淺談高中函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題

莊逢雙

摘 要：本文運(yùn)用函數(shù)零點(diǎn)的概念及函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理對(duì)函數(shù)零點(diǎn)存在性、唯一性、個(gè)數(shù)問(wèn)題進(jìn)行多方面的解答。巧用函數(shù)與方程思想，構(gòu)造函數(shù)，數(shù)形結(jié)合，結(jié)合典型例題分析相關(guān)問(wèn)題，得出解決此類(lèi)問(wèn)題的方法。

關(guān)鍵詞：函數(shù)零點(diǎn)；零點(diǎn)個(gè)數(shù)；高中數(shù)學(xué)

“函數(shù)的零點(diǎn)”是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要教學(xué)內(nèi)容。函數(shù)的零點(diǎn)從不同的角度將數(shù)與形、函數(shù)與方程有機(jī)地聯(lián)系在一起。函數(shù)的零點(diǎn)概念的生成與零點(diǎn)存在性定理的探究的教學(xué)過(guò)程中蘊(yùn)含了特殊到一般的思維方式和數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)換的數(shù)學(xué)思想。

1.判斷零點(diǎn)所在區(qū)間

例1.函數(shù)f（x）=ex+x-2的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是（ ）

（A）（-2，-1） （B）（-1，0）

（C）（0，1） （D）（1，2）

分析：顯然函數(shù)f（x）=ex+x-2在區(qū)間[0，1]上是連續(xù)函數(shù)，且f（0）<0，f（1）>0，所以由根的存在性定理可知，函數(shù)f（x）=ex+x-2的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是（0，1），選C。

2.函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題

例2.求函數(shù)f（x）=lnx+2x-6的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

解析：函數(shù)f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)？圳方程lnx+2x-6=0

即lnx=-2x+6的根的個(gè)數(shù)？圳y=lnx與y=-2x+6兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，如圖，

小結(jié)：方程的根？圳函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)？圳函數(shù)的零點(diǎn)？圳轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)

例3.方程 x3-4x+4-m=0有三個(gè)根，求m的取值范圍。

解析：法一：令f（x）= x3-4x+4-m可得f（x）=x2-4=（x-2）（x+2）

然后再結(jié)合函數(shù)f（x）的圖象與X軸的關(guān)系，可得，

當(dāng)y極小值=- -m<0且y極大值= -m>0即-

法二：通過(guò)構(gòu)造函數(shù)g（x）= x3-4x+4與h（x）=m轉(zhuǎn)化求解，通過(guò)求導(dǎo)求極值可得到函數(shù)y=g（x）的圖象，討論兩個(gè)函數(shù)圖象的位置關(guān)系，可得出結(jié)論：當(dāng)m∈（- ， ），g（x）= x3-4x+4與h（x）=m有三個(gè)交點(diǎn)，即方程 x3-4x+4-m=0有三個(gè)根。

3.求函數(shù)零點(diǎn)

類(lèi)型1：函數(shù)的零點(diǎn)可以確切求出

例4.給出4個(gè)命題：①f（x）=3x-6的零點(diǎn)是2；②f（x）=x2-6x+9的零點(diǎn)是3；③f（x）=2x-1的零點(diǎn)是0；④f（x）=log3（x-6）的零點(diǎn)是6.正確的是（ ）

解析：求函數(shù)的零點(diǎn)可以轉(zhuǎn)化為求出方程的根，①②③正確。令log3（x-6）=0，得x=7，④錯(cuò)誤。

類(lèi)型2：用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似解

例5.用二分法求f（x）=2x+x-4在區(qū)間（1，2）內(nèi)的零點(diǎn)近似解（精確度為0.2）（參考數(shù)據(jù)：21.5=2.83，21.25=2.38，21.375=2.59）

解析：f（1）=2+1-4<0，f（2）=22+2-4>0

因?yàn)閒（1.5）=2.83+1.5-4=0.33>0，所以零點(diǎn)在區(qū)間（1，1.5）內(nèi)

因?yàn)閒（1.25）=2.38+1.25-4=-0.37<0，所以零點(diǎn)在區(qū)間（1.25，1.5）內(nèi)

因?yàn)閒（1.375）=2.59+1.375-4=-0.035<0，所以零點(diǎn)在區(qū)間（1.375，1.5）內(nèi)

因?yàn)?.375-1.5=0.125<0.2

所以f（x）=2x+x-4在區(qū)間（1，2）內(nèi)的零點(diǎn)近似解可取1.375。

總之，關(guān)于函數(shù)零點(diǎn)的問(wèn)題，我們既要對(duì)教材進(jìn)行深度剖析與探究，又得結(jié)合典型例題，充分發(fā)揮例題的功能，達(dá)到了做一題遷移一片、解決一類(lèi)的目的，還要注意利用數(shù)學(xué)思想方法，如數(shù)形結(jié)合、構(gòu)造函數(shù)、函數(shù)與方程的思想。這樣既能使零點(diǎn)的知識(shí)系統(tǒng)聯(lián)系起來(lái)，也開(kāi)拓了學(xué)生的思維。

參考文獻(xiàn)：

[1]繆林.“函數(shù)與方程”教學(xué)設(shè)計(jì)與反思（一）[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2017（25）.

[2]戴蓓蓓.“函數(shù)與方程”教學(xué)設(shè)計(jì)與反思（二）[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2017（25）.

編輯 原琳娜