大學數(shù)學基礎(chǔ)課中待定系數(shù)法的應用策略分析

摘 要：數(shù)學是一門具有較強抽象性和邏輯性的科目，學生在數(shù)學學習中經(jīng)常會遇到困難，抓不住數(shù)學概念的本質(zhì)，解題技巧性不強，面對題目無從下手，影響了學習效果。待定系數(shù)法是一種簡單易懂的有效數(shù)學方法，適用于初中、高中、大學數(shù)學課程內(nèi)容。本文以大學數(shù)學基礎(chǔ)課為例，從實際例題出發(fā)，探討了大學數(shù)學基礎(chǔ)課中待定系數(shù)法的應用。

關(guān)鍵詞：應用；待定系數(shù)法；大學數(shù)學基礎(chǔ)課

大學數(shù)學基礎(chǔ)課教學中，待定系數(shù)法作為一種有效的數(shù)學方法對數(shù)學題目論證和運算有著重要作用。所謂待定系數(shù)法簡單來說就是在題目已知答案形式的基礎(chǔ)上進一步確定題目所有目標的過程，利用引入相應的待定系數(shù)，將復雜的數(shù)學問題演變成代數(shù)方程組，在解方程后得到待定系數(shù)值，最后求得題目問題的表達式。應用待定系數(shù)法解答大學數(shù)學題目不僅能提升解題效率和準確性，還能夠有效培養(yǎng)學生總結(jié)歸納的能力，加深學生對各個知識點區(qū)別與聯(lián)系的深刻理解，達到融會貫通的學習效果，有助于學生抽象思維能力和綜合分析能力的提升。因此，研究大學數(shù)學基礎(chǔ)課中待定系數(shù)法的應用十分必要。

一、 待定系數(shù)法在微分方程中的應用

在大學數(shù)學學習中，微分方程是重要的學習內(nèi)容，多位的微分方程簡單來說就是指含有未知函數(shù)和其導數(shù)的方程關(guān)系式，學生解微分方程的過程實際上就是找出這個未知函數(shù)的過程。由于微分方程知識和題目涉及的范圍比較廣，包括物理動力學、運動學、導數(shù)知識等，學生在理解起來有一定困難，面對微分方程題目時，常常無從下手，不得其解。教師利用待定系數(shù)法教學，能夠引導學生應用待定系數(shù)方式，降低題目難度，將復雜的微分方程簡單化，厘清解答思路，進而提升解題效率，得到準確答案。

例1 已知微分方程y″-5y′+6y=xa2x，求方程的解。

解析：在看到微分方程題目后，分析題目性質(zhì)可知這是一道二階系數(shù)非齊次線性的微分方程。由已知條件可以判定f（x）的型呈現(xiàn)為aλxPm（x）型，（其中Pm（x）=x，λ=2），進而得到對應題目方程的齊次方程式y(tǒng)″-5y′+6y=0，在得到這一方程后可知它的特征方程為

r2-5r+6=0，經(jīng)過計算得到方程兩個實根數(shù)值r1=3，r2=2。計算到這里可以知道Y=C1a2x+C2a3x是題目方程對應的齊次方程通解。運用待定系數(shù)，因為特征方程的單根為λ=2，因此可以設(shè)方程y*=x（b0x+b1）a2x。將它代入題目方程，能夠得到x=-2b0x+2b0-b1。接著比較等式兩端同次冪的系數(shù)，可以得到1=-2b0，0=2b0-b1。進一步計算得到b1=-1，b0=-12。由此可知特解是y*=x-12x-1a2x。最終得到本道題的方程解y=C1a2x+C2a3x-12（x2+2x）a2x。

二、 待定系數(shù)法在不定積分中的應用

在不定積分數(shù)學題目中，不定積分和定積分間的關(guān)系實際上是由微積分基本定理來確定的，實際解題過程中，運用理論基礎(chǔ)知識加之待定系數(shù)法，能夠降低復雜的有理函數(shù)積分問題，攻克解題難關(guān)，降低被積函數(shù)分項難度，把題目的有理函數(shù)通過待定系數(shù)的方式分解成為多個簡單化分式和，進而逐一求解，得到答案。

三、 待定系數(shù)法在空間解析幾何中的應用

目前，我國高等學校數(shù)學教材中，空間解析幾何根據(jù)課程大綱主要分為五個章節(jié)，內(nèi)容主要研究了空間曲線與空間曲面、空間直線與平面、矢量與坐標、二次曲線、其他二次曲面等，知識點討論了矢量的各種運算。在教學中教師有效應用待定系數(shù)法引導學生解答這類問題，能夠提升解題效率，豐富解題方法，促進學生思維能力的提升，有利于學生數(shù)學思維的構(gòu)建。

例2 設(shè)x，y和z軸與一平面的交點分別為M（A，0，0）、N（0，B，0）、F（0，0，C），其中A≠0，B≠0，C≠0，求這一平面的方程。

解析：在讀完題目后，根據(jù)已知條件可先設(shè)所求平面方程是ax+by+cz+d=0，由于M（A，0，0）、N（0，B，0）、F（0，0，C）這三個點均在方程平面上，因此，這三個點坐標均滿足于方程，利用待定系數(shù)法，即可得到Aa+d=0，Bb+d=0，Cc+d=0，在進一步計算后可知a=-dA，b=-dB，c=-dC，在代入后并除以d（d≠0），最終得到本題答案，平面方程式xA+yB+zC=1。

四、 待定系數(shù)法在矩陣運算中的應用

待定系數(shù)法在矩陣運算中的應用一般體現(xiàn)在抽象矩陣求逆過程中，通常在解答求逆時只是利用因式分解加之觀察題目，雖然能夠得到答案，但在面對題目非常復雜或者題目等式不能進行分解因式時，就要運用待定系數(shù)法，簡化題目，讓求逆過程不再困難重重。

例3 現(xiàn)有一n階方陣M，設(shè)方陣滿足條件（M-F）3=（M+F）3，求（M-2F）-1的值。

解析：在題目已知條件（M-F）3=（M+F）3下，能夠得到M3-3M2+3M-F=M3+3M2+3M+F，簡化等式得到3M2+F的值為0。

這時我們可以令（M-2F）（3M+mF）=pF，將這一等式開展進行整理計算后得到m=6，p=13，最后得到本題答案（M-2F）-1=-313（M+2F）。

五、 結(jié)束語

總而言之，在大學數(shù)學基礎(chǔ)課中待定系數(shù)法有重要應用作用，有效利用待定系數(shù)法可以解答大學數(shù)學微分方程題目、不定積分題目、空間解析幾何題目、矩陣運算題目，是一種降低題目難度、簡化解題過程的有效方法。因此大學數(shù)學基礎(chǔ)課程教師要在教學中重視待定系數(shù)法的講解和運用，拓展學生解題思維，打開數(shù)學學習思路，從而提升數(shù)學學習能力和解題水平，為學生的數(shù)學學習打下堅實基礎(chǔ)。

參考文獻：

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[2]李衛(wèi)高.待定系數(shù)法求自然數(shù)冪和[J].大學數(shù)學，2014，30（1）：114-116.

作者簡介：張娜，寧夏回族自治區(qū)銀川市，中國礦業(yè)大學銀川學院。