二輪復(fù)習(xí)要引導(dǎo)學(xué)生抓解題“特征”

廣東 陳躍琳

新一輪的課程改革已經(jīng)進(jìn)入關(guān)鍵時(shí)期，在教育教學(xué)中越來(lái)越強(qiáng)調(diào)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和學(xué)習(xí)能力.近年來(lái)，高考制度的改革給高考復(fù)習(xí)備考帶來(lái)了深刻的變革，在復(fù)習(xí)中教師越來(lái)越注重學(xué)習(xí)方法、解題方法的傳授，而不只是向?qū)W生傳授基礎(chǔ)的學(xué)科知識(shí).數(shù)學(xué)是促進(jìn)學(xué)生能力發(fā)展、思維提高以及認(rèn)知水平提高的基礎(chǔ)性學(xué)科.但是由于高中數(shù)學(xué)知識(shí)的復(fù)雜性、抽象性使很多學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中望而生畏.二輪復(fù)習(xí)是提升學(xué)生能力的階段，若教師在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的教學(xué)方式以及教學(xué)理念運(yùn)用不當(dāng)，就會(huì)使得學(xué)生的復(fù)習(xí)效率低下，表面上看，每天都沉浸在高壓的學(xué)習(xí)中，但是并沒(méi)有什么太大的效果.因此，教師必須要轉(zhuǎn)變教學(xué)理念和教學(xué)方式，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)不同類(lèi)型題目的特征進(jìn)行總結(jié)和歸納，掌握不同的解題方法，讓學(xué)生在做題過(guò)程中體會(huì)數(shù)學(xué)的魅力.

許多數(shù)學(xué)問(wèn)題，細(xì)心觀察就會(huì)發(fā)現(xiàn)，無(wú)論是條件、結(jié)論，還是數(shù)值、結(jié)構(gòu)形式等，都表現(xiàn)出或隱含著某些“特征”，這些“特征”是問(wèn)題的“題眼”，是解決問(wèn)題的切入點(diǎn).在二輪復(fù)習(xí)教學(xué)中，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生抓住這些“特征”，并以這些“特征”為導(dǎo)向進(jìn)行分析、變換、聯(lián)想、構(gòu)造，這樣可以快速獲得解決問(wèn)題的思路或優(yōu)化解決問(wèn)題的過(guò)程.下面從幾方面闡述抓“特征”在數(shù)學(xué)解題中的導(dǎo)向作用.

一、數(shù)據(jù)特征

許多數(shù)學(xué)問(wèn)題，都會(huì)出現(xiàn)具有某種特征的數(shù)據(jù)，會(huì)對(duì)問(wèn)題的解決起著導(dǎo)向作用.只要注意觀察、分析，重視挖掘，從數(shù)值本身的變化、數(shù)值與數(shù)值之間的聯(lián)系去尋找解題的切入點(diǎn).

二、位置特征

與圖形(象)有關(guān)的一些數(shù)學(xué)問(wèn)題都有它特定的位置關(guān)系，若能細(xì)致分析某些關(guān)鍵的點(diǎn)或線(xiàn)的位置“特征”，不僅可以簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程，甚至可以得到不攻自破的解題效果.

解析：雙曲線(xiàn)C的一條漸近線(xiàn)平分圓的周長(zhǎng)，意味著這條漸近線(xiàn)經(jīng)過(guò)圓的“圓心”.抓住這一位置關(guān)系，問(wèn)題便容易攻破.

點(diǎn)評(píng)：若不能發(fā)現(xiàn)雙曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)經(jīng)過(guò)圓的“圓心”這一位置關(guān)系，則很難處理漸近線(xiàn)將圓的周長(zhǎng)平分，也就無(wú)法順利解決問(wèn)題.

例4.(2018·全國(guó)卷Ⅲ·理6文8)直線(xiàn)x+y+2=0分別與x軸，y軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓(x-2)2+y2=2上，則△ABP面積的取值范圍是

( )

A.[2，6] B.[4，8]

解析：由于|AB|是確定的，所以△ABP面積的取值范圍取決于點(diǎn)P到直線(xiàn)x+y+2=0的距離.所以過(guò)圓心作直線(xiàn)x+y+2=0的垂線(xiàn)，與圓的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P的位置.

點(diǎn)評(píng)：發(fā)現(xiàn)“過(guò)圓心作直線(xiàn)x+y+2=0的垂線(xiàn)，與圓的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P的位置”是順利解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

三、圖形特征

有些抽象的數(shù)量關(guān)系，若轉(zhuǎn)化為具體的圖形問(wèn)題，并抓住圖形特征，則思路直觀、清晰，有利于快速解題.

例5.(2017·全國(guó)卷Ⅰ·理13)已知向量a，b的夾角為60°，|a|=2，|b|=1，則|a+2b|=________.

點(diǎn)評(píng)：向量具備代數(shù)和幾何特征，在處理涉及向量模的一類(lèi)問(wèn)題時(shí)，若充分運(yùn)用“圖形特征”會(huì)加快解題速度，可使問(wèn)題得以“秒殺”.

解析：由(a-c)2+(b-d)2很容易聯(lián)想到它的幾何意義，其表示兩點(diǎn)(a,b),(c,d)的距離的平方.

點(diǎn)評(píng)：有些多元問(wèn)題表面上看起來(lái)比較繁瑣，無(wú)從下手，而轉(zhuǎn)換視角，挖掘題設(shè)條件中蘊(yùn)含的圖形特征，便可找到問(wèn)題解決的切入點(diǎn).比如本題就是將代數(shù)問(wèn)題幾何化，并借助導(dǎo)數(shù)來(lái)分析動(dòng)點(diǎn)間的距離問(wèn)題，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象這一核心素養(yǎng)有一定的幫助.

四、結(jié)構(gòu)特征

數(shù)學(xué)問(wèn)題條件或結(jié)論中的數(shù)、式結(jié)構(gòu)常常隱含著某種特殊的關(guān)系，注意洞察并加以分析、加工和轉(zhuǎn)化，可迅速找到解決問(wèn)題的思路.

例7.設(shè)x、y為實(shí)數(shù)，且滿(mǎn)足

解析：條件中兩方程左邊的結(jié)構(gòu)形式相同，為此，構(gòu)造函數(shù)f(x)=x3+2 019x，并討論其單調(diào)性和奇偶性從而達(dá)到解題的目的.

構(gòu)造函數(shù)f(x)=x3+2 019x，易知它是奇函數(shù)，且在R上單調(diào)遞增.

所以x-1=1-y，即x+y=2.

點(diǎn)評(píng)：若按常規(guī)方法求解此題，難度較大，甚至無(wú)法入手.這里通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性轉(zhuǎn)化求解，方法巧妙，且過(guò)程簡(jiǎn)潔.

(Ⅰ)證明：sinAsinB=sinC；

解析：(Ⅰ)略.

因?yàn)锳為△ABC的內(nèi)角，所以A∈(0,π)，sinA>0，

所以tanB=4.

五、差異特征

許多數(shù)學(xué)問(wèn)題的條件與結(jié)論之間、“量”與“量”之間，往往表現(xiàn)出一些“差異”關(guān)系，這些“差異”以特有的方式直接或間接地暗示著解題的方向.

例9.已知函數(shù)f(x)=ax-bx(a>0,a≠1).

(Ⅰ)若函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線(xiàn)方程為y=(e-1)x，求函數(shù)f(x)的解析式；

(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下，設(shè)g(x)=x2-x+m，若?x0∈R，使?x∈R不等式f(x)>g(x0)成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

解析：(Ⅰ)因?yàn)閒(x)=ax-bx(a>0,a≠1),所以f(1)=a-b=e-1.

又因?yàn)閒′(1)=alna-b=e-1，所以a=e，b=1，所以f(x)=ex-x.

(Ⅱ)x0是存在量，x是任意量，從這一“差異”中我們可以意識(shí)到問(wèn)題需要轉(zhuǎn)化求解才能奏效.

?x0∈R，使?x∈R不等式f(x)>g(x0)成立?當(dāng)x∈R時(shí)，f(x)min>g(x)min.

當(dāng)x≥0時(shí)，f′(x)=ex-1≥0，所以f(x)在區(qū)間[0,+∞)上單調(diào)遞增.

當(dāng)x<0時(shí)，f′(x)=ex-1<0，所以f(x)在區(qū)間(-∞,0)上單調(diào)遞減.

所以函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)上的最小值為f(0)=1.

點(diǎn)評(píng)：數(shù)學(xué)中的“任意量”與“存在量”常見(jiàn)常用，變式多樣，內(nèi)涵深刻.本題依據(jù)“量”與“量”之間的差異，將條件不等式的成立等價(jià)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值關(guān)系求解，體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.

解析：條件中給出了兩個(gè)“不等量”關(guān)系，結(jié)論探求的是“等量”關(guān)系.通過(guò)對(duì)這一差異“點(diǎn)”的分析，獲知解題的切入點(diǎn)就是化“不等”為“等”.

因?yàn)镾n≤n2+n-1，所以S1=a1≤12+1-1=1，即a1≤1.①

由①②得a1=1.

故由③④可得d=2.

點(diǎn)評(píng)：本題通過(guò)對(duì)“等”與“不等”的差異“點(diǎn)”的分析轉(zhuǎn)化，使得不等式中的“夾逼”法則：“如果實(shí)數(shù)x,a滿(mǎn)足a≤x≤a(即x≥a且x≤a)，則必有x=a”在本題求解中起了重要的作用.