籃球罰籃落點(diǎn)對命中率影響的數(shù)學(xué)模型

張弘毅

摘 要：本文通過大量的模型假設(shè)和簡化，將籃球運(yùn)動中的罰籃簡化為一個幾何概型問題，由此得到的結(jié)論是：隨著出手時的角度增加，籃球的運(yùn)動軌跡變高，落筐時的速度與水平方向的夾角也變大，命中率上升。這一定性的結(jié)論與真實(shí)的籃球比賽體現(xiàn)出的規(guī)律相符，同時也能夠?yàn)橥痘@訓(xùn)練提供一些指導(dǎo)。本模型做出的假設(shè)和簡化很多，比較粗糙，因此有很大的改進(jìn)空間。

關(guān)鍵詞：罰籃；命中率；數(shù)學(xué)模型；入筐角度；命中區(qū)域

中圖分類號：G841 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1671-2064（2019）05-0213-03

1 課題背景

籃球，目前最熱門的體育運(yùn)動之一。不僅需要個人能力的展現(xiàn)，還需要團(tuán)隊(duì)每個隊(duì)員的合作，配合以及戰(zhàn)術(shù)的制定。而當(dāng)對方犯規(guī)時，罰球，就主要看的是你罰籃的命中率了。在無數(shù)的籃球比賽中，罰籃是非常重要的得分手段。它是唯一一種不允許對方進(jìn)行防守的得分方式。強(qiáng)如NBA球員，也有很多人的罰球成為球隊(duì)的弱點(diǎn)，在重要的比賽中受到針對，必須被教練員換下，無法發(fā)揮自己的作用。典型的例子如，沙克·奧尼爾、德懷特·霍華德、德安德魯·喬丹等。

在生活中，球場上，有的人，罰籃板球時總會打到籃筐而彈出，命中率低，而有些人卻能做到百發(fā)百中。其中自然會有所謂的“手感”因素，也就是對球掌控能力的好壞。對于經(jīng)常投籃的球員來說，經(jīng)常打籃球和好久沒打籃球兩種情況，對球的掌控熟練度是有很大差別的。除此以外，個體反應(yīng)快慢，身體素質(zhì)的差異也影響命中率。顯然，一名專職籃球運(yùn)動員和業(yè)余愛好者對抗，那么運(yùn)動員更能夠保證做出標(biāo)準(zhǔn)或高難度的動作。命中率自然也大有可能提高。

上述這些，再加上肌肉記憶和心理作用等方面的差異，歸根結(jié)底都是從個體生物學(xué)角度找原因。但從運(yùn)動訓(xùn)練角度來說，這些個體差異甚至包含太多的隨機(jī)因素，不能夠成為訓(xùn)練項(xiàng)目設(shè)計(jì)的依據(jù)。我希望通過本文，討論籃球入筐落點(diǎn)與命中率的關(guān)系，以科學(xué)的角度認(rèn)識罰球的命中率，從而可以為投籃訓(xùn)練提供一些新思路新想法。

2 數(shù)學(xué)模型

2.1 參數(shù)定義

入筐角度（θ）：籃球剛碰上籃筐所在平面接觸時籃球速度與水平面的夾角。

落點(diǎn)：籃球剛與籃筐所在平面接觸時的接觸點(diǎn)。

總區(qū)域（S）：作為一個球員，即使在最極端情況下，投出的罰球落點(diǎn)也不會離開這樣一個區(qū)域，該區(qū)域稱為總區(qū)域。

命中區(qū)域（S陰影）：能進(jìn)筐的籃球，其落點(diǎn)所在的區(qū)域。

出手角度（α）：籃球出手時的速度與水平方向的夾角。

命中率（P）：籃球入筐的概率。

2.2 模型假設(shè)

從模型的復(fù)雜性不能過高和真實(shí)性不能太差兩個方面進(jìn)行考慮，做如下假設(shè)：

（1）忽略籃球的下旋角速度，認(rèn)為是在空氣中平動，而不轉(zhuǎn)動；（2）忽略籃筐的彈性，認(rèn)為籃筐無彈性是剛體；（3）忽略空氣阻力；（4）因籃球運(yùn)動速度較大，在籃筐附近，籃球的運(yùn)動軌跡近似看作直線運(yùn)動；（5）總區(qū)域是籃筐的正上空，其面積就等于籃筐圍成的面積；（6）球員投出的罰球落點(diǎn)在總區(qū)域中呈均勻分布，因此由幾何概型，P=S陰影/S。

2.3 數(shù)學(xué)模型

模型以國際籃球（FIBA）標(biāo)準(zhǔn)為基礎(chǔ)建立，籃筐高度 H=3.05m，籃筐中心與罰球人員距離L=4.225m。

籃球半徑r=12.3cm

籃筐內(nèi)半徑R=22.5cm

以籃筐為主要對象考慮如下：

①當(dāng)落筐角度θ=45°時，如圖1，當(dāng)球的重心位于籃筐半面內(nèi)時，如圖1所示陰影面積為籃球重心所能穿過的點(diǎn)所組成的重心區(qū)域。

又因?yàn)橐?5°角度斜向下落，可以將籃筐周圍的運(yùn)動近似看做直線運(yùn)動，所以將重心區(qū)域斜向上45°移動r的距離，再由豎直方向投影得到落點(diǎn)的大致區(qū)域位置如圖2所示。

又因?yàn)楫?dāng)籃球落點(diǎn)在最前沿，如圖3所示

籃球具有斜向下45°的速度V，所以水平分速度VX= Vcos45°=V，豎向分速度Vy=Vsin45°=V

在籃球接觸籃筐瞬間會受到視為剛體籃筐一個向的支持力，足以改變籃球運(yùn)動時的豎直分速度Vy，籃球會被彈飛。所以當(dāng)籃球沿切線l斜向下45°運(yùn)動時，正好不接觸籃筐進(jìn)筐。

∴過圓心A作AB⊥l，延長AC交l與E

∵∠BDF=45°，∠BDC=135°，∠ABD=∠ACD=90°

∴∠BAE=∠AEB=45°

∴△ABE為等腰直角三角形

∵AB=AC=r=12.3cm

AE=12.3×≈17.39cm

DC=CE=12.3×（-1）≈5.09=d

所以落點(diǎn)實(shí)際位置應(yīng)為圖5所示的陰影部分。

陰影部分可簡化分為兩部分計(jì)算面積S陰影，上半部分是半圓，下半部分不是個規(guī)則形狀，限于我的知識水平，將其近似看作是半個橢圓

S上=≈163.34cm2

S下=≈81.83cm2

S陰影=S上+S下=245.17cm2

S筐=πR2=1589.62cm2

P1==0.1542=15.42%

②當(dāng)θ=60°時如圖6

R-r=10.2cm

X==7.1cm

∵∠BDE=60°，∠BAC=60°

∵AC=ABAD=ADBD=DC

∴△ADB≌△ADC

∴d==7.1cm

S=R-r+x=17.3cm

22.5-7.1=15.4<17.3cm

△r=17.3-15.4=1.9cm

S上≈163.34cm2

S下≈132.92cm2

S陰影=S上+S下=296.26cm2

P2==0.1864=18.64%

綜上：P1

同以上①②計(jì)算方法，當(dāng)θ=30°概率為P3，

∴P3

籃球的P（命中率）-θ（落筐角度）圖象大致如圖8，隨著落筐角度增加，罰球的命中率單調(diào)上升。

根據(jù)假設(shè)3，籃球運(yùn)動軌跡是一條拋物線，若球的初速度有一個上限（即人手腕的力量不能無限上升），出手角度就只能在一個特定的范圍內(nèi)變化，才有可能命中。定性地說，出手角度越大，落筐角度也越大。根據(jù)上述模型的計(jì)算結(jié)果，在可接受范圍內(nèi)盡量投高弧線的罰球，命中率就能越高。

3 對數(shù)學(xué)模型的分析

3.1 誤差分析

首先，下旋對于投籃來說非常重要。在無旋轉(zhuǎn)情況下，當(dāng)球觸碰籃筐的前沿，會被彈力沿撞擊速度方向的反方向彈飛，但若存在下旋角速度，會給籃球一個與相對運(yùn)動方向相反，也就是一個近似向下的摩擦力，若足夠大可以使籃球進(jìn)筐，命中率提升。因此我在本文中忽略了下旋角速度，這是可以改進(jìn)的地方。

第二，我忽略了籃筐的彈性，即把籃筐作為剛體，這也是影響命中率的重要因素，在籃球撞擊時，籃筐會發(fā)生形變，不會像未發(fā)生形變時類似于鏡面反射，而是反射方向會偏離一定角度，從而影響籃球之后的運(yùn)動軌跡。

第三，我在計(jì)算中認(rèn)為命中區(qū)域由半個圓和半個橢圓組合而成。半圓部分在模型中是精確的，而半橢圓部分是近似的。命中區(qū)域?qū)嶋H上可以精確地計(jì)算出來，但這超過了我的數(shù)學(xué)水平，故用了這樣一種近似，在未來這是一處可改進(jìn)的點(diǎn)。

第四，本文只討論了落筐角度的因素，正如課題背景部分所述，罰球綜合地考驗(yàn)著球員的生理、心理、技巧等。這許多因素都沒有在本文中加以討論，但是為了討論這些因素，一方面可以把它們與總區(qū)域的面積建立聯(lián)系，另一方面也可以考慮放棄假設(shè)6，認(rèn)為投出手的籃球“更可能”命中籃筐中心，而不是均勻分布于總區(qū)域中。

最后，假設(shè)3和假設(shè)4都導(dǎo)致了模型中涉及的籃球運(yùn)動軌跡與現(xiàn)實(shí)存在偏差。這也是可以改進(jìn)的。

3.2 指導(dǎo)應(yīng)用

通過本文的分析，我們得到定性的結(jié)論：在投籃時，應(yīng)使籃球運(yùn)行軌跡拋物線高，弧度大，保證入筐時的角度足夠大，就能使觸筐的機(jī)會減少，增加“空刷”的概率，提高罰球的命中率。這一結(jié)論可以應(yīng)用于投籃訓(xùn)練。

3.3 改進(jìn)的潛力

通過以上分析不難指出這一數(shù)學(xué)模型可供改進(jìn)的一些點(diǎn)：

（1）本文簡化了模型，未涉及籃球運(yùn)動時自轉(zhuǎn)問題、籃筐彈性問題以及空氣阻力的考慮。為了考慮這些因素，可以簡單地在本模型的基礎(chǔ)上加入相應(yīng)的修正量。（2）為了簡化計(jì)算，形狀復(fù)雜的命中區(qū)域被我簡化成了，方便計(jì)算的半圓+橢半圓圖形來計(jì)算，為了算得更精準(zhǔn)，可以用MATLAB等工具精確化。

4 結(jié)論和建議

本文研究了罰球時的籃球入筐的概率，用忽略空氣阻力、不繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動的情況下的運(yùn)動來討論命中率。

通過建立模型，得到了罰球時籃球入筐的運(yùn)動情況并簡化，并得到籃球的入筐角度與命中率的關(guān)系，命中率隨入筐角度的增大而增大，當(dāng)籃球的入筐角度在合理范圍內(nèi)達(dá)到最大值時，命中率達(dá)到最高。

教練員在日常練習(xí)中要特別加強(qiáng)罰球規(guī)范性的要求，使運(yùn)動員的投籃弧線和入射角度盡量大，提高命中率與得分率。

最典型的例子，NBA的兩場季后賽中，第一場小喬丹獲得了12次罰球，罰中5球，快船贏得比賽；第二場小喬丹獲得了17次罰球，命中6球，快船輸?shù)袅吮荣?。他的罰籃次數(shù)從常規(guī)賽的5.7次暴漲到14.5次，可無論他如何宣稱自己加練了罰籃，他的命中率仍是可憐的37.9%。

罰籃和投籃的命中率，會決定球隊(duì)的輸贏，教練員需加強(qiáng)訓(xùn)練，使運(yùn)動員形成肌肉記憶，提高團(tuán)隊(duì)水平。

參考文獻(xiàn)

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