)下情境創(chuàng)設(shè)與運(yùn)行中的一些誤區(qū)：忽視情境創(chuàng)設(shè)目的，缺乏數(shù)學(xué)味，為情境而情境；過(guò)于形式化而游離于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)；過(guò)于生活化而顯現(xiàn)去數(shù)學(xué)化情境；情境創(chuàng)設(shè)與運(yùn)行的任務(wù)不明、角色不清；數(shù)學(xué)情境、數(shù)學(xué)知識(shí)、師生成長(zhǎng)的關(guān)系定位不準(zhǔn)確等[6]．我們需要準(zhǔn)確定位數(shù)學(xué)情境在數(shù)學(xué)教學(xué)中的地位與價(jià)值，真正使數(shù)學(xué)情境成為數(shù)學(xué)活動(dòng)的基因，使數(shù)學(xué)情境的意義和學(xué)生的情感訴求相融合，使數(shù)學(xué)情境與核心素養(yǎng)培育相匹配．

2.1 引發(fā)學(xué)習(xí)興趣，完善情感體驗(yàn)

創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境，可以呈現(xiàn)給學(xué)生刺激性的數(shù)學(xué)信息以引起學(xué)習(xí)興趣，或引發(fā)認(rèn)知沖突以激起學(xué)生的好奇心；于是學(xué)生喜聞樂(lè)見(jiàn)的生活或?qū)W習(xí)趣事，如名人名言、數(shù)學(xué)口訣、數(shù)學(xué)小故事等，便成了數(shù)學(xué)情境創(chuàng)設(shè)中的常見(jiàn)風(fēng)景．然而情境設(shè)置的作用，不應(yīng)僅是博得學(xué)生課前一樂(lè)，更應(yīng)將學(xué)生置于“憤悱”之地，譬如數(shù)列學(xué)習(xí)中，簡(jiǎn)單的講述“麥?！钡墓适潞透咚沟摹懊睢毕?計(jì)算1到100的方法)，充其量只能“導(dǎo)課”卻難“入課”；不應(yīng)僅起到“敲門磚”的作用，還應(yīng)當(dāng)在課程的展開(kāi)中自始至終發(fā)揮重要的導(dǎo)向作用，如同相聲中的“包袱”一樣．理想的高中數(shù)學(xué)情境，需要以“情”為經(jīng)，給予教學(xué)場(chǎng)域以真實(shí)的生命觸動(dòng)及完整的情感體驗(yàn)，既有“初入佳境”時(shí)的驚訝好奇，又有“山重水復(fù)”時(shí)的欲罷不能；既有“柳暗花明”時(shí)的豁然開(kāi)朗，更有“驀然回首”時(shí)的猛然醒悟．這樣，我們對(duì)情境價(jià)值和意義的討論，就不應(yīng)僅僅停留于如何創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境來(lái)解決諸如興趣、動(dòng)機(jī)等方面的問(wèn)題[7]，更重要的則是給學(xué)生提供思考與探索的空間．

2.2 催生問(wèn)題意識(shí)，形成良性互動(dòng)

情境設(shè)置的另一重要價(jià)值在于可以催生學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)，問(wèn)題是數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教學(xué)的關(guān)鍵所在，情境中蘊(yùn)含著有價(jià)值的問(wèn)題，而問(wèn)題又驅(qū)動(dòng)著情境的展開(kāi)，決定著情境任務(wù)的復(fù)雜程度．這樣情境創(chuàng)設(shè)時(shí)，一方面應(yīng)與學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知發(fā)展水平相適應(yīng)，接近學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，要有利于學(xué)生學(xué)習(xí)內(nèi)容的意義構(gòu)建，可以利用原有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)同化當(dāng)前要學(xué)習(xí)的新知識(shí)，也就是要“夠得著”；同時(shí)還要“跳一跳”，應(yīng)促使學(xué)生原有知識(shí)與必須掌握的新知識(shí)之間發(fā)生認(rèn)知沖突，由此導(dǎo)致學(xué)生意識(shí)中的矛盾激化，從而產(chǎn)生問(wèn)題意識(shí)，促進(jìn)探究學(xué)習(xí)；更重要的恰在于“引一引”，教師在情境創(chuàng)設(shè)之初便需設(shè)計(jì)問(wèn)題串，在引領(lǐng)學(xué)生前行的過(guò)程中揣著明白裝糊涂，通過(guò)不斷的追問(wèn)讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問(wèn)題、分析和探討數(shù)學(xué)問(wèn)題、運(yùn)用所學(xué)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，在理解概念、形成定理、進(jìn)行應(yīng)用中實(shí)現(xiàn)師生的良性互動(dòng)．所以情境是問(wèn)題的起點(diǎn)和載體，解決問(wèn)題是情境的任務(wù)和直接目標(biāo)，當(dāng)學(xué)生感到要問(wèn)“是什么”、“為什么”、“怎么辦”時(shí)，其主動(dòng)性思維才真正激發(fā)和啟動(dòng)，離開(kāi)了數(shù)學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)，數(shù)學(xué)問(wèn)題的產(chǎn)生就失去了肥沃的土壤．

2.3 還原數(shù)學(xué)過(guò)程，認(rèn)清來(lái)龍去脈

數(shù)學(xué)情境搭建了一個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)場(chǎng)，將數(shù)學(xué)中的重要概念、思想方法融入其中：不是將現(xiàn)成結(jié)論直接拋給學(xué)生，而是從直觀、想象到猜想、發(fā)現(xiàn)，讓學(xué)生親歷數(shù)學(xué)知識(shí)的建構(gòu)過(guò)程；不是簡(jiǎn)單的應(yīng)用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題，而是重視學(xué)生基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累，在根據(jù)數(shù)學(xué)思想發(fā)展脈絡(luò)創(chuàng)設(shè)的問(wèn)題情境中豐富感知、建立表象、發(fā)展想象．因?yàn)榇?，情境并不只是?shù)學(xué)學(xué)習(xí)的開(kāi)始，而是貫穿于學(xué)習(xí)的始終：“境”的作用始于“啟知”、終于“用知”，應(yīng)用所建構(gòu)的數(shù)學(xué)知識(shí)解決原有的問(wèn)題情境、同時(shí)引發(fā)出新的數(shù)學(xué)情境，新“知”之所以生長(zhǎng)恰在于情境所創(chuàng)設(shè)的“源頭活水”．辨析知識(shí)生長(zhǎng)過(guò)程中的來(lái)龍去脈，可以分離出三個(gè)重要環(huán)節(jié)：情境化(將知識(shí)的生發(fā)寓于具體情境中)、去情境化(從具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題、提煉出數(shù)學(xué)模型)、再情境化(應(yīng)用一般知識(shí)解決具體問(wèn)題)[8]，數(shù)學(xué)知識(shí)的意義建構(gòu)正是在“情境化”和“去情境化”的不斷往復(fù)中自覺(jué)完成．創(chuàng)設(shè)情境僅是開(kāi)始環(huán)節(jié)，其作用在于激發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)、溝通生活實(shí)際與數(shù)學(xué)內(nèi)容間的聯(lián)系、搭建具體形象與概括抽象的橋梁，為后續(xù)的“去情境化”等教學(xué)環(huán)節(jié)做好準(zhǔn)備；“知”的形成必然包括一個(gè)“去情境化”的過(guò)程，如果只是為數(shù)學(xué)問(wèn)題“穿衣戴帽”地罩上一個(gè)未必恰當(dāng)?shù)摹扒榫惩馓住?，既難以激起學(xué)生真實(shí)的情感，也無(wú)益于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的真正獲?。?/p>

2.4 提升核心素養(yǎng)，啟迪數(shù)學(xué)思維

如果說(shuō)“情境化”搭建了具體與抽象的橋梁、提供了探索與思考的空間，那么“去情境化”和“再情境化”恰可以幫助學(xué)生自主探究、參與交流、解決問(wèn)題，是數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)據(jù)處理等核心素養(yǎng)培育的重要載體．如“去情境化”環(huán)節(jié)中，可以用歸納或類比的方法發(fā)現(xiàn)情境中的數(shù)量圖形關(guān)系，在豐富的特例基礎(chǔ)上抽象出數(shù)學(xué)概念和規(guī)則；又如在“再情境化”環(huán)節(jié)中，涉及到如何選擇合適的數(shù)學(xué)模型表達(dá)所要解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題，以何種數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述問(wèn)題解決的過(guò)程和結(jié)果．由此可見(jiàn)，學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)、抽象、概括等一般化知識(shí)和思維方法的獲得，正是在具體情境的“超越”(去情境化)和“再現(xiàn)”(再情境化)的過(guò)程中得以實(shí)現(xiàn)、在情境、問(wèn)題的有效互動(dòng)中得到提升；反之也告訴我們，情境創(chuàng)設(shè)過(guò)程中，要以“境”為緯，建構(gòu)生態(tài)場(chǎng)景及智慧平臺(tái)，在情與境中探尋最適合學(xué)生思維發(fā)散、綜合素養(yǎng)提升的理智與情感并存的意境；要結(jié)合特定教學(xué)任務(wù)，思考相應(yīng)素養(yǎng)在教學(xué)中的孕育點(diǎn)、生長(zhǎng)點(diǎn)，研究素養(yǎng)融入教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)過(guò)程的具體方式及載體，忽視“知”只會(huì)導(dǎo)致情境缺乏數(shù)學(xué)味而扭曲情境創(chuàng)設(shè)的本真．

3 可視化情境的設(shè)計(jì)原則

挖掘數(shù)學(xué)情境的價(jià)值功能，正是為創(chuàng)設(shè)情境探析路徑與方法．設(shè)計(jì)切合學(xué)生學(xué)情和教學(xué)實(shí)際的情境，既讓學(xué)生感興趣又具有一定挑戰(zhàn)性，既與所學(xué)內(nèi)容有著本質(zhì)聯(lián)系又具備數(shù)學(xué)活動(dòng)基因，既啟發(fā)學(xué)生思考又蘊(yùn)含數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)訴求，于教師而言，無(wú)疑是具有挑戰(zhàn)性的任務(wù)，也是教師實(shí)踐創(chuàng)新的載體．

3.1 直觀形象原則

高中學(xué)段的特點(diǎn)決定了數(shù)學(xué)情境將更多地來(lái)源于數(shù)學(xué)自身，無(wú)論是現(xiàn)實(shí)生活的數(shù)據(jù)、數(shù)學(xué)發(fā)展中的史實(shí)或是學(xué)習(xí)過(guò)程中的疑難問(wèn)題和典型錯(cuò)誤，都離不開(kāi)呈現(xiàn)方式和媒介手段的選擇問(wèn)題，而文詞語(yǔ)言再豐富、符號(hào)語(yǔ)言再簡(jiǎn)潔或許都不及圖形語(yǔ)言的形象直觀．況且情境創(chuàng)設(shè)的要義在于“以境啟知”，在認(rèn)知沖突中激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，在分析和探究數(shù)學(xué)問(wèn)題中建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)，因此好的情境應(yīng)該簡(jiǎn)潔而不冗長(zhǎng)、具體而不晦澀．于是直觀形象原則要求，將抽象的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)象(概念原理、結(jié)構(gòu)關(guān)系、思想方法等)用可看見(jiàn)的表征形式(圖形、圖象、動(dòng)畫等)清楚直白的呈現(xiàn)出來(lái)，一方面自然離不開(kāi)可視化技術(shù)(數(shù)學(xué)學(xué)科軟件等)的教學(xué)應(yīng)用，更重要的則是立足于教學(xué)任務(wù)對(duì)教學(xué)內(nèi)容作有序化梳理，創(chuàng)設(shè)利于去情境化的、蘊(yùn)含數(shù)學(xué)核心知識(shí)概念的、有助于學(xué)生習(xí)得知識(shí)技能與感悟思想方法的、符合學(xué)生認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)的富有趣味性的可視化情境．

3.2 先行支架原則

情境是產(chǎn)生數(shù)學(xué)行為的條件，情境創(chuàng)設(shè)應(yīng)接近學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，為后續(xù)的“去情境化”提供學(xué)習(xí)支架和先行組織者材料．先行支架原則要求“跳一跳夠得著”，圍繞既定的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)創(chuàng)設(shè)先于學(xué)習(xí)任務(wù)本身呈現(xiàn)的引導(dǎo)性材料，無(wú)論是游戲或競(jìng)賽活動(dòng)還是故事與操作情境，都應(yīng)服務(wù)于一定的教學(xué)目標(biāo)，有利于知識(shí)和思想方法的掌握，有助于問(wèn)題提出和數(shù)學(xué)理解．避免“導(dǎo)課”而不“入課”或者為引出數(shù)學(xué)問(wèn)題刻意地虛構(gòu)一個(gè)情境的現(xiàn)象發(fā)生，需要在分析學(xué)生學(xué)習(xí)特征(包括知識(shí)經(jīng)驗(yàn)、學(xué)習(xí)水平、思維特點(diǎn)等)和數(shù)學(xué)知識(shí)核心本質(zhì)的基礎(chǔ)上，找尋最初的現(xiàn)實(shí)原型，為情境教學(xué)的實(shí)施提供“物質(zhì)”保證．

3.3 知情達(dá)理原則

知情達(dá)理的原意是“通人情、懂道理”，用在這兒指向“情”與“知”．知情要求教師在情境創(chuàng)設(shè)要將著力點(diǎn)從教師的“教”轉(zhuǎn)向?qū)W生的“學(xué)”，能洞察學(xué)生的內(nèi)需(興趣愛(ài)好、情感體驗(yàn)等)，弄清學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中的起承轉(zhuǎn)合，知道學(xué)生所想所惑，何處山重水復(fù)、何處柳暗花明，然后再將所要學(xué)習(xí)的知識(shí)內(nèi)容隱寓于具體情境之中，以吸引學(xué)生的積極主動(dòng)參與．因?yàn)閷W(xué)生最佳的學(xué)習(xí)狀態(tài)不是“要我學(xué)”而是“我要學(xué)”，當(dāng)學(xué)習(xí)變成自覺(jué)的行為時(shí)，學(xué)習(xí)才能達(dá)到理想的狀態(tài)．達(dá)理要求情境能啟發(fā)學(xué)生思考、引導(dǎo)其把握數(shù)學(xué)內(nèi)容本質(zhì)，因此情境創(chuàng)設(shè)時(shí)要緊緊圍繞既定的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)展開(kāi)，圍繞數(shù)學(xué)核心知識(shí)本質(zhì)創(chuàng)設(shè)符合學(xué)生認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)的富有情趣的情境，并為后繼的“去情境化”打下伏筆、留有余地，既強(qiáng)調(diào)現(xiàn)實(shí)生活(情境化)也關(guān)注數(shù)學(xué)的內(nèi)部邏輯(數(shù)學(xué)化)，在理解的關(guān)鍵處、認(rèn)知的沖突處多加著力，以幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)具體到抽象的過(guò)渡、圖象到符號(hào)的轉(zhuǎn)譯．

3.4 融通延展原則

好的數(shù)學(xué)情境不僅能“入課”(幫助學(xué)生進(jìn)入課堂學(xué)習(xí)狀態(tài))，而且能作為主線貫串課堂學(xué)習(xí)始終(有助于學(xué)生了解知識(shí)的來(lái)龍去脈，經(jīng)歷數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的全過(guò)程)．延展原則強(qiáng)調(diào)的正是情境在知識(shí)發(fā)展過(guò)程中的穿插銜接之效，在“啟知”之境中，從具體到抽象，蓄勢(shì)待發(fā)、朝氣蓬勃；在“用知”之境中，從抽象回到具體，居高臨下、登高望遠(yuǎn)．而正是在情境于知識(shí)學(xué)習(xí)的起承轉(zhuǎn)合中，融通各種教學(xué)要素使數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落地．面對(duì)可視化情境，提煉數(shù)學(xué)問(wèn)題、剖析內(nèi)在本質(zhì)需要獨(dú)具慧眼，數(shù)學(xué)抽象和直觀想象蘊(yùn)育其中；去情境過(guò)程中，離不開(kāi)條分縷析抽絲剝繭，發(fā)展邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算正可以“用數(shù)學(xué)的思維想”；再情境化時(shí)，從抽象系統(tǒng)回到問(wèn)題解決，回歸分析、數(shù)據(jù)處理中恰可以“用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言說(shuō)”．

4 可視化情境的創(chuàng)設(shè)路徑

就情境的創(chuàng)生方法而言，或采用注入改造式，即對(duì)原始的、復(fù)制的生活情境，注入數(shù)學(xué)因子改造或改善為有效的數(shù)學(xué)情境；或采用映射融入式，即將其他學(xué)科的情境、數(shù)學(xué)自身的情境、以及學(xué)生的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)情境等映射融入進(jìn)數(shù)學(xué)體系之中[9]．注入改造式是先有生活現(xiàn)實(shí)原型，然后加以數(shù)學(xué)化改造為我所用；而映射融入式是先有數(shù)學(xué)內(nèi)容，然后選擇合適的素材量身定制．無(wú)論采用哪種方法，均需要教師對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)有深刻的理解，有敏銳的洞察力和創(chuàng)造力，能透視作為結(jié)果性知識(shí)背后的情境成分，對(duì)其進(jìn)行教學(xué)法層面的再加工，形成可視化情境．

4.1 例舉歸納法

事實(shí)上，多數(shù)可視化技術(shù)內(nèi)嵌有符號(hào)代數(shù)系統(tǒng)(CAS)，可以很好的實(shí)現(xiàn)規(guī)定、定理學(xué)習(xí)的流程倒置，變“法則記憶+法則應(yīng)用”為“具體事例→歸納法則→識(shí)記應(yīng)用”，如GeoGebra中可設(shè)置和差積商的導(dǎo)數(shù)法則的教學(xué)情境(如圖1)，因?yàn)橛芯唧w事例的支持和發(fā)現(xiàn)過(guò)程的展示，規(guī)則(f(x)·g(x))′=f′(x)·g(x)+f(x)·g′(x)更易于“深入人心”，可見(jiàn)技術(shù)助力于可視化情境的創(chuàng)設(shè)．

圖1 積商的導(dǎo)數(shù)法則

4.2 操作實(shí)驗(yàn)法

實(shí)驗(yàn)無(wú)疑是豐富學(xué)生體驗(yàn)的重要手段和路徑，而將實(shí)驗(yàn)交到學(xué)生手中，可以實(shí)現(xiàn)“做”中理解數(shù)學(xué)、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)，在算一算、畫一畫、量一量中獲得活動(dòng)體驗(yàn)；它強(qiáng)調(diào)的是不將現(xiàn)成結(jié)論直接拋給學(xué)生，而是根據(jù)數(shù)學(xué)思想發(fā)展脈絡(luò)創(chuàng)造問(wèn)題情境；強(qiáng)調(diào)的是親歷數(shù)學(xué)知識(shí)的建構(gòu)過(guò)程，而不是簡(jiǎn)單的應(yīng)用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題．

如，在GeoGebra環(huán)境中學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)函數(shù)，學(xué)生可以隨意地取a的值(而不一定是特殊值)畫出相應(yīng)的函數(shù)圖象(不論多少也不論多復(fù)雜)，可以清楚地觀察到底數(shù)a是如何影響并決定著函數(shù)y=logax的性質(zhì)，實(shí)現(xiàn)在函數(shù)解析式與圖像間的相互轉(zhuǎn)換，構(gòu)建參數(shù)a與函數(shù)y=logax圖象、解析式之間的聯(lián)系通道．在可視化技術(shù)的支持下，操作實(shí)驗(yàn)法也已成為情境創(chuàng)設(shè)的通行做法，諸如函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)(極值點(diǎn)與零點(diǎn))、離心率與橢圓形狀、正方體中的截面形狀等數(shù)學(xué)內(nèi)容均可以采用映射融入式構(gòu)造實(shí)驗(yàn)情境，如圖2中，改變其中的基本函數(shù)f(x),g(x)的解析式，可以觀察到復(fù)合函數(shù)f(g(x))或g(f(x))的圖像變化，而進(jìn)一步的研究則將復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)聚焦到基本函數(shù)的聯(lián)系比較中．事實(shí)上，操作實(shí)驗(yàn)的價(jià)值正是在“做”數(shù)學(xué)的過(guò)程中豐富感知，在直觀感知的基礎(chǔ)上建立表象，在表象提取與運(yùn)用中發(fā)展想象．

圖2 復(fù)合函數(shù)的操作實(shí)驗(yàn)

4.3 問(wèn)題探究法

問(wèn)題和情境是密不可分的，如果說(shuō)情境只是靜態(tài)場(chǎng)域的話，那么問(wèn)題則讓情境變得靈動(dòng)而鮮活，它直接驅(qū)動(dòng)著情境的展開(kāi)，于是以問(wèn)題為紐帶設(shè)置探究情境自然也是一重要途徑．當(dāng)然，將抽象的數(shù)學(xué)原理寓于具體的問(wèn)題之中，在任務(wù)驅(qū)動(dòng)過(guò)程中理解數(shù)學(xué)概念、獲取數(shù)學(xué)方法、優(yōu)化思維層次、提升數(shù)學(xué)觀念則是問(wèn)題探究法的直接目標(biāo)．

圖3 向量投影的問(wèn)題探究

4.4 應(yīng)用拓展法

數(shù)學(xué)情境的作用不應(yīng)僅限于幫學(xué)生“入課”(進(jìn)入學(xué)習(xí)狀態(tài))，而且能助學(xué)生“出課”(學(xué)以致用，從應(yīng)用的角度認(rèn)識(shí)所學(xué)知識(shí)的價(jià)值)，也就是說(shuō)情境可以貫穿學(xué)習(xí)始終，既承前揭示知識(shí)來(lái)龍，又啟后明了知識(shí)去脈．應(yīng)用拓展類情境的價(jià)值不僅在于說(shuō)明“數(shù)學(xué)有用”，而且可以尋求“問(wèn)題空間”的數(shù)學(xué)解釋，架設(shè)新舊內(nèi)容間的聯(lián)系通道，構(gòu)建更加完善的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)體系，以此發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，回歸素養(yǎng)為重的常識(shí)．

圖4 構(gòu)造周期函數(shù)