多角度探究解析幾何的應(yīng)用研究

白天羽

摘 要：解析幾何是通過建立坐標(biāo)系來用解析式研究幾何問題的一門幾何學(xué)分支，其本質(zhì)是利用平面直角坐標(biāo)系與方程的關(guān)系，建立幾何和代數(shù)問題相互轉(zhuǎn)化的關(guān)系，也就是變量的表示方法。因此，解析幾何與其它研究變量之間關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)分支都有密切的聯(lián)系，探究它們的聯(lián)系，可以更好地在數(shù)學(xué)研究中做到舉一反三。在此基礎(chǔ)上，本文從微積分、向量和行列式等角度探析了這些關(guān)系，以更好地理解解析幾何的實(shí)質(zhì)。

關(guān)鍵詞：解析幾何；微積分；向量；行列式；線性代數(shù)

中圖分類號(hào)：O182 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1671-2064（2019）05-0255-02

0 引言

解析幾何是通過建立坐標(biāo)系來用解析式研究幾何問題的一門幾何學(xué)分支，主要由笛卡爾和費(fèi)馬創(chuàng)立并發(fā)展。十六世紀(jì)左右，隨著生產(chǎn)和科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，原有的幾何學(xué)知識(shí)無法應(yīng)用在許多新的發(fā)現(xiàn)中。例如：天文學(xué)家開普勒發(fā)現(xiàn)行星運(yùn)行的軌道是橢圓形，伽利略發(fā)現(xiàn)被拋出的物體的運(yùn)動(dòng)軌跡是拋物線，這些曲線都不是以前的幾何學(xué)可以分析的，因此迫切需要一套新的幾何方法來探究其性質(zhì)。應(yīng)運(yùn)而生的則是笛卡爾的《幾何學(xué)》，其中笛卡爾的中心思想是建立起一種把代數(shù)和幾何統(tǒng)一起來的工具，即把任何數(shù)學(xué)問題化為一個(gè)代數(shù)問題，進(jìn)而歸結(jié)到去解一個(gè)方程式。而在此當(dāng)中聯(lián)系幾何和代數(shù)的是坐標(biāo)系，在坐標(biāo)系引入過程中笛卡爾的想法并不是偶然的，之前也有人提出了可由兩個(gè)數(shù)字“坐標(biāo)”（經(jīng)度和緯度）來確定一個(gè)點(diǎn)的位置的思想，以對(duì)天文和地理問題進(jìn)行研究。

解析幾何的創(chuàng)立開拓了數(shù)學(xué)的一個(gè)全新發(fā)展領(lǐng)域，進(jìn)而推動(dòng)了近代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展。解析幾何的引入使得運(yùn)動(dòng)和變化進(jìn)入到數(shù)學(xué)，微積分和牛頓力學(xué)被發(fā)明，科學(xué)和哲學(xué)也在其基礎(chǔ)上有了進(jìn)一步突破和發(fā)展。由此可見，解析幾何并不是一個(gè)孤立的學(xué)科，而是一種實(shí)用的研究方法和思想，它和很多數(shù)學(xué)、科學(xué)分支學(xué)科都有極大的關(guān)聯(lián)。本文分析解析幾何與其它幾個(gè)數(shù)學(xué)分支的聯(lián)系，以更好的理解解析幾何的思想方法，對(duì)數(shù)學(xué)的方法論有更深刻的認(rèn)識(shí)。

1 微積分與解析幾何的關(guān)系

微積分是高等數(shù)學(xué)的重要組成部分。從初等數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)的過渡，其核心在于“極限”的概念。例如，曲線在x0處的切線的定義是割線在x→x0時(shí)的極限位置，導(dǎo)數(shù)的定義也建立在Δx趨于0的條件下。而在極限的定義中，我們說變量y趨近于a，即y→a，是一個(gè)變量對(duì)于一個(gè)常量的一種關(guān)系[1]。由此可見，高等數(shù)學(xué)建立在對(duì)變量和常量關(guān)系的進(jìn)一步研究中，而關(guān)于變量與常量的討論又是解析幾何的核心思想。

在笛卡爾的理論中，首先建立坐標(biāo)，進(jìn)而將平面上的點(diǎn)和一對(duì)未知數(shù)聯(lián)系起來，然后在點(diǎn)動(dòng)成線的思想下，用方程來表示曲線，只要在最后的方程中出現(xiàn)兩個(gè)未知量就能得到一條軌跡，開創(chuàng)了應(yīng)用方程來研究軌跡的思想[2]。由此可見，代數(shù)的主要研究對(duì)象未知數(shù)在解析幾何中變成了變量，變量之間的關(guān)系變成了解析式。在解析幾何的基礎(chǔ)上，微積分對(duì)變量之間的關(guān)系有了更深入的探究：求導(dǎo)和積分都是對(duì)兩個(gè)變量關(guān)系的探究，引入另一個(gè)變量來刻畫函數(shù)關(guān)系。微積分是解析幾何的發(fā)展，解析幾何是初等數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)的過渡，二者都是對(duì)變量關(guān)系的刻畫方法。

有了微積分，解析幾何中的一些問題就可以輕松地解決。求導(dǎo)重新定義了切線，使得求坐標(biāo)系中曲線的切線有了一種新的方法，不再需要用平面幾何的定義來進(jìn)行求解。定積分對(duì)曲線圍成的面積有了代數(shù)上的定義，提供了這類問題的解決方法。又如函數(shù)的畫圖：有些函數(shù)單憑描點(diǎn)作圖很難畫得精確，而求導(dǎo)之后用幾個(gè)點(diǎn)就可以反映函數(shù)的關(guān)鍵特征，進(jìn)而可以相當(dāng)準(zhǔn)確地繪出圖像。由此可見，微積分是解析幾何的發(fā)展，對(duì)一些坐標(biāo)系中的問題有了新的認(rèn)識(shí)，它的思想方法應(yīng)用在解析幾何中，也能為進(jìn)一步解決問題提供新的思路。

2 向量在解析幾何中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)中的向量和物理中的矢量是指具有大小和方向的量，在坐標(biāo)系中能把向量以數(shù)對(duì)形式表示。在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量，作為一組基底，為任意向量，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為起點(diǎn)，P為終點(diǎn)作向量。把實(shí)數(shù)對(duì)（x，y）叫做向量的坐標(biāo)，記作= （x，y）。由平面向量基本定理可知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)（x，y），使得，因此向量可以和有序?qū)崝?shù)對(duì)一一對(duì)應(yīng)，也就可以和平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，在空間直角坐標(biāo)系中亦是如此。由此，向量通過有序?qū)崝?shù)對(duì)與坐標(biāo)系聯(lián)系了起來，也就代表著它可以應(yīng)用在解析幾何中。向量為幾何問題的代數(shù)化提供了一種方法，以下將從兩方面進(jìn)行分析。

2.1 平行和垂直問題

在幾何學(xué)中證明平行或垂直，以及對(duì)平行或垂直的條件的應(yīng)用都是根據(jù)幾何定理來解決的，如四邊形的性質(zhì)定理和勾股定理等。而在解析幾何中，運(yùn)用向量的知識(shí)可以用代數(shù)方法來解決問題。由向量的定理可知，若=（x，y），=（m，n），則等價(jià)于xn-ym=0；⊥的等價(jià)于·=0，即xn+ym=0。這就給使得許多幾何問題可以轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題。如例1所示：

例1：已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，P、Q分別是BC、CD上的動(dòng)點(diǎn)，且|PQ|=，建立如圖1所示的坐標(biāo)系。

確定P、Q的位置，使得B1Q⊥D1P。

分析：在對(duì)這道題目進(jìn)行解決的時(shí)候，由于幾何內(nèi)容中涉及到了向量的關(guān)系，所以這時(shí)可以對(duì)向量進(jìn)行坐標(biāo)化的發(fā)展，將問題轉(zhuǎn)化為與點(diǎn)相關(guān)的坐標(biāo)問題。

解答：設(shè)|BP|=t，則P（2，t，0）

∵QB1·PD1=0，∴t=1。

即P、Q分別是棱BC、CD的中點(diǎn)時(shí)，B1Q⊥D1P。

在這道題中，向量與有序?qū)崝?shù)對(duì)的對(duì)應(yīng)使得垂直問題轉(zhuǎn)化為了代數(shù)中的解方程，變成了一個(gè)運(yùn)算問題。而若是用幾何方法進(jìn)行推導(dǎo)和證明，問題就會(huì)復(fù)雜許多。

2.2 角度問題

在向量中，可以利用向量的數(shù)量積解決角度的計(jì)算問題。向量的數(shù)量積的定義：已知兩個(gè)非零向量，，作OA=，OB=，則∠AOB稱作向量和向量的夾角，記作θ。兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量，記作·，等于||·||·cosθ。而在坐標(biāo)系中，若=（x，y），=（m，n），可證·=xm+bn。它可以應(yīng)用于許多與夾角相關(guān)的問題中，如例題2所示：

例2：如圖2所示，直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是以∠ABC為直角的等腰直角三角形，|AC|=2a，|BB1|=3a，D為A1C1的中點(diǎn)，E為B1C的中點(diǎn)。

求直線BE與A1C所成的角。

解答：

以B為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。

∵|AC|=2a，∠ABC=90°，

∴|AB|=|BC|=a

C（0，a，0），A（a，0，0），A1（a，0，3a），C1（0，a，3a），B1（0，0，3a），D（a，a，3a），E（0，a，a）

∴=（a，-a，3a），=（0，a，a）.

∴|CA1|=a，|BE|=a

∴·=0-a2+a2=a2

∴cosθ==

故BE與A1C所成的角大小為arccos。

在這道例題中，直觀上沒有關(guān)聯(lián)的兩條線的夾角并不好通過幾何方法求出來，而向量的方法巧妙地將其轉(zhuǎn)化為了兩個(gè)左邊的問題，進(jìn)而變成解方程的問題。由此可見，向量在解析幾何的問題中提供了幾何與坐標(biāo)、乃至方程之間轉(zhuǎn)化的方法，將很多幾何上不好解決的問題轉(zhuǎn)化為了解方程的計(jì)算問題。

3 行列式在解析幾何中的應(yīng)用

在數(shù)學(xué)中，矩陣是一個(gè)按照長(zhǎng)方陣列排列的復(fù)數(shù)或?qū)崝?shù)集合，是一種數(shù)學(xué)上的結(jié)構(gòu)化語言。由于它的本質(zhì)實(shí)際上是方程組的解的一種排列方式，而方程組是解析幾何中解析式的變形，所以矩陣本身在解析幾何中也能發(fā)揮很大的作用。如關(guān)于平面圖形的面積：

定理：已知ΔABC在平面直角坐標(biāo)系中的三頂點(diǎn)坐標(biāo)：A（x1，y1）B（x2，y2）C（x3，y3）則：

SΔABC=

由此可得出推論：在平面直角坐標(biāo)系中的三點(diǎn)：A（x1，y1）B（x2，y2）C（x3，y3）共線的充要條件是=0[3]。

4 結(jié)語

解析幾何本質(zhì)上是利用平面直角坐標(biāo)系與方程的關(guān)系，建立幾何和代數(shù)問題相互轉(zhuǎn)化的關(guān)系。由此可知，其它與變量有關(guān)的數(shù)學(xué)問題，都是可以和解析幾何密切相關(guān)的。在上面的分析中我們發(fā)現(xiàn)，微積分是解析幾何的發(fā)展，向量是解析幾何的工具，行列式作為方程組的解的表達(dá)方法，也是解析幾何的延申拓展及使用工具。理解解析幾何和其他數(shù)學(xué)分支的關(guān)系，可以更好地理解解析幾何數(shù)形結(jié)合的思想，做到舉一反三。

參考文獻(xiàn)

[1] 劉曉蘭.從解析幾何到微積分——談微積分的實(shí)質(zhì)與教學(xué)[J].丹東紛專學(xué)報(bào)，1996（1）：68-69.

[2] 曹澤.解析幾何的創(chuàng)立及其在近代科學(xué)認(rèn)識(shí)上的作用[J].安陽大學(xué)學(xué)報(bào)，2003（3）：59-61.

[3] 黃莉，湯茂林.行列式在解析幾何中的應(yīng)用[J].貴陽學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2014（1）：42-44.