研究平行線的數(shù)學(xué)思維方式

章建躍

(人民教育出版社 100081)

1 引言

眾所周知，幾何學(xué)是研究幾何圖形的形狀、大小與位置關(guān)系的科學(xué)，平面幾何研究平面圖形的形狀、大小和位置關(guān)系.因?yàn)閹缀螌W(xué)的研究對(duì)象，即點(diǎn)、直線、平面等基本幾何元素，以及三角形、平行四邊形、圓、多面體、旋轉(zhuǎn)體等各種各樣的幾何圖形，都是對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中圖形及圖形關(guān)系的抽象，所以它們都不是現(xiàn)實(shí)世界的客觀存在，而是人類思維的發(fā)明創(chuàng)造.正是因?yàn)閹缀螌?duì)象的這種純粹性，才有利于我們排除事物表象的干擾，探究出其蘊(yùn)含的真理.

我們知道，“位置”是宇宙空間的最基本要素.在歐氏幾何中，人們將位置抽象為“點(diǎn)”，而將連接兩個(gè)點(diǎn)之間的通路稱為“線”，其中直線段是連接兩點(diǎn)的最短通路，人們將直線段的長(zhǎng)度作為標(biāo)記兩個(gè)點(diǎn)之間差異的基本量.設(shè)AB是連接點(diǎn)A，B的直線段，以A為起點(diǎn)，將線段向AB方向無限延伸得射線AB；以B為起點(diǎn)，向BA方向無限延伸得射線BA；射線AB與BA組成直線AB.上述過程就是通過對(duì)現(xiàn)實(shí)事物(如光線、鉛垂線、拉緊的琴弦、保持直線方向運(yùn)動(dòng)等)的數(shù)學(xué)抽象，得到點(diǎn)、線段、射線和直線等最基本幾何圖形的過程.

直線作為基本幾何圖形，也是最基本的研究對(duì)象.對(duì)于直線，“直”就是它的形狀，刻畫出這種形狀的特征就得到“直線的基本性質(zhì)”.然而，到底該如何刻畫直線的“直”呢？這是一個(gè)頗費(fèi)周折的問題.以往，人們?yōu)榱丝坍嬛本€的基本特征做出過各種努力，例如：

點(diǎn)是沒有部分的，線只有長(zhǎng)度沒有寬度，直線是它上面的點(diǎn)一樣的平放著的線(歐幾里得，《幾何原本》)；

置一線的一部分于他部分上，沒有一處不相重的，這叫做直線(《國(guó)定教科書初中幾何(一) 》，教育部編審委員會(huì)編，華中印書局，1941)；

一線，打著滾，但其中兩點(diǎn)不離原處，若此線在打滾中各新位置始終與原位置相合，則此線叫做直線(《中國(guó)初中教科書幾何學(xué) 上冊(cè)》，吳在淵編，中國(guó)科學(xué)圖書儀器公司，1947)；

線只有一個(gè)向度——長(zhǎng)；點(diǎn)只有位置而無向度；直線是線上的任何一點(diǎn)都不變更其方向的線；直線由兩條或兩條以上之直線所構(gòu)成；曲線上之每一點(diǎn)均改變其方向(《新三S平面幾何學(xué) 》，Schultze-Sevenoak-Stone著，許彥生譯，開明書店，1948)；

僅有位置、長(zhǎng)短而無寬狹、厚薄者為線.線上任意二點(diǎn)間之一部分，以任意之方法置于他部分上，能與他部分密密相合者，謂之直線(《高中幾何學(xué)》，陳建功 酈福綿編著，開明書店，1949).

到今天，人們發(fā)現(xiàn)怎么也無法和初中學(xué)生說清楚，于是就采用“混”的辦法，用“包圍著體的是面”、“面和面相交的地方形成線”、“線和線相交的地方是點(diǎn)”，而對(duì)什么時(shí)候線是“直”的則根本就不說了.

對(duì)“如何刻畫直線的直”這個(gè)棘手的問題，本文說明如下幾點(diǎn)：第一，過平面上的任意兩點(diǎn)A，B，有且只有一條直線，這是公理；第二，過點(diǎn)A，B的直線可以向兩個(gè)互為相反的方向AB和BA無限延伸，“方向”是直線的要素；第三，刻畫直線的“直”，要利用確定直線的要素(兩個(gè)點(diǎn)或一點(diǎn)一個(gè)方向)之間的相互關(guān)系. 例如，直線上任意一點(diǎn)將它分為兩條方向相反的射線，任給直線AB上一點(diǎn)C則AC與AB或同向或反向，直線AB上至少有一點(diǎn)C使B在A和C之間，一條直線上任意三點(diǎn)中至多有一個(gè)點(diǎn)在另外兩點(diǎn)之間等等.[注]同樣的，對(duì)于平面，“平”是它的形狀，平面三公理回答了什么叫“平”，所以三公理又稱“平面的基本性質(zhì)”.我們發(fā)現(xiàn)，“基本性質(zhì)”給出了平面的組成元素——點(diǎn)、直線與平面之間的相互關(guān)系.

2 如何發(fā)現(xiàn)和提出問題

接下來是研究同一平面內(nèi)直線之間的位置關(guān)系.前面討論了相交，下面討論平行.

根據(jù)《幾何原本》的定義，平行直線是在同一平面內(nèi)的直線，向兩個(gè)方向無限延長(zhǎng)，在不論哪個(gè)方向它們都不相交.在此定義下，研究平行線的性質(zhì)，問題是：

作為一種位置關(guān)系，它的性質(zhì)到底是如何表現(xiàn)的？

如果能搞清楚這個(gè)問題，那么我們就有了發(fā)現(xiàn)和提出性質(zhì)的“指路人”.

2.1 從同一平面內(nèi)兩條直線位置關(guān)系的分類出發(fā)

同一平面內(nèi)兩條直線a，b，以有無公共點(diǎn)為標(biāo)準(zhǔn)分為相交和平行兩種位置關(guān)系.前文討論了相交線的性質(zhì)，那么平行線的性質(zhì)是如何表現(xiàn)的呢？為了解決這個(gè)問題，我們把直線看成是平面的組成要素，以“幾何要素之間確定的位置關(guān)系、大小關(guān)系就是幾何圖形的性質(zhì)”為指導(dǎo)，在a∥b的前提下，分析一下平面內(nèi)的其他直線c與a，b之間的位置關(guān)系.以“經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行”(平行公理)為基礎(chǔ)，容易發(fā)現(xiàn)，c與a，b的位置關(guān)系有兩類——平行或相交.

(1)已知a∥b，若c∥a，則c∥b；或：若a∥c，b∥c，則a∥b.這就是平行的傳遞性.

(2)已知a∥b，若c與a相交，則c與b也相交，且進(jìn)一步地有：同位角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ).

著重分析(2).我們注意到，這里有a，b，c三條直線，其中a，b的位置關(guān)系是確定的，而c具有任意性，即在與a，b相交的前提下可以在平面中任意移動(dòng)；c與a，b相交形成一些角，其中不共頂點(diǎn)的角之間相等或互補(bǔ)關(guān)系不隨c的變化而變化.

這樣，以平行公理為基礎(chǔ)，在同一平面內(nèi)兩條直線平行的大前提下，平面內(nèi)的其他直線與這兩條直線之間的確定關(guān)系， 特別是相交時(shí)所形成的角(作為一種幾何元素)之間的確定關(guān)系(即不隨第三條直線的變化而變化的關(guān)系)，就是平行線的性質(zhì).

另外，聯(lián)系點(diǎn)到直線的距離，可以發(fā)現(xiàn)a上任意兩點(diǎn)到b的距離相等，這就是平行線間的距離.

2.2 從相交線到“三線八角”的特例

在研究?jī)蓷l直線相交的基礎(chǔ)上，研究“三條直線相交”，這是自然而然的.可以分為三類情況(如圖1所示)：

圖1

其中，“三線共點(diǎn)”與相交線沒有本質(zhì)區(qū)別；“兩兩相交”和“平行線被第三條直線所截”可以看成是一般與特例的關(guān)系.對(duì)于三條直線相交的性質(zhì)，類比相交線的性質(zhì)，可以研究由這些直線相交所成角的關(guān)系.因?yàn)楣岔旤c(diǎn)的角的關(guān)系已經(jīng)研究了，所以要研究“不共頂點(diǎn)的角之間的關(guān)系”.這樣，我們可以循著如下的路徑發(fā)現(xiàn)和提出問題：

研究對(duì)象一條直線與兩條直線分別相交(稱為兩條直線被第三條直線所截)所成的圖形；

研究?jī)?nèi)容“三線八角”中不共頂點(diǎn)的角之間有怎樣的位置關(guān)系和大小關(guān)系？具體而言，對(duì)于一般的“三線八角”，研究不共頂點(diǎn)的角的位置關(guān)系分類問題；對(duì)于“兩條平行線被第三條直線所截”這一特殊情形，研究不共頂點(diǎn)的角之間有怎樣的特殊關(guān)系，反之，當(dāng)不共頂點(diǎn)的角具有怎樣的特殊關(guān)系時(shí)兩條直線平行，即應(yīng)該研究“性質(zhì)”與“判定”兩方面的問題.

研究方法直觀感知、操作確認(rèn)、推理論證、度量計(jì)算.

在后面的教學(xué)設(shè)計(jì)中可以看到，上述發(fā)現(xiàn)和提出問題的兩種路徑可以融合，這將給學(xué)生提供更廣泛的創(chuàng)造性學(xué)習(xí)空間，對(duì)落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)有重要意義.

3 如何構(gòu)建平行線的邏輯體系

3.1 知識(shí)基礎(chǔ)

因?yàn)槠叫芯€的判定與性質(zhì)都是以兩條直線被第三條直線所截而生成的角之間的關(guān)系來表征的，所以在研究平行線之前要安排相交線，包括兩條直線相交和“三線八角”.

順便說一下“三線八角”中角的位置關(guān)系的定義方法.類似于鄰補(bǔ)角和對(duì)頂角的位置關(guān)系，定義兩條直線被第三條直線所截而生成的角之間的相互關(guān)系，就是界定各對(duì)角的邊具有怎樣的位置關(guān)系.如圖2，八個(gè)角都有一邊在“第三條直線”EF上；直線EF把平面分為兩半，以直線EF為界按是否“同旁”把八個(gè)角分為兩組(∠1，∠4，∠5，∠8)和(∠2，∠3，∠6，∠7)；以兩條直線AB，CD為界，把八個(gè)角分為“內(nèi)角”(∠3，∠4，∠5，∠6)和“外角”(∠1，∠2，∠7，∠8).結(jié)合上述兩方面，可以對(duì)八個(gè)角中不共頂點(diǎn)的兩個(gè)角的位置關(guān)系作出分類.例如，∠1和∠5、∠4和∠8、∠2和∠6、∠3和∠7都是有一邊共線、方向相同，另一邊在EF同旁，它們的方位相同，于是稱作“同位角”；∠4和∠5、∠3和∠6都在EF同旁，在AB，CD之內(nèi)，于是稱作“同旁內(nèi)角”；∠3和∠5、∠4和∠6都在EF兩旁，在AB，CD之內(nèi)，于是稱作“內(nèi)錯(cuò)角”；等等.

圖2

需要指出的是，像上面這樣的分類活動(dòng)對(duì)于理解數(shù)學(xué)對(duì)象的結(jié)構(gòu)、建立研究數(shù)學(xué)對(duì)象的邏輯順序，啟發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，引導(dǎo)學(xué)生展開數(shù)學(xué)抽象活動(dòng)，促進(jìn)學(xué)生形成數(shù)學(xué)思維方式，從而實(shí)現(xiàn)在數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)中發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，都是非常有效的.

3.2 判定定理與性質(zhì)定理的先后次序

我們知道，平行線的定義、判定和性質(zhì)分別給出了兩條直線平行的充要條件、充分條件和必要條件.所以，只要給出平行線的定義作為邏輯基礎(chǔ)，也就是我們約定平行線是存在的，那么判定或性質(zhì)哪個(gè)先研究都是可以的.

在《幾何原本》中，第Ⅰ卷命題27為“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”，命題28為“同位角相等，或同旁內(nèi)角的和等于二直角，兩直線平行”，命題29為“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，同位角相等，且同旁內(nèi)角的和等于二直角”，命題30為“平行于同一條直線的直線相互平行”，按照“判定在先，性質(zhì)在后”的順序安排.其中，命題27的證明利用了“三角形的外角大于內(nèi)對(duì)角”，命題28的證明利用了命題27.命題29，用反證法證明“內(nèi)錯(cuò)角相等”，再利用對(duì)頂角等角之間的關(guān)系證明了其余兩個(gè)命題，命題30用前面的判定定理.也就是說，性質(zhì)定理的證明不需要借助判定定理.

不過，有人可能認(rèn)為，判定定理在先可以使人確信研究對(duì)象是“存在”的，然后再研究性質(zhì)才有意義.這樣的想法似乎也有一定的道理，但從邏輯上看，哪個(gè)在先都是可以的，判定定理和性質(zhì)定理都反映了幾何對(duì)象的形狀及組成元素的位置關(guān)系、大小關(guān)系.

3.3 如何選擇“基本事實(shí)”

前面已經(jīng)闡釋清楚，三個(gè)平行線判定定理都是需要證明的，而且順序可以任意排列.不過，在降低要求但又希望在一定程度上體現(xiàn)公理化思想的考慮下，需要在幾個(gè)判定定理中找一個(gè)作為“基本事實(shí)”，以此為推理的出發(fā)點(diǎn)得出其他判定定理.以哪一個(gè)為出發(fā)點(diǎn)更合理呢？

我們知道，射線OA繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到OB形成∠AOB，則∠AOB的度數(shù)度量了OA，OB兩個(gè)方向的差異.因此，如果∠A1O1B1的兩邊與∠AOB的兩邊方向分別相同，那么就有∠A1O1B1=∠AOB.在“三線八角”中，“同位角”正是具有“角的兩邊分別同向”這種關(guān)系的兩個(gè)角，于是把“同位角相等”作為基本事實(shí)，能夠比較好地體現(xiàn)用角的關(guān)系刻畫平行線的內(nèi)涵，由此可以推出其他判定定理.這與立體幾何中的“等角定理”也是一脈相承的.

4 教學(xué)設(shè)計(jì)(問題串)

問題1前面研究了相交線，探究了相交線所成角之間的各種位置關(guān)系、大小關(guān)系.你能回顧一下我們是如何展開研究的嗎？包括研究?jī)?nèi)容、過程、方法，特別是發(fā)現(xiàn)和提出問題的方法.

設(shè)計(jì)意圖：幫助學(xué)生梳理研究思路，強(qiáng)化“定義——性質(zhì)——特例”的研究路徑，進(jìn)一步明確“幾何圖形的性質(zhì)就是其組成要素之間的相互關(guān)系”.

問題2如圖3，將木條a，b，c想象成三條直線.轉(zhuǎn)動(dòng)a，直線a在從c的左側(cè)與b相交逐步變?yōu)樵赾的右側(cè)與b相交，想象一下，在這個(gè)過程中，有沒有a，b不相交的位置？

圖3

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生通過直觀想象、操作確認(rèn)平行線.在此基礎(chǔ)上給出平行線的定義——同一平面內(nèi)沒有公共點(diǎn)的兩條直線叫做平行線.

問題3在幾何的研究中，給出一個(gè)幾何對(duì)象的定義后，一般要作出相應(yīng)的圖形.請(qǐng)你先在紙上畫一條直線a，在直線外取一點(diǎn)A，過A作直線a的平行線.你能作出多少條？再取幾個(gè)點(diǎn)試試，結(jié)果是否一樣？

追問：類比過一點(diǎn)作一直線的垂線所得結(jié)論，你能得出什么？

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生通過操作，確認(rèn)平行公理，并自己給出表述.

問題4數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)，任何結(jié)論的正確性都需要有充分的理由.你能說明自己畫出的直線一定是直線a的平行線嗎？

追問1：要說明清楚還是非常困難的.下面再分析一下我們作平行線的過程.觀察圖4(1)，將它抽象為圖4(2)，聯(lián)系“三線八角”，你認(rèn)為過P作AB的平行線CD，實(shí)際上作出了什么？由此你能得到什么猜想？

圖4

設(shè)計(jì)意圖：通過分析平行線的作圖過程，從中抽象出“三線八角”，并歸納出通過畫相等的同位角可以畫出平行線的結(jié)論，引導(dǎo)學(xué)生得出“同位角相等，兩直線平行”的猜想.

教師講解：命題“兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行”的正確性是可以證明的，有興趣的同學(xué)可以試試.為了降低難度，我們把它作為基本事實(shí)予以承認(rèn)，并以此為出發(fā)點(diǎn)，探索其他判定平行線的方法.

追問2：兩條直線被第三條直線所截，同時(shí)得到同位角、內(nèi)錯(cuò)角和同旁內(nèi)角.除了利用同位角判定兩條直線平行外，你還能利用內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角來判定兩條直線平行嗎？

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生以“同位角相等，兩條直線平行”為基礎(chǔ)，自主探索其他判定定理.

追問3：以上我們以“同位角相等，兩直線平行”為出發(fā)點(diǎn)，推導(dǎo)出“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直角平行”和“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”.你能以后兩個(gè)中的一個(gè)為依據(jù)，推導(dǎo)出另外兩個(gè)判定定理嗎？

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生體會(huì)幾個(gè)判定定理的邏輯關(guān)系，培養(yǎng)邏輯推理能力.

追問4：在研究了一般情形后，我們往往要考察一下特殊情形.你能給出特殊情形下的平行線判定定理嗎？

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生自主探究特殊情形，得到“同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線相互平行”、“平行于同一條直線的兩條直線相互平行”.教師應(yīng)向?qū)W生指出平行、垂直關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系和相互轉(zhuǎn)化.

引導(dǎo)語(yǔ)：以上我們研究了“在什么條件下兩條直線相互平行”，得到了一些判定方法.透徹地研究一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象，往往需要不同的視角.如果把問題逆過來，以兩條直線相互平行為條件，可以得出什么結(jié)論？這就是接下來要研究的平行線的性質(zhì).

問題5根據(jù)相交線性質(zhì)的研究經(jīng)驗(yàn)，你認(rèn)為研究平行線的性質(zhì)就是要研究什么？你覺得可以按怎樣的路徑展開？

設(shè)計(jì)意圖：先引導(dǎo)學(xué)生明確要研究的問題和指導(dǎo)思想，通過課堂討論，總結(jié)出如下思路：以a∥b為前提條件，考察同一平面內(nèi)的點(diǎn)、直線與a，b所形成的確定關(guān)系.

追問1：對(duì)于a，b所在平面內(nèi)的點(diǎn)，在a∥b的條件下，與a，b有確定關(guān)系的點(diǎn)具有什么特性？

設(shè)計(jì)意圖：點(diǎn)與直線的關(guān)系，如點(diǎn)在直線、點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱、點(diǎn)到直線的距離等等.相應(yīng)的，可以研究(1)直線a上任意兩點(diǎn)到直線b的距離是否相等(進(jìn)而可以給出平行線間距離的概念)；(2)與a，b距離相等的點(diǎn)形成什么圖形(滲透點(diǎn)的軌跡概念)；等等.

追問2：在a∥b的條件下，平面內(nèi)的直線與a，b有哪些位置關(guān)系？你能從中進(jìn)一步提出什么問題？

設(shè)計(jì)意圖：位置關(guān)系有平行、相交(特例是垂直)，相應(yīng)地可以提出如下問題：(1)如果c∥a，那么c∥b？(2)如果c⊥a，那么c⊥b？(3)當(dāng)c與a，b相交，即兩條平行線被第三條直線所截，得到同位角、內(nèi)錯(cuò)角和同旁內(nèi)角，它們各有什么特殊的關(guān)系呢？

對(duì)于(3)，可以引導(dǎo)學(xué)生先畫出兩條平行線，然后再任意畫幾條直線(注意，不是一條)，通過度量發(fā)現(xiàn)同位角、內(nèi)錯(cuò)角和同旁內(nèi)角各有什么關(guān)系.在此基礎(chǔ)上，再利用信息技術(shù)引導(dǎo)學(xué)生觀察，在第三條直線任意移動(dòng)的過程中，同位角或內(nèi)錯(cuò)角之間的相等關(guān)系、同旁內(nèi)角的互補(bǔ)關(guān)系是否保持不變.在此基礎(chǔ)上，歸納出相應(yīng)的數(shù)學(xué)命題，并證明命題成立.這樣的過程可以培養(yǎng)學(xué)生的探究、發(fā)現(xiàn)能力，發(fā)展直觀想象、數(shù)學(xué)抽象以及邏輯推理等素養(yǎng).

5 小結(jié)

以上我們給出的內(nèi)容分析和教學(xué)設(shè)計(jì)(問題串)，沒有特別在意兩條直線相交、平行的邏輯順序，特別是在發(fā)現(xiàn)和提出問題階段.例如，在前面研究?jī)蓷l直線相互垂直的性質(zhì)時(shí)，“借用”了平行公理、平行線的性質(zhì)等，而這里又提出“類比同一平面內(nèi)過一點(diǎn)能作且只能作一條直線與已知直線垂線”、“同一平面內(nèi)，同時(shí)垂直于一條直線的兩條直線平行”等等，這可能給人以“邏輯混亂”的感覺.但我認(rèn)為，在人類的創(chuàng)造性活動(dòng)中，“邏輯混亂”似乎是不可避免的，只要在此基礎(chǔ)上再以公理化思想為指導(dǎo)對(duì)發(fā)現(xiàn)的東西進(jìn)行整理，使之成為一個(gè)嚴(yán)密的邏輯體系就可以了.

本文我們提出了探究平行線性質(zhì)的新思路.事實(shí)上，在探究幾何圖形性質(zhì)的過程中，“幾何元素之間確定的位置關(guān)系、大小關(guān)系就是幾何性質(zhì)”是一個(gè)“大概念”，在引導(dǎo)學(xué)生探究與發(fā)現(xiàn)中起到關(guān)鍵作用.這里，“在兩條平行線的條件下，探究同一平面內(nèi)其他直線與這兩條直線有哪些位置關(guān)系，可以從中進(jìn)一步提出哪些問題”是一個(gè)具有普適性的數(shù)學(xué)思想，可用于研究其他基本幾何圖形位置關(guān)系.例如，在研究空間兩個(gè)平面平行的性質(zhì)時(shí)，我們可以一脈相承地提出如下問題：

(1)空間中的直線與兩個(gè)平面有哪些位置關(guān)系？你能得出怎樣的猜想？

例如，設(shè)α∥β，若a∥α，則a∥β；若a與α相交，則a與β也相交，且所成角相等；特別地，若a⊥α，則a⊥β；等等.

(2)空間中的平面與兩個(gè)平面有哪些位置關(guān)系？你能得出怎樣的猜想？

例如，設(shè)α∥β,第三個(gè)平面γ，若γ∥α，則γ∥β；若γ與α相交，則γ與β也相交，而且交線平行、所成的二面角相等；若γ⊥α，則γ⊥β.盡管還沒有二面角、兩個(gè)平面相互垂直的概念，但這里提出猜想是順理成章的.另外，我們也可以讓學(xué)生回過頭來與平行線的性質(zhì)作比較，可以發(fā)現(xiàn)兩者之間具有高度的相似性.

實(shí)際上，刻畫直線、平面等基本圖形的位置關(guān)系時(shí)，方向是一個(gè)關(guān)鍵要素.聯(lián)系向量，用直線的方向向量、平面的法向量，就可以更好地看清各判定定理、性質(zhì)定理的本質(zhì).例如，用角度刻畫方向的差異，所以用同位角相等判定直線的平行，用平面角刻畫異面直線所成角、二面角的大小，通過直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交線(而不是平行線)判定直線垂直于平面，通過一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的垂線判定兩個(gè)平面垂直，還有平面向量基本定理與兩條相交線確定一個(gè)平面的內(nèi)在一致性等等.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》強(qiáng)調(diào)要突出數(shù)學(xué)的整體性，關(guān)注同一主線內(nèi)容的邏輯關(guān)系，關(guān)注不同主線內(nèi)容之間的邏輯關(guān)系，關(guān)注不同數(shù)學(xué)知識(shí)所蘊(yùn)含的通性通法、數(shù)學(xué)思想.數(shù)學(xué)內(nèi)容的展開應(yīng)循序漸進(jìn)、螺旋上升，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程成為一個(gè)在通性通法、數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)下的、具有系統(tǒng)性、連貫性的有機(jī)整體.這些要求同樣適用于初中數(shù)學(xué)教學(xué).本文強(qiáng)調(diào)的“研究一個(gè)幾何對(duì)象的基本套路”、“幾何元素之間確定的位置關(guān)系、大小關(guān)系就是幾何性質(zhì)”等“大概念”，就是這樣的通性通法、數(shù)學(xué)思想.在這樣的“大概念”指導(dǎo)下提出的各種問題，可以使學(xué)生體會(huì)到幾何性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)之道，這是發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)、培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的康莊大道.