錯(cuò)中巧思 精彩生成

■謝蓓蓓

一、展示原題，了解意圖

已知二次函數(shù)y=2（x-1）（x-m-3）（m為常數(shù)）。

（1）求證：不論m取何值，該函數(shù)的圖像與x軸總有公共點(diǎn)；

（2）當(dāng)m取何值時(shí)，該函數(shù)的圖像與y軸的交點(diǎn)在x軸的上方？

該題是2018年南京市中考數(shù)學(xué)試題第24題，考查了二次函數(shù)和方程的相關(guān)知識(shí)，在解決問(wèn)題的過(guò)程中滲透著數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想，對(duì)學(xué)生的運(yùn)算能力也有一定的要求。（1）主要考查了學(xué)生對(duì)二次函數(shù)與x軸公共點(diǎn)的掌握情況，涉及函數(shù)模型到方程模型的轉(zhuǎn)化。（2）主要考查了學(xué)生對(duì)二次函數(shù)的圖像與y軸交點(diǎn)的掌握情況，難度不大，卻體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論等數(shù)學(xué)思想。

二、巧用錯(cuò)解，生成精彩

從運(yùn)算上看，學(xué)生在去括號(hào)、合并同類(lèi)項(xiàng)和完全平方公式的計(jì)算以及因式分解時(shí)出錯(cuò)較多，最典型的錯(cuò)誤是在配方時(shí)對(duì)系數(shù)的處理上；從理解上看，學(xué)生對(duì)題意、概念、性質(zhì)的理解不夠深刻，尤其是對(duì)函數(shù)、方程概念以及它們的關(guān)系理解不到位；從思路上看，學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)思路開(kāi)闊，但探究程度大多浮于表面，思考得不夠深入，導(dǎo)致得分率低。

錯(cuò)誤解法1：

（1）將y=2（x-1）（x-m-3）整理得：

y=2x2-2（m+4）x+2m+6，

b2-4ac=［-2（m+4）］2-4×2（2m+6）=4m2+16m+16=m2+4m+4=（m+2）2≥0，

∴不論m取何值，該方程總有實(shí)數(shù)根，

∴不論m取何值，該函數(shù)的圖像與x軸總有公共點(diǎn)。

（2）2m+6〉0，

m〉-3，

∴m〉-3時(shí)，該函數(shù)的圖像與y軸的交點(diǎn)在x軸的上方。

錯(cuò)解分析：

學(xué)生在直覺(jué)上誤認(rèn)為4m2+16m+16可以簡(jiǎn)化為m2+4m+4，這樣在配方時(shí)更加簡(jiǎn)潔。這和“將二次函數(shù)整理得y=2x2-（2m+8）x+2m+6后，緊接著得到 y=x2-（m+4）x+m+3”是同種類(lèi)型的錯(cuò)誤。學(xué)生這樣的直覺(jué)源自哪里呢？應(yīng)該是方程。再往深處想一想，學(xué)生為什么會(huì)出現(xiàn)這種“遷移”？方程“4m2+16m+16=0”之所以能寫(xiě)成“m2+4m+4=0”的依據(jù)是等式的基本性質(zhì)2，而對(duì)于b2-4ac=4m2+16m+16而言，要想把等式的右邊變?yōu)閙2+4m+4，等式的左邊應(yīng)該變?yōu)椴判?。而平時(shí)在計(jì)算過(guò)程中通常會(huì)保留b2-4ac，所以就需將4m2+16m+16變?yōu)?（m2+4m+4）。學(xué)生出現(xiàn)這類(lèi)錯(cuò)誤時(shí)，教師不要急著否定和糾正，而應(yīng)該一步步引導(dǎo)學(xué)生找到問(wèn)題的癥結(jié)所在，讓學(xué)生在錯(cuò)誤中反思、學(xué)習(xí)、成長(zhǎng)。

另外，此解法中還有個(gè)容易被忽略的細(xì)節(jié)問(wèn)題：二次函數(shù)沒(méi)有根的判別式，b2-4ac只存在于一元二次方程。所以，這個(gè)解答缺少了將二次函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元二次方程的步驟，也就是少寫(xiě)了“當(dāng)y=0時(shí)”。而此時(shí)，教師也可以追問(wèn)：“2x2-2（m+4）x+2m+6=0可否變形為x2-（m+4）x+m+3=0？”再次增強(qiáng)學(xué)生對(duì)上一個(gè)錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí)，同時(shí)也可以簡(jiǎn)化計(jì)算。而在第（2）題的解答中，學(xué)生直接將二次函數(shù)一般式中的“c”寫(xiě)出，令其大于0，顯然是欠妥的。函數(shù)表示兩個(gè)變量之間的關(guān)系，因變量隨著自變量的變化而變化，當(dāng)自變量確定的時(shí)候，因變量的值也唯一確定。也就是說(shuō)，因變量的確定需要有自變量確定作為條件，所以，第一步的“當(dāng)x=0時(shí)”必不可少。兩個(gè)小題分別少寫(xiě)了“當(dāng)y=0時(shí)”和“當(dāng)x=0時(shí)”，雖然只有一步之差，但是這不僅是邏輯上的錯(cuò)誤，更是理解上的錯(cuò)誤。

正確解答：

（1）當(dāng) y=0時(shí)，可得 2（x-1）（x-m-3）=0，即（x-1）（x-m-3）=0，

整理得：x2-（m+4）x+m+3=0，

b2-4ac=［-（m+4）］2-4（m+3）=m2+4m+4=（m+2）2≥0，

∴不論m取何值，該方程總有實(shí)數(shù)根，

∴不論m取何值，該函數(shù)的圖像與x軸總有公共點(diǎn)；

（2）當(dāng)x=0時(shí)，

y=2m+6，

2m+6〉0，

m〉-3，

∴當(dāng)m〉-3時(shí)，該函數(shù)的圖像與y軸的交點(diǎn)在x軸的上方。

錯(cuò)解巧思：

在第（1）題中，要說(shuō)明一個(gè)一元二次方程有實(shí)數(shù)根，除了用根的判別式，最直截了當(dāng)?shù)姆椒☉?yīng)該是求出這個(gè)方程的解。題中二次函數(shù)的“式結(jié)構(gòu)”不同于一般式，所以，在將它轉(zhuǎn)化為方程時(shí)，可以很快得到方程的解為x1=1，x2=m+3，也就是說(shuō)二次函數(shù)經(jīng)過(guò)（1，0），（m+3，0）兩個(gè)點(diǎn)，這樣就避免了正確解答中繁瑣的計(jì)算，不僅提高了正確率，而且節(jié)約了時(shí)間。

題目只是要求證明二次函數(shù)與x軸有公共點(diǎn)即可，而該二次函數(shù)必過(guò)（1，0）點(diǎn)，至于二次函數(shù)與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)（m+3，0），提或不提，并不影響此題的解答。那么，第（1）題的正確解答可以簡(jiǎn)單變?yōu)椋?/p>

（a）當(dāng)y=0時(shí)，可得2（x-1）（x-m-3）=0，

解這個(gè)方程得，x1=1，x2=m+3，

∴不論m取何值，該方程總有實(shí)數(shù)根，

∴不論m取何值，該函數(shù)的圖像與x軸總有公共點(diǎn)；

（b）∵y=2（x-1）（x-m-3）經(jīng)過(guò)（1，0），

∴不論m取何值，該函數(shù)的圖像與x軸總有公共點(diǎn)。

錯(cuò)誤解法2：

圖1

（1）略；

（2）2（x-1）（x-m-3）=0的兩根為x1=1，x2=m+3，

由圖1知：m+3〉1，

∴m〉-2，

∴m〉-2時(shí)，該函數(shù)的圖像與y軸的交點(diǎn)在x軸的上方。

錯(cuò)解分析：

學(xué)生關(guān)注的焦點(diǎn)并不在“與y軸的交點(diǎn)”上，而是在“與x軸的交點(diǎn)”上，他的思路是先通過(guò)畫(huà)出符合題意的大致圖形，再觀察函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)的特征，從而得到關(guān)于m的不等式。數(shù)形結(jié)合是初中常見(jiàn)的數(shù)學(xué)思想，學(xué)生的思路是值得肯定的，不過(guò)他只畫(huà)出了符合題意的一種圖形，沒(méi)有考慮到其他情況，在想法上缺乏深度。m+3不是一個(gè)定值，教師可以引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)m+3在x軸上的位置情況進(jìn)行分類(lèi)討論。題中已經(jīng)有（0，0）和（1，0）兩個(gè)定點(diǎn)，所以，學(xué)生自然而然將m+3放在0的左邊、0上、0到1之間（不含0和1）、1上、1的右邊五種位置上進(jìn)行討論。

正確解答：

（1）略；

（2）2（x-1）（x-m-3）=0的兩根為x1=1，x2=m+3，

圖2

圖3

圖4

圖5

圖6

①如圖2，若m+3＜0，不符合題意，所以舍去；

②如圖3，若m+3=0，不符合題意，所以舍去；

多胎之一葡萄胎是一種罕見(jiàn)且高危的妊娠，其診斷較為困難，應(yīng)行詳細(xì)系統(tǒng)的超聲檢查及病理分析。因很難準(zhǔn)確的統(tǒng)計(jì)其母兒并發(fā)癥和PGTD的具體發(fā)生率，處理時(shí)必須充分考慮到患者的意愿、自身?xiàng)l件及胎兒存活的可能性，其具體臨床診治仍有待進(jìn)一步的研究。

③如圖4，若0＜m+3＜1，符合題意，所以-3＜m＜-2；

④如圖5，若m+3=1，符合題意，所以m=-2；

⑤如圖6，若m+3＞1，符合題意，所以m＞-2。

綜上，m＞-3。

∴m〉-3時(shí)，該函數(shù)的圖像與y軸的交點(diǎn)在x軸的上方。

錯(cuò)解巧思：

有些學(xué)生并不能系統(tǒng)地將m+3進(jìn)行分類(lèi)討論，他們可能通過(guò)不斷地嘗試，畫(huà)出符合題意的大致圖形，發(fā)現(xiàn)當(dāng)m+3在0的右邊時(shí)情況成立，這樣列式時(shí)只需m+3大于0，解答過(guò)程也簡(jiǎn)潔明了。

既然說(shuō)到圖形，筆者想到第（1）題其實(shí)也可以通過(guò)圖形解決。已知二次函數(shù)的圖像過(guò)（1，0），開(kāi)口向上，要使得該二次函數(shù)與x軸有公共點(diǎn)，只需要頂點(diǎn)在x軸上或x軸的下方，所以，只需要頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)小于等于0即可。那么，又可以出現(xiàn)以下解決方法：

（1）y=2（x-1）（x-m-3），

y=2［x2-（m+4）x+m+3］，

y=2x2-（2m+8）x+2m+6，

又∵該二次函數(shù)開(kāi)口向上，

∴不論m取何值，該函數(shù)的圖像與x軸總有公共點(diǎn)。

（2）①2（x-1）（x-m-3）=0的兩根為x1=1，x2=m+3，

圖7

由圖7知：m+3〉0，

∴m〉-3，

∴m〉-3時(shí)，該函數(shù)的圖像與y軸的交點(diǎn)在x軸的上方。

②2（x-1）（x-m-3）=0的兩根為x1=1，x2=m+3，

∴該函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x=2+0.5m，

∵函數(shù)的圖像與y軸的交點(diǎn)在x軸的上方，

∴2+0.5m＞0.5，

∴m〉-3，

∴m〉-3時(shí)，該函數(shù)的圖像與y軸的交點(diǎn)在x軸的上方。

三、深層思考，優(yōu)化課堂

1.準(zhǔn)確歸因，注重過(guò)程教學(xué)。

德國(guó)哲學(xué)家黑格爾指出，錯(cuò)誤本身乃是達(dá)到真理的一個(gè)必然的環(huán)節(jié)。學(xué)生的錯(cuò)解最能反映學(xué)生對(duì)知識(shí)的認(rèn)知水平和思維程度，教師只有深入、有效地分析這些錯(cuò)解，對(duì)它們進(jìn)行深度的剖析，才能引導(dǎo)學(xué)生從錯(cuò)誤中學(xué)習(xí)。比如錯(cuò)誤解法1，除去系數(shù)的學(xué)生只有計(jì)算的直覺(jué)，缺少理解的邏輯，而此時(shí)教師如果把原因歸結(jié)于學(xué)生的運(yùn)算能力，那就是無(wú)效歸因。而漏寫(xiě)“當(dāng)y=0時(shí)”和“當(dāng)x=0時(shí)”的學(xué)生，明顯是對(duì)函數(shù)的概念、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系理解不夠，而此時(shí)教師如果把原因歸結(jié)于粗心，那也是毫無(wú)意義的。很多時(shí)候，學(xué)生的問(wèn)題都是出在理解上，比如對(duì)概念的理解不準(zhǔn)，對(duì)性質(zhì)、關(guān)系的理解不夠。筆者認(rèn)為造成學(xué)生理解出現(xiàn)問(wèn)題可能的原因是有的教師在教學(xué)過(guò)程中往往強(qiáng)調(diào)解題技能而忽略概念、性質(zhì)等過(guò)程性教學(xué)，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)概念一知半解，對(duì)關(guān)系理解不到位，發(fā)生了錯(cuò)誤后卻不知道錯(cuò)在哪里。所以這也提醒我們?cè)诮虒W(xué)過(guò)程中要注意過(guò)程性教學(xué)，不可以淡化學(xué)生對(duì)基本概念、基本性質(zhì)的認(rèn)識(shí)過(guò)程，而應(yīng)該注重學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解以及基本經(jīng)驗(yàn)的遷移、類(lèi)比和再生長(zhǎng)。

2.尊重學(xué)生，促進(jìn)思維生長(zhǎng)。

函數(shù)與方程的關(guān)系研究是常見(jiàn)的命題取材，圖像位置以及有無(wú)公共點(diǎn)也是數(shù)形結(jié)合思想考查的常見(jiàn)結(jié)合點(diǎn)。筆者認(rèn)為解決此類(lèi)二次函數(shù)的問(wèn)題無(wú)非就是從“數(shù)”“形”兩個(gè)角度出發(fā)。學(xué)生從“數(shù)”的角度最容易想到的應(yīng)該就是“二次函數(shù)對(duì)應(yīng)的一元二次方程”。而從“形”的角度，“二次函數(shù)的圖像”應(yīng)該就是他們最自然而然的聯(lián)想（如圖8）。

圖8

圖像與坐標(biāo)軸的公共點(diǎn)、頂點(diǎn)、對(duì)稱(chēng)軸等是二次函數(shù)圖像中的重要元素，也是學(xué)生思路得以延伸發(fā)展的引路牌。錯(cuò)誤解法1中以“數(shù)”的思想主打，在判斷根的情況時(shí)，絕大多數(shù)學(xué)生采用根的判別式進(jìn)行判斷，導(dǎo)致在運(yùn)算上連連出錯(cuò)。學(xué)生之所以想不到求出方程的解的辦法，筆者猜想很有可能是教師在課堂或練習(xí)中遇到此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，總是強(qiáng)調(diào)使用根的判別式，從而導(dǎo)致學(xué)生出現(xiàn)思維定式。學(xué)生是有生命的個(gè)體，他們思考問(wèn)題的方式自然也是多種多樣的，教師強(qiáng)加的多了，學(xué)生的思維慢慢也就會(huì)固化。錯(cuò)誤解法2中以“形”的思想主打，雖然解法上稍顯繁瑣，但是作為教師，我們應(yīng)該順應(yīng)學(xué)生的思路，尊重學(xué)生的想法，否則很有可能錯(cuò)失一次思維發(fā)展的良機(jī)。學(xué)生在分類(lèi)討論到探究、總結(jié)規(guī)律再到函數(shù)圖像再次聯(lián)想的過(guò)程中，不僅打開(kāi)了思路，讓各知識(shí)點(diǎn)之間形成連接，而且數(shù)學(xué)思維也在不知不覺(jué)地生長(zhǎng)，自然而然地分叉、延伸。千篇一律的景觀樹(shù)并不是我們想要看到的教育結(jié)果，我們需要做的只是給那些旁生的枝節(jié)一些適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)，讓學(xué)生在思考問(wèn)題時(shí)，思維能綻放出更多的精彩和可能。