滲透數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)的課堂教學(xué)研究
——以初中數(shù)學(xué)“等腰三角形分割”為例

■王紅根

一、問題提出

通常我們都認(rèn)為思維是智力的核心，那思維的培養(yǎng)無疑是教育的本質(zhì)目的之一。著名教育家贊可夫指出：“在各科教學(xué)中要始終注意發(fā)展學(xué)生的邏輯思維，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和創(chuàng)造性?！倍季S活動(dòng)的教學(xué)恰好體現(xiàn)在數(shù)學(xué)課堂中，學(xué)生思維的發(fā)展是教師數(shù)學(xué)教學(xué)的核心目的。可以說，沒有數(shù)學(xué)思維，就沒有真正意義上的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。因此培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維是很有必要的。

基于培養(yǎng)思維的必要性和重要性，要求數(shù)學(xué)教師在課堂教學(xué)中注重對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)。下面以初中數(shù)學(xué)“等腰三角形分割”一課為例，闡述在課堂教學(xué)中滲透對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的廣博性、延續(xù)性、嚴(yán)密性和批判性的培養(yǎng)。

二、數(shù)學(xué)思維的具體培養(yǎng)

1.思維的廣博性。

思維的廣博性是指對(duì)一個(gè)問題從多方面考慮，不要只做表面的觀察，而應(yīng)由此及彼、由表及里地進(jìn)行分析，不斷擴(kuò)大觀察和思索的范圍。具體表現(xiàn)為對(duì)一個(gè)命題給出多方面的解釋，對(duì)一個(gè)對(duì)象用多種方式表達(dá)，對(duì)一個(gè)問題思考各種不同的解法。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要注重多方位、多角度的思考方式，拓廣解題思路，培養(yǎng)學(xué)生思維的廣博性。

問題1：任何三角形都能夠被分成兩個(gè)等腰三角形嗎？

生1：對(duì)于我們學(xué)過的等腰直角三角形，作斜邊上的高可以把它分成兩個(gè)等腰三角形。

生2：正三角形應(yīng)該也可以（如圖1）。

圖1

稍息片刻后全班愕然：正三角形這么特殊，居然不能被分成兩個(gè)等腰三角形？

師：是不是只有特殊三角形才能被分成兩個(gè)等腰三角形呢？老師給大家舉個(gè)例子。如圖2，∠A=100°，∠B=20°，∠C=60°。你能把這個(gè)三角形分成兩個(gè)等腰三角形嗎？

圖2

生3：動(dòng)手嘗試，比較容易從60°角中“拆出”20°角和40°角，從而得到兩個(gè)小的等腰三角形，其實(shí)就是利用畫BC邊的中垂線可以得到分割線CD。

上面兩個(gè)例子說明，并不是特殊的三角形就能被分割成兩個(gè)等腰三角形，而圖2看似普通的三角形卻能被分割成兩個(gè)等腰三角形。

問題2：那么怎樣的三角形能夠被分割成兩個(gè)等腰三角形呢？即三角形能夠被分割成兩個(gè)等腰三角形要具備什么條件？

教師通過舉例，并由學(xué)生動(dòng)口回答、動(dòng)手操作，發(fā)現(xiàn)不只等腰三角形能分割成兩個(gè)小等腰三角形，繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生探究“怎樣的三角形能夠被分割成兩個(gè)等腰三角形”，注重引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散性思維的培養(yǎng)。通過上面例子的提升，學(xué)生自然想到正三角形，這是定勢(shì)思維的體現(xiàn)，課堂上遇到該情況，教師可以及時(shí)給出提前準(zhǔn)備好的例子，發(fā)散學(xué)生的思維以提升思維的廣博性。在課堂上的指導(dǎo)應(yīng)該切合課題，不可脫離課堂進(jìn)行發(fā)散思維。

2.思維的延續(xù)性。

思維的延續(xù)性表現(xiàn)在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)過程中，教師通過“潤物細(xì)無聲”的引導(dǎo)，尊重學(xué)生的思維過程，在學(xué)生已有的知識(shí)和學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，保持學(xué)生思維順暢，循序漸進(jìn)地進(jìn)行教學(xué)，而不是“拔苗助長”，脫離實(shí)際教學(xué)。這也符合倡導(dǎo)多年的以學(xué)生為主體的新課程理念。

如圖3，設(shè)∠BAC=α，∠B=β，∠C=γ。線段AD將△ABC分成等腰三角形ABD和等腰三角形ACD。

圖3

幾何條件代數(shù)化。

師：請(qǐng)問，圖3中其他的角是否也可以表示出來呢？

生4：∠BAD=β（理由：AD=BD）。

生5：∠ADC=2β（理由：外角等于不相鄰內(nèi)角之和）。

生6：∠DAC=α-β。

師：△ACD為等腰三角形有怎樣的情況呢？

生7：（情況1）有可能∠ADC=∠C，如圖4，即2β=γ①。

圖4

生 8：（情況 2）也有可能∠DAC=∠C，即αβ=γ②。

生9：還有可能∠ADC=∠DAC，即2β=α-β③。

師：請(qǐng)大家來解釋一下①②③各表示什么意思？

生10：①“2β=γ”表示原三角形有一個(gè)角是另一個(gè)角的2倍（Ⅰ）。

師：對(duì)于②“α-β=γ”說明了什么？

師：我們添加一個(gè)固有的條件：∠A+∠B+∠C=α+β+γ=180°④，可以發(fā)現(xiàn)什么呢？

生11：由②④可得2α=180°，即α=90°⑤，即原三角形是一個(gè)直角三角形（Ⅱ）。

生12：我知道③就是“α=3β”，表示原三角形有一個(gè)角是另一個(gè)角的3倍（Ⅲ）。

在上述教學(xué)片段中，用代數(shù)手段來解決幾何問題是數(shù)學(xué)的基本方法,它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)換、轉(zhuǎn)化的思想。這里學(xué)生可能不敢嘗試用三個(gè)字母來研究問題，此時(shí)教師要大膽鼓勵(lì)這樣的“建?！?，這也為學(xué)生接下來的高中學(xué)習(xí)做好鋪墊。在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中應(yīng)該有許多的機(jī)會(huì)讓學(xué)生見識(shí)“建?！?運(yùn)用“建?！保M(jìn)而理解數(shù)學(xué)科學(xué)的作用。我們根據(jù)建立的模型發(fā)現(xiàn)了這里有三種可能的情況。這也是數(shù)學(xué)分類討論思想的體現(xiàn)。對(duì)于前面的三種情況，分別由學(xué)生得到3句概括的語句，從而提煉和初步抽象出能分割成兩個(gè)小等腰三角形的三角形該具備怎樣的3種不同條件。但是這只是猜想，具備這樣條件的三角形一定能分割成兩個(gè)小等腰三角形嗎？怎么分割呢？所以這里又提出了新的問題。這就是思維的延續(xù)性的體現(xiàn)。在課堂設(shè)問中，問題必須循序漸進(jìn)，層層遞進(jìn)，設(shè)置梯度，有效推進(jìn)，“淺入深出”，正如教學(xué)片段中所呈現(xiàn)的設(shè)問方式，能夠提升學(xué)生思維的延續(xù)性，基本概括出本課題的模型，提升課堂深度和廣度。

3.思維的嚴(yán)密性。

思維的嚴(yán)密性是指學(xué)生考慮問題時(shí)，需要通過訓(xùn)練達(dá)到嚴(yán)密、有據(jù)的地步。要提高學(xué)生思維的嚴(yán)密性，首先要求學(xué)生要思路清晰，就是要按照一定的邏輯順序思考問題。特別在學(xué)習(xí)新的知識(shí)與方法時(shí)，應(yīng)從基本步驟開始，一步一步深入，不可用跳躍式思維。其次要求學(xué)生要全面、周密地思考問題，做到推理論證要有充分的理由作根據(jù)，這充分體現(xiàn)在幾何論證中。具體的體現(xiàn)是學(xué)生需要運(yùn)用直觀的角度，但不停留在直觀的認(rèn)識(shí)上；運(yùn)用類比，但不輕信類比的結(jié)果；審題時(shí)不僅注意明顯的條件，而且留意發(fā)現(xiàn)那些隱蔽的條件；應(yīng)用結(jié)論時(shí)注意結(jié)論成立的條件；仔細(xì)區(qū)分概念間的差別，弄清概念的內(nèi)涵和外延，正確地使用概念；給出問題的全部解答，不使之遺漏。

（1）符合（Ⅰ）的三角形一定能夠被分割成兩個(gè)等腰三角形。

已知：在圖4中，∠ACB=2∠B=2β。

師：畫AD（也可以畫AB的中垂線與BC相交于D），使∠BAD=∠B=β。請(qǐng)問同學(xué)們，發(fā)現(xiàn)什么了嗎？

生13：∠ADC=2β，進(jìn)一步有∠ADC=∠C，那么，△ABD和△ADC都是等腰三角形。

（2）符合（Ⅱ）的三角形一定能夠被分割成兩個(gè)等腰三角形。

已知：在圖5中，∠C=90°。

師：畫CD，使∠BCD=∠B=β能做到嗎？

生14：只要畫BC的中垂線就行了。

師：請(qǐng)同學(xué)們繼續(xù)想下去。

生15：這時(shí)∠ADC=2β。

生16：利用∠ACD與∠BCD互余，而且∠DAC與∠B互余，所以∠ACD=∠DAC，即△BCD和△ADC都是等腰三角形。

師：（Ⅲ）的證明與（Ⅰ）的證明是類似的。

圖5

在教學(xué)中要鼓勵(lì)學(xué)生做到大膽猜測(cè)，小心求證，而求證的過程正好是思維嚴(yán)密性的最好體現(xiàn)。該片段中，教師采用(Ⅰ)的證明過程作為范例，在討論過程中注重幾何問題代數(shù)化，證明一般情況下的結(jié)論，使得結(jié)論具有普遍性，便于推廣，充分反映了思維的嚴(yán)密性。嚴(yán)謹(jǐn)?shù)赝评硎菙?shù)學(xué)的一大優(yōu)勢(shì)，是數(shù)學(xué)成為科學(xué)工具的重要特征。證明對(duì)于初三學(xué)生并不陌生，他們大多數(shù)能夠理解。模仿證明困難應(yīng)該不會(huì)太大。學(xué)生對(duì)探索過程和提煉結(jié)論都是比較關(guān)注和感興趣的，但得到結(jié)論后，他們往往容易忽略對(duì)探索、猜想結(jié)論的證明，這點(diǎn)要引起教師注意。同時(shí)對(duì)自我探索結(jié)論的證明不僅能考查學(xué)生的數(shù)學(xué)分析、證明能力，還能較好地培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性和深刻性。

4.思維的批判性。

數(shù)學(xué)知識(shí)具有嚴(yán)密的邏輯系統(tǒng)。在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，某些舊知識(shí)是新知識(shí)的基礎(chǔ)，新知識(shí)又是舊知識(shí)的引申和發(fā)展，學(xué)生的認(rèn)識(shí)活動(dòng)也總是以已有的舊知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)為前提，在原有的基礎(chǔ)上進(jìn)行推廣的。因此，教師在教學(xué)每一個(gè)新知識(shí)點(diǎn)時(shí)，都要盡可能整合有關(guān)的舊知識(shí)，利用已有的知識(shí)來搭橋鋪路，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用知識(shí)遷移規(guī)律，在獲取新知識(shí)的過程中發(fā)展思維。批判性思維意味著獨(dú)立思考，敢于質(zhì)疑，不盲從權(quán)威，不唯上不唯書；意味著基于證據(jù)和數(shù)據(jù)得出結(jié)論、做出決策，實(shí)事求是，不隨意不主觀；意味著思維過程嚴(yán)謹(jǐn)縝密，推理合乎邏輯，不武斷不獨(dú)斷。

以下教學(xué)案例是在教學(xué)過程中，喜愛數(shù)學(xué)、愛動(dòng)腦筋的初三學(xué)生提出的質(zhì)疑。

生：如圖6，設(shè)∠BAC=36°，∠ABC=96°，∠C=48°。這時(shí)該怎么畫呢？

圖6

師：原來D點(diǎn)在外面！這種現(xiàn)象叫“外分”。應(yīng)該說還有意外發(fā)生，它發(fā)生在遇到“鈍角”的時(shí)候。這個(gè)其實(shí)很像我們?cè)趯W(xué)三角形內(nèi)切圓時(shí)，其實(shí)還有“旁切圓”的道理。

這是課堂中的一個(gè)意外發(fā)現(xiàn)，真是一個(gè)亮點(diǎn)啊。喜愛數(shù)學(xué)、積極開動(dòng)腦筋的初三學(xué)生其實(shí)已經(jīng)具備一定的科學(xué)研究和探索的能力了。我們發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)上的很多問題，并不存在什么最終的結(jié)果。所以要培養(yǎng)學(xué)生思維的批判性和創(chuàng)新精神，其實(shí)就是要對(duì)這樣看似完美的結(jié)論進(jìn)行“較真”。教師也要大大鼓勵(lì)這樣的“較真”，要敢于對(duì)看似完美的結(jié)論挑戰(zhàn)，促進(jìn)自我不斷完善，這就是思維的批判性的體現(xiàn)。同時(shí)思維批判性對(duì)教師有著更高的要求，必須不斷提升專業(yè)知識(shí)，備課時(shí)模擬學(xué)生思維進(jìn)行大膽探究，才能應(yīng)對(duì)課堂中提出的各類問題。

三、幾點(diǎn)思考

1.教材的深層把握是基礎(chǔ)。

具有思維的課堂應(yīng)該是所有教師不懈追求的目標(biāo)與方向，但是課堂不可脫離實(shí)際。初中生面對(duì)升學(xué)的壓力，使得課堂必須在把握教材的基礎(chǔ)上進(jìn)行拓廣，一定要從教材全局觀和實(shí)質(zhì)內(nèi)涵來切入，不可脫離實(shí)際進(jìn)行漫無目的的發(fā)散思維，違反了思維的嚴(yán)密性。同時(shí)要增加課堂的思維，必須充分挖掘、深層次挖掘題目背后的教材原型，這也契合當(dāng)前中考題的思路。

2.學(xué)生的學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變是關(guān)鍵。

課堂的主體一定是學(xué)生，教師是課堂的主導(dǎo)。在課堂中，如果學(xué)生沒有轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)方式，沒有參與到課堂的探究和學(xué)習(xí)中去，沒有體驗(yàn)學(xué)習(xí)過程，則無法提升思維。學(xué)生的學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變需要依靠教師從初一開始強(qiáng)調(diào)，在課堂中設(shè)計(jì)巧妙適合的學(xué)習(xí)活動(dòng)，讓學(xué)生參與進(jìn)來。學(xué)生學(xué)習(xí)方式轉(zhuǎn)變了，愿意跟隨教師的思路參與到課堂中間，教師的思維訓(xùn)練才會(huì)起到關(guān)鍵性效果。

3.教師課堂指導(dǎo)藝術(shù)是保證。

轉(zhuǎn)變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式以及對(duì)于教材的深層把握都需要教師具有扎實(shí)的專業(yè)知識(shí)和專業(yè)技能。其中非常重要的是對(duì)于課堂節(jié)奏的把握，在備課的過程中需要熟悉學(xué)生的知識(shí)水平和生活經(jīng)驗(yàn)，上課的過程中根據(jù)學(xué)生思維對(duì)課堂進(jìn)度進(jìn)行及時(shí)的調(diào)整和反饋，注重設(shè)問技巧以及與學(xué)生的交流，促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展。