言近而指遠(yuǎn)守約而施博

劉玉琴 張秀花

【教學(xué)內(nèi)容】

蘇教版第61—62頁(yè)例3及相應(yīng)的“試一試”“練一練”，練習(xí)十一第1、2題。

【教學(xué)目標(biāo)】

1.使學(xué)生理解反比例的意義，能正確判斷成反比例關(guān)系的量。

2.經(jīng)歷反比例意義的構(gòu)建過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的探索發(fā)現(xiàn)能力和歸納概括能力。

3.使學(xué)生體會(huì)反比例與生活的聯(lián)系，進(jìn)行辯證唯物主義觀點(diǎn)的啟蒙教育。

【教學(xué)重點(diǎn)】引導(dǎo)學(xué)生正確理解反比例的意義。

【教學(xué)難點(diǎn)】正確判斷兩種量是否成反比例。

【教學(xué)準(zhǔn)備】教具——多媒體課件、作業(yè)紙。

【教學(xué)過(guò)程】

一、復(fù)習(xí)舊知，感受新知

“桃花怒放古城揚(yáng)州，美景勝似十里桃林?！蓖瑢W(xué)們，讓我們?nèi)ヌ一钟斡[吧！

1.桃林里一棵桃樹占地面積4平方米，我們一起來(lái)對(duì)口令，好嗎？（課件展示如下表）

師：這里占地面積與桃樹棵數(shù)成什么比例？為什么？

生：占地面積與桃樹棵數(shù)成正比例。因?yàn)樗鼈兪莾煞N相關(guān)聯(lián)的量，桃樹棵數(shù)增加或減少若干倍，占地面積也隨著增加或減少若干倍，并且它們相對(duì)應(yīng)比的比值（每棵桃樹的占地面積）一定。

師：是的，成正比例的量具有兩個(gè)特征：（課件出示）

（1）兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化;

（2）比值一定。

【評(píng)析：由于學(xué)生對(duì)判斷兩種量是否成正比例關(guān)系有了一定的體會(huì)，所以教學(xué)時(shí)可以適當(dāng)放手，利用知識(shí)遷移規(guī)律，讓學(xué)生自行探索，給學(xué)生足夠的時(shí)間和空間進(jìn)行思考?！?/p>

二、對(duì)比探究，獲取新知

1.師：桃花林主人準(zhǔn)備擴(kuò)大桃林，用300元購(gòu)買桃樹苗，購(gòu)買桃樹苗的單價(jià)和數(shù)量如下表

師：同學(xué)們，這里的單價(jià)與數(shù)量還成正比例嗎？（不成）任何變化都是有規(guī)律可循的，猜一猜，這兩種量到底是一種什么關(guān)系呢？（反比例關(guān)系）怎樣的兩種量成反比例關(guān)系？今天我們就一起來(lái)研究反比例的意義。（板書課題）

（1） 師：同學(xué)們，請(qǐng)仔細(xì)觀察表中數(shù)據(jù)， 表中的兩個(gè)量是怎樣變化的？這種變化有什么規(guī)律？同桌討論。

生：表中列舉了單價(jià)和數(shù)量?jī)煞N相關(guān)聯(lián)的量，一個(gè)量擴(kuò)大另一個(gè)量反而縮小，一個(gè)量縮小另一個(gè)量反而擴(kuò)大，在變化的過(guò)程中相對(duì)應(yīng)的量的乘積始終是3000。我想這兩種量之間就是成反比例的關(guān)系。

師引導(dǎo)觀察：我們一起從左往右看，你發(fā)現(xiàn)什么？從右往左看呢？上下對(duì)應(yīng)看呢？

師：乘積都是3000，你們是怎樣算的？（課件出示算式）數(shù)量關(guān)系式是什么？

生：?jiǎn)蝺r(jià)×數(shù)量=總價(jià)（一定）

師：這時(shí)，我們就說(shuō)單價(jià)和數(shù)量成反比例關(guān)系。

（2）概括得出反比例的意義。

師：現(xiàn)在你知道什么樣的兩種量成反比例關(guān)系了嗎？

生1：每個(gè)表中的兩種量都相關(guān)聯(lián)。

生2：一種量變化，另一種量也隨著變化。

生3：從變化規(guī)律上看，單價(jià)越高，購(gòu)買的數(shù)量越少，單價(jià)越低，購(gòu)買的數(shù)量越多。

生4：表中兩種量相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的乘積是一定的。

（3）師：大家太棒了，剛才我們通過(guò)觀察數(shù)據(jù)、分析討論發(fā)現(xiàn)：這種的關(guān)系叫作反比例關(guān)系，像這樣的兩種量，叫作成反比例的量。

2.感知幾種不同的變化規(guī)律

師：你能根據(jù)表中已有的信息將表填寫完整嗎？

（1）① 導(dǎo)游帶領(lǐng)60名游客來(lái)到“十里桃林”游覽，讓游客們分組活動(dòng)，提出的分組建議如下表。

表3 “十里桃林”游覽表

每組人數(shù) 3 6 15 …

組數(shù) 20 ? 6 …

② 師：從這個(gè)表中你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

生：總?cè)藬?shù)60人沒變，每組人數(shù)和組數(shù)的乘積是一定的。

師：積是多少？怎么算的？你能用式子表示它們之間的關(guān)系嗎？

生：每組人數(shù)×組數(shù)=總?cè)藬?shù)（一定）。

（除了積一定，你還發(fā)現(xiàn)了什么？）

每組的人數(shù)在擴(kuò)大，組數(shù)反而縮小……

師：當(dāng)總?cè)藬?shù)一定時(shí)，每組人數(shù)和組數(shù)成什么關(guān)系？（反比例關(guān)系）

師：同學(xué)們可真棒！能很快地在變化中尋找規(guī)律，發(fā)現(xiàn)關(guān)系。

③ 師：看，這是我們剛才研究的兩張表格，它們有哪些共同點(diǎn)呢？

結(jié)合生回答，板貼：兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，積一定。

生1：它們提供的兩種量都是相關(guān)聯(lián)的量。一種量擴(kuò)大，另一種量縮小;一種量縮小，另一種量擴(kuò)大。

生2：兩種量的變化方向正好相反。

④ 師：其實(shí)反比例關(guān)系也可以像正比例關(guān)系那樣，用字母式子來(lái)表示。

師：如果用字母x和y分別表示兩種相關(guān)聯(lián)的量，用k表示它們的積，反比例關(guān)系可以用：x×y =k（一定）來(lái)表示。

（2） 晚上，導(dǎo)游寫了一篇游記，要把它打成電子稿。

表4 游記電子表

打字速度（字/分） 100 80 60 40 …

時(shí)間（分） 24 30 80 …

（1）教師：打字速度和時(shí)間成反比例嗎？為什么？

師：你認(rèn)為要判斷兩種量是否成反比例，要從哪幾個(gè)方面來(lái)考慮？

生：一要看這兩種量是否相關(guān)聯(lián)，二要看乘積是不是一定。

（3）師：其實(shí)，反比例關(guān)系也可以像正比例那樣用圖像來(lái)表示。

師：請(qǐng)同學(xué)們觀察這幅圖，能看懂嗎？（把你看到的說(shuō)給大家聽聽。）

①這幅圖中橫軸表示什么？縱軸表示什么？

那A點(diǎn)表示什么？B點(diǎn)呢？（與表格中哪一組數(shù)量相對(duì)應(yīng)？）

②乘積總是等于多少？圖像上任意一點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)的乘積也都等于2400。

③從A點(diǎn)到B點(diǎn)你看出了什么？那從B點(diǎn)到A點(diǎn)你又看出了什么？

④變化規(guī)律是什么？積都等于2400。（一定）

【評(píng)析：通過(guò)讓學(xué)生多次經(jīng)歷判斷正反比例的量的思考過(guò)程，使學(xué)生進(jìn)一步積累對(duì)正反比例的量的感知?！坝斜容^才有鑒別”，把相類似的問(wèn)題放在一起找出區(qū)別和聯(lián)系，分清異同，通過(guò)對(duì)比的方法可加深對(duì)概念的理解，增強(qiáng)記憶效果。辯思理解同樣也是概念學(xué)習(xí)的好方法，在這里學(xué)生又可學(xué)到一招?！?/p>

（4）第二天，導(dǎo)游將帶領(lǐng)這批游客行一段路程。

表5 行一段路程表

已行的路程（km） 1 2 3 4 …

剩下的路程（km） 19 18 17 15 …

填這個(gè)表時(shí)，你是怎樣想的？這里的兩個(gè)量成正比例或反比例嗎？集體訂正。

表6 用同樣的速度去游覽

路程（km） 12 20 24 36 …

時(shí)間（時(shí)） 3 5 6 7 …

填這個(gè)表時(shí)，你是怎樣想的？

3.分類區(qū)別，概括意義

（1）教師：請(qǐng)同學(xué)們把這6張表進(jìn)行分類，你會(huì)怎么分？分成哪幾類？帶著這個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)同學(xué)們分組討論。

生：表1，6成正比例分一類;表2，3，4它們的乘積一定，分成一類;表5是和一定，不成正比例的單獨(dú)分成一類。

師：為什么這樣分類？

（2）師：現(xiàn)在我們一起來(lái)找出表2，3，4的共同特征。

教師概括：正比例是一種量增加或減少若干倍，另一種量也隨著增加或減少若干倍;而表2，3，4中是一種量擴(kuò)大或縮小若干倍，另一種量反而縮小或擴(kuò)大相同的倍數(shù)。

表5雖然也是兩種相關(guān)聯(lián)的量，但是它們的變化規(guī)律是增加或減少相同的數(shù)，而不是擴(kuò)大或縮小相同的倍數(shù);它們的和一定，而不是商一定或積一定。所以，它們不成比例。

4.分類與整理

現(xiàn)在我們知道了兩種相關(guān)聯(lián)的量，當(dāng)商一定時(shí)，成正比例;當(dāng)積一定時(shí)，成反比例。剛才還研究了，當(dāng)和一定時(shí)，不成比例;那差一定時(shí)，成反比例嗎？能舉個(gè)例子說(shuō)明嗎？（年齡差一定）還有兩種量相關(guān)，如：年齡和身高，不成比例……

三、直觀操作，加深理解

1.完成書第2題：下面每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)都表示1厘米看圖填表，并回答問(wèn)題? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? .

① ② ③

周長(zhǎng)/cm 14 14 14

長(zhǎng)/cm 6

寬/cm 1

① ② ③

面積/cm 12 12 12

長(zhǎng)/cm 12

寬/cm 1

（1）長(zhǎng)方形面積一定，長(zhǎng)和寬成反比例嗎？為什么？

生1：長(zhǎng)和寬是兩種相關(guān)聯(lián)的量，當(dāng)寬擴(kuò)大幾倍時(shí)，長(zhǎng)反而縮小相同的倍數(shù)，長(zhǎng)×寬=長(zhǎng)方形的面積（12 cm2一定），所以在上表中，長(zhǎng)和寬成反比例。

（2）長(zhǎng)方形周長(zhǎng)一定，長(zhǎng)和寬成反比例嗎？為什么？

師：很好！你是從反比例的意義說(shuō)明的，還有不同方法嗎？

生2：從兩方面說(shuō)明理由，意義：長(zhǎng)×寬 = 積（不一定），不成反比例;

數(shù)據(jù)：長(zhǎng)+寬 = 和（一定），不成反比例。

2.下面各題中的兩種量是否成反比例？為什么？

（1）五（1）班人數(shù)一定，每組的人數(shù)和組數(shù)。（成反比例）

（2）被除數(shù)一定，除數(shù)和商。（ 成反比例）

（3）一條繩子的長(zhǎng)度一定，剪去的部分和剩下的部分。 （不成反比例）

（4）三角形的面積一定，它的底和高。（成反比例）

師結(jié)合學(xué)生回答提醒：面積一定，底×高 =三角形面積的2倍也一定。

3.變式練習(xí)：下面的兩種量是否成反比例關(guān)系？為什么？

（1）x×y =k（一定），x和y成反比例

（2）x×y =100，x和y 成反比例

（3）5×y =100，5和y 不成反比例

（4）5×20 =100，5和20 不成反比例

【評(píng)析：設(shè)置此題，體現(xiàn)比較隱晦的反比例關(guān)系，突破了難點(diǎn)，同時(shí)強(qiáng)化了本節(jié)課的重點(diǎn)和難點(diǎn)，使學(xué)生更加牢固地掌握反比例關(guān)系，有效地培養(yǎng)了學(xué)生一題多變的學(xué)習(xí)習(xí)慣，有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維。】

四、總結(jié)回顧，交流收獲

1.今天我們研究了什么？你有什么收獲？反比例與正比例有什么相同與不同的地方呢？

2.經(jīng)典分享：“任何變化都是有規(guī)律可循的，規(guī)律是變化中不變的根據(jù)。”

五、板書設(shè)計(jì)

反比例的意義

兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化

積一定

x×y = k（一定）

【評(píng)析：本課以六個(gè)表格類比練習(xí)形式，使學(xué)生進(jìn)一步感受函數(shù)是反映現(xiàn)實(shí)生活中的一種有效模型，進(jìn)一步深化對(duì)函數(shù)概念的理解，通過(guò)與正比例關(guān)系進(jìn)行對(duì)比，與已有認(rèn)知發(fā)生沖突，對(duì)反比例形成初步的感性認(rèn)識(shí)。數(shù)學(xué)知識(shí)的獲得離不開生活，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更離不開生活。根據(jù)兒童的心理需求和教育教學(xué)的規(guī)律，要想讓學(xué)生學(xué)得輕松，對(duì)知識(shí)掌握得牢固，只有讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)建立在學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)之上，再加之與生活緊密聯(lián)系，才能讓學(xué)生真正掌握數(shù)學(xué)知識(shí)。當(dāng)然允許學(xué)生舉的反比例例子可以是錯(cuò)誤的，通過(guò)新課的學(xué)習(xí)學(xué)生也會(huì)做自我認(rèn)識(shí)的調(diào)整，從而把反比例概念真正納入自己的認(rèn)知體系。學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的探究和生成過(guò)程，充分認(rèn)識(shí)到反比例是描繪現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)量關(guān)系的一種數(shù)學(xué)模型，學(xué)生在探究中體會(huì)收獲新知的快樂(lè)，從而激發(fā)他們積極參與、大膽實(shí)踐的精神。

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)要求的一個(gè)最突出的特點(diǎn)是遵循學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心理規(guī)律，強(qiáng)調(diào)從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷“做數(shù)學(xué)”的過(guò)程。本節(jié)課從現(xiàn)實(shí)生活中的大量反比例關(guān)系中抽象出反比例概念，讓學(xué)生進(jìn)一步感受反比例也是反映現(xiàn)實(shí)世界中變量關(guān)系的有效數(shù)學(xué)模型，逐步從對(duì)具體反比例關(guān)系的感性認(rèn)識(shí)上升到抽象的反比例函數(shù)概念的理性認(rèn)識(shí)，讓學(xué)生經(jīng)歷了一個(gè)“正規(guī)化”的數(shù)學(xué)概念的形成過(guò)程，學(xué)生不僅感受到 “生活處處皆數(shù)學(xué)，生活處處有函數(shù)”，還認(rèn)識(shí)到研究、思考數(shù)學(xué)問(wèn)題的一般方法?！縱