對數(shù)學抽象核心素養(yǎng)的解讀

湖北 王衛(wèi)華 洪 程

數(shù)學抽象是數(shù)學的基本思想，是其他學科素養(yǎng)的基礎(chǔ)，是形成理性思維的重要基礎(chǔ).隨著新課改的大力推進，人們的教育觀念從只注重成績逐步轉(zhuǎn)向關(guān)注學生核心素養(yǎng)的養(yǎng)成，國民核心素養(yǎng)的培育毫無疑問是極其重要的課題，對高中生而言，數(shù)學核心素養(yǎng)是繞不開的話題，而數(shù)學抽象是排在所有數(shù)學核心素養(yǎng)之首，是其他數(shù)學核心素養(yǎng)的基礎(chǔ)，正如史寧中教授所說：數(shù)學在本質(zhì)上研究的是抽象的東西，數(shù)學的發(fā)展所依賴的最重要的基本思想也是抽象.我們教學的最終目的也是培養(yǎng)學生初步的抽象思維，即邏輯思維能力，從問題情境到概念的升華、從具體計算題抽象出計算法則、從具體應(yīng)用題抽象出常見的數(shù)學模型等,無一不是抽象的過程.數(shù)學的抽象決定了數(shù)學可以培養(yǎng)學習者的抽象能力，也決定了學習者必須具有一定的抽象能力.那么我們?nèi)绾卫斫鈹?shù)學抽象呢？

一、數(shù)學抽象的定義

數(shù)學抽象是指通過對數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象，舍去事物的一切物理屬性，得到數(shù)學研究對象的素養(yǎng).

從數(shù)學抽象的內(nèi)涵看，數(shù)學抽象主要包括：從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學概念及概念之間的關(guān)系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并用數(shù)學符號或者數(shù)學術(shù)語予以表征.注意這里舍去的“物理屬性”不是物理科學和物理理論，而是現(xiàn)實的物體的特殊性質(zhì).舍去的是它們的不同點，而得到的是它們的共同點，其中關(guān)于數(shù)量關(guān)系和空間形式的共同點就是數(shù)學研究對象——數(shù)學抽象.另外某些共同點是物理或者其他科學的研究對象，就是物理學或其他科學的抽象.

從數(shù)學抽象的學科價值看，數(shù)學抽象是數(shù)學的基本思想，是形成理性思維的重要基礎(chǔ)，反映了數(shù)學的本質(zhì)特征，貫穿在數(shù)學產(chǎn)生、發(fā)展、應(yīng)用的過程中.它具有把具體問題用簡潔的數(shù)學語言符號表示、用一般的方法來解決復雜的數(shù)學文字、變表面無關(guān)的東西為奇妙的數(shù)學結(jié)構(gòu)和體系的作用.“抽象”一詞幾乎成為了數(shù)學的代名詞，數(shù)學抽象使得數(shù)學成為高度概括、表達準確、結(jié)論一般、有序多級的系統(tǒng).

從數(shù)學抽象的教育價值看，通過數(shù)學抽象核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，經(jīng)歷從具體到抽象的過程，能夠感悟數(shù)學概念、命題、方法和體系的形成；能通過抽象、概括去認識、理解、把握事物的數(shù)學本質(zhì)，逐漸養(yǎng)成一般性思考問題的習慣；能夠在其他學科的學習中主動運用數(shù)學抽象的思維方式解決問題.

二、數(shù)學抽象的特點

1.數(shù)學抽象具有抽象性

數(shù)學是一門研究度量、形式、圖形和變化的學科，雖說它的研究對象脫不開現(xiàn)實原型，但可以繞開具體內(nèi)容，理性地抽象出思維結(jié)果；另外我們可以用公理化的方法統(tǒng)一數(shù)學研究的各個領(lǐng)域.比方說，我們從海水潮汐變化、工廠投入與產(chǎn)出的利潤、斜拋運動等問題中抽象出函數(shù)概念，并研究得出它的各種性質(zhì)，自此就可以借助函數(shù)的思想統(tǒng)一協(xié)調(diào)高中代數(shù)的主體內(nèi)容，融合各數(shù)學分支形成一個整體，大大提升了學生的數(shù)學抽象能力.由此可見，在教學中如果我們運用恰當?shù)慕虒W方式，定會培養(yǎng)出學生在學習中的數(shù)學抽象能力.

2.數(shù)學抽象具有合理性與可操作性

數(shù)學抽象的合理性表現(xiàn)為重點抽取對象的數(shù)量關(guān)系或空間形式，同時還表現(xiàn)為相對的確定性.以概率為例，我們從實際問題中抽象出各概率特點，如根據(jù)對象是離散的還是連續(xù)的，將概率劃分為古典概率與幾何概率等概率模型，分別得出相應(yīng)求解策略，這些結(jié)論相互補充正好構(gòu)成了系統(tǒng)且完備的知識體系，有利于學生的理解與掌握.我們運用公理化的思想，借助合理性的數(shù)學抽象可以建立起各種數(shù)學符號體系，并借這個科學思維的智力工具，通過某些可操作的教學行為，使得學生有效地建立起形式化、統(tǒng)一化且具有聯(lián)系性、整體性的數(shù)學知識和思想方法體系，并在解決問題的過程中不斷鞏固、完善和發(fā)展這一體系.這樣加以規(guī)劃、設(shè)計和培養(yǎng)數(shù)學抽象能力，可以使學生的數(shù)學學習形成良性循環(huán).

3.數(shù)學抽象具有層次性與可接受性

數(shù)學抽象由于抽象的對象(概念、模型、理論體系等)和過程的不同，數(shù)學抽象的發(fā)展體現(xiàn)出不同的層次性，正如概念的內(nèi)涵與外延關(guān)系一樣，越抽象概括性越強、應(yīng)用性越廣泛，反映人們抽象思維水平也就越高，但與之俱來的是學生接受知識的困難大大增加.如函數(shù)的概念，初中給出的定義是以現(xiàn)實問題中的例子為依托、利用文字敘述給出來的，初中“變量說”的函數(shù)定義抽象程度相對較低，對于剛接受從常量學習轉(zhuǎn)向變量學習的初中生而言具有可接受性.但這種非形式化的定義具有很大的局限性，不能進一步深化函數(shù)的意義和仔細描述函數(shù)性質(zhì)，因而高中教材采用了抽象程度更高的“映射說”，通過引進函數(shù)符號f(x)，使得函數(shù)的眾多性質(zhì)可以通過形式化加以定義和證明.誠然，隨著年齡的增長，高中生已具備了一定的數(shù)學抽象能力，但是，面對由“非形式化”向“形式化”的飛躍，倘若我們在教學中不能處理好兩者的有機結(jié)合，那么學生會難以理解函數(shù)思想，自主運用函數(shù)觀點解決問題更是無從談起.可見，教師的有效教學調(diào)控、耐心引導，并訓練學生逐步從初級的經(jīng)驗水平轉(zhuǎn)向高級的科學水平的抽象，對學生形成數(shù)學抽象這一核心素養(yǎng)具有極其重要的作用.

三、數(shù)學抽象水平的質(zhì)量標準

新課標每個數(shù)學核心素養(yǎng)水平都是從情境與問題、知識與技能、思維與表達、交流與反思這四個方面來闡述，并且每一個數(shù)學核心素養(yǎng)均劃分為三個水平，數(shù)學抽象的三個水平，也是從上述四個方面來說明的：

水平素養(yǎng)數(shù)學抽象水平一 能夠在熟悉的情境中直接抽象出數(shù)學概念和規(guī)則;能夠在特例的基礎(chǔ)上歸納并形成簡單的數(shù)學命題;能夠模仿學過的數(shù)學方法解決簡單問題.能夠解釋數(shù)學概念和規(guī)則的含義;了解數(shù)學命題的條件與結(jié)論;能夠在熟悉的情境中抽象出數(shù)學問題.能夠了解用數(shù)學語言表達的推理和論證;能夠在解決相似的問題中感悟數(shù)學的通性通法,體會其中的數(shù)學思想.在交流的過程中,結(jié)合實際情境解釋相關(guān)的抽象概念.水平二 能夠在關(guān)聯(lián)的情境中抽象出一般的數(shù)學概念和規(guī)則;能夠?qū)⒁阎獢?shù)學命題推廣到更一般的情形;能夠在新的情境中選擇和運用數(shù)學方法解決問題.能夠用恰當?shù)睦咏忉尦橄蟮臄?shù)學概念和規(guī)則;理解數(shù)學命題的條件與結(jié)論;能夠理解和構(gòu)建相關(guān)數(shù)學知識之間的聯(lián)系.能夠理解用數(shù)學語言表達的概念、規(guī)則、推理和論證;能夠提煉出解決一類問題的數(shù)學方法,理解其中的數(shù)學思想.在交流的過程中,能夠用一般的概念解釋具體現(xiàn)象.水平三 能夠在綜合的情境中抽象出數(shù)學問題,并用恰當?shù)臄?shù)學語言予以表達;能夠在得到的數(shù)學結(jié)論基礎(chǔ)上形成新命題;能夠針對具體問題運用或創(chuàng)造數(shù)學方法解決問題.能夠通過數(shù)學對象、運算或關(guān)系理解數(shù)學的抽象結(jié)構(gòu);能夠理解數(shù)學結(jié)論的一般性;能夠感悟高度概括、有序多級的數(shù)學知識體系.在現(xiàn)實問題中,能夠把握研究對象的數(shù)學特征,并用準確的數(shù)學語言予以表達;能夠感悟通性通法的數(shù)學原理和其中蘊含的數(shù)學思想.在交流的過程中,能夠用數(shù)學原理解釋自然現(xiàn)象和社會現(xiàn)象.

水平一是高中畢業(yè)應(yīng)當達到的要求，也是高中數(shù)學學業(yè)水平考試的命題依據(jù)；水平二是高考的要求，也是數(shù)學高考的命題依據(jù)；水平三是基于必修、選擇性必修和選修課程的某些內(nèi)容對數(shù)學學科核心素養(yǎng)的達成提出的要求，可以作為大學自主招生的參考.

四、高中階段數(shù)學抽象的基礎(chǔ)載體

通過解讀數(shù)學核心素養(yǎng)可以看出，能力的培育必須要有相應(yīng)的知識土壤，所以必須明確相應(yīng)的素養(yǎng)知識與相應(yīng)的能力載體，這是提升數(shù)學核心素養(yǎng)的前提.高中階段數(shù)學抽象的基礎(chǔ)載體主要體現(xiàn)在以下幾個方面：集合、函數(shù)的概念與性質(zhì)、三角函數(shù)、立體幾何初步、概率、導數(shù)及其應(yīng)用、空間向量與立體幾何、平面解析幾何.

五、數(shù)學抽象與其他數(shù)學核心素養(yǎng)的關(guān)系

最新的《普通高中數(shù)學課程標準(實驗)》明確指出：數(shù)學核心素養(yǎng)是數(shù)學課程目標的集中體現(xiàn)，是在數(shù)學學習的過程中逐步形成的，是具有數(shù)學基本特征的、適應(yīng)個人終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的思維品質(zhì)與關(guān)鍵能力.高中階段數(shù)學核心素養(yǎng)有六個：數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算和數(shù)據(jù)分析.這些數(shù)學核心素養(yǎng)各具獨立性，又相互補充、相互交融、相互促進，形成一個有機整體，在不同情境中整體發(fā)揮作用.其中前三個素養(yǎng)是數(shù)學基本思想，是核心素養(yǎng)中最重要的數(shù)學思維品質(zhì)，后三個素養(yǎng)是傳統(tǒng)的學習數(shù)學的關(guān)鍵能力和方法.數(shù)學抽象是數(shù)學的基本思想，位于六大學科素養(yǎng)之首，是其他學科素養(yǎng)的基礎(chǔ)，是形成理性思維的重要基礎(chǔ)，反映了數(shù)學的本質(zhì)特征，貫穿在數(shù)學的產(chǎn)生、發(fā)展、應(yīng)用的過程中.

六、數(shù)學抽象的具體表現(xiàn)

數(shù)學以數(shù)量關(guān)系和空間形式為主要研究對象，而數(shù)量關(guān)系和空間形式是從現(xiàn)實世界中抽象出來的，我們教學的終極目標恰恰是培養(yǎng)學生具有初步的抽象思維，而不是讓學生的思維水平停留在形象直觀階段，我們每次學習的升華無一不是抽象的過程.數(shù)學抽象的具體表現(xiàn)有以下幾個方面：形成數(shù)學概念和規(guī)則、形成數(shù)學命題和模型、形成數(shù)學方法與思想、形成數(shù)學結(jié)構(gòu)與體系.

案例1：《幾何概型》的引入(形成數(shù)學概念和規(guī)則)

問題1：拋擲一枚骰子，隨機地拋出一個整數(shù)，求這個整數(shù)不大于4的概率.(素材起點低、入口寬，易了解學生初步掌握古典概型的情況).

問題2：從區(qū)間[1，6]內(nèi)的所有實數(shù)中，隨機地取出一個實數(shù)，求這個實數(shù)不大于4的概率.(問題2會引發(fā)學生認知沖突，直指幾何概型的核心與本質(zhì)，引發(fā)新知的生長點)

問題3：從區(qū)間[1，6]內(nèi)的所有實數(shù)中，隨機地取出兩個實數(shù)，求這兩個實數(shù)的和不大于4的概率.

問題4：半徑為2的小球在邊長為6的正方體內(nèi)漂移，求小球與正方體表面相切的概率.

后兩個問題在空間與思維上對問題2進行了延伸，既聯(lián)系了實際，又激發(fā)了學生的學習興趣，讓學生在學習了古典概型的基礎(chǔ)上可以類比地嘗試解決每個問題，但有難度，關(guān)鍵的突破口在于如何實現(xiàn)由有限向無限的轉(zhuǎn)換，可以補充提問：實驗中的基本事件是什么？是等可能的嗎？事件A包含的基本事件有多少？能否用古典概型的公式來解決？

這幾個問題讓學生從長度、面積、體積等三個角度體會到幾何圖形測量的多樣性，為學習幾何概型的概念做了很好的鋪墊，并讓學生從下面幾個方面進行探究：

幾何概型與古典概型有何異同？如何將古典概型中的“有限”上升到幾何概型中的“無限”？如何求幾何概型的概率？

通過不同問題不同角度的探究，有利于深刻理解幾何概型概率計算公式中的不同幾何圖形的維度，讓學生積極融知識于情景中，發(fā)揮學生的主體作用.這樣的設(shè)計會大大激發(fā)學生抽象思維的發(fā)展，對數(shù)學抽象等素養(yǎng)的提升起到了積極的促進作用.

案例2：利用函數(shù)模型培育數(shù)學抽象能力(形成數(shù)學命題和模型)

問題5：已知f(x)=3x，求證：f(x)·f(y)=f(x+y).(必修一P82).

問題6：試著舉幾個滿足“對定義域內(nèi)任意實數(shù)a,b，都有f(a+b)=f(a)·f(b)”的函數(shù)例子，你能說出這些函數(shù)具有哪些共同性質(zhì)嗎？(必修一P75).

問題7：類比問題6滿足(1)“對定義域內(nèi)任意實數(shù)a,b都有f(a)+f(b)=f(a+b)”的函數(shù)例子；(2)“對定義域內(nèi)任意實數(shù)a,b，都有f(a·b)=f(a)+f(b)”的函數(shù)例子；(必修一P75)(3)“對定義域內(nèi)任意實數(shù)a,b，都有f(a)·f(b)=f(a·b) ”的函數(shù)例子.你能說出這些函數(shù)具有哪些共同性質(zhì)呢？

問題5是給出了具體的函數(shù)表達式，要求我們利用指數(shù)冪運算的特點去解決問題，講解時筆者提醒學生底數(shù)3能否換成其他的數(shù)，能否換成字母，問題能否倒過來考慮？

然后再將問題5與問題6與7放在一起，讓學生分組討論，然后得出結(jié)論，很好地培養(yǎng)了學生從直觀到數(shù)學抽象的能力，實際上函數(shù)章節(jié)中抽象能力的聚焦必須要有一定典型的、相關(guān)的函數(shù)模型作為載體，加強重要函數(shù)模型中相關(guān)問題的理解和運用，是提高其抽象能力的一個重要環(huán)節(jié)，特別是我們在處理課本習題時如果就題論題，是不能培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)的.

案例3：多題一解(形成數(shù)學方法與思想)

在教學中我們常常采用多題一解的教學策略，其目的就是要引導學生學會從不同的問題中分析歸納并抽象出它們共同的特征的過程，抽象出解題的一般規(guī)律，從而達到舉一反三、觸類旁通之效，這樣能減少學生的機械記憶，克服題海戰(zhàn)術(shù)，有助于提高學生抽象思維能力和綜合能力.

問題8：求方程x+y+z=10共有多少組正整數(shù)解？

問題9：把10個相同的球全部裝入編號分別為1，2，3的三個盒子中，要求每個盒子中的球數(shù)不小于其編號數(shù)，問有多少種不同的裝法.

問題10：馬路上有10只路燈，為節(jié)約用電又不影響正常的照明，可把其中的三只燈關(guān)掉，但不能同時關(guān)掉相鄰的兩只或三只，也不能關(guān)掉兩端的燈，那么滿足條件的關(guān)燈方法共有多少種？

問題11：已知兩個實數(shù)集合A={a1,a2,…,a10}與B={b1,b2,b3}，若從A到B的映射f使得B中每一個元素都有原象，且f(a1)≤f(a2)≤…≤f(a10)，則這樣的映射共有多少個？

筆者記得當時講解問題8時,盡管考慮了解題過程，也沒有聽說學生不理解，但在不久之后的三次測驗中我們考了問題9、問題10和問題11，效果均不理想，明明這三題的思路和問題8是一樣的，為什么會出現(xiàn)這種情況呢？筆者通過與學生溝通得到的答案是：方法聽得明白，但是一變換語境就想不到如何求解.原來如此！這種處理方式不就是題海戰(zhàn)術(shù)的翻版嗎？這充分說明筆者講課時只想到將課講清楚，沒有考慮到學生的想法，所以現(xiàn)在講課時會調(diào)整教學策略，將這些題目在一段時間內(nèi)呈現(xiàn)給學生，引導學生比較問題8至問題11，讓學生明白它們在本質(zhì)上完全一樣，都可以看成將幾個相同的元素被隔開有幾種方法，引導學生得出隔板法的思想，讓學生充分體會同一數(shù)學思想與方法在不同背景下的各種體現(xiàn)，筆者發(fā)現(xiàn)這樣的處理加深了學生對數(shù)學思想和方法的理解，極大地促進了數(shù)學素養(yǎng)與能力的提高，真正讓學生達到了“談題論法”的新高度，真正實現(xiàn)從量變到質(zhì)變的飛躍.

案例4：《數(shù)列》章節(jié)復習(形成數(shù)學結(jié)構(gòu)與體系)

我們在學習完每一章都要總結(jié)，形成數(shù)學結(jié)構(gòu)與相應(yīng)的知識體系，這實際上就是數(shù)學抽象，通過抽象概括的過程，認識與掌握所要研究的對象.如學完《數(shù)列》，我們可以抽象形成這樣的知識體系：

也可以在大腦里抽象出這樣的知識脈絡(luò)：數(shù)列的概念(數(shù)列的定義、通項公式的定義、數(shù)列的函數(shù)特征與圖象表示、數(shù)列的分類、數(shù)列單調(diào)性的證明、遞推公式定義)；等差數(shù)列的相關(guān)知識(等差數(shù)列的定義、等差數(shù)列的通項公式、等差中項的概念、等差數(shù)列的性質(zhì)、等差數(shù)列前n項和公式及其應(yīng)用)；等比數(shù)列的相關(guān)知識(等比數(shù)列的概念、等比數(shù)列的通項公式、等比中項的概念、等比數(shù)列的性質(zhì)、等比數(shù)列前n項和公式及其應(yīng)用)；證明等差與等比數(shù)列的方法；數(shù)列求和的方法；通項公式的求法；數(shù)列與其他知識的交匯；常見數(shù)列的思想方法；數(shù)列高考題的命題走向與課標要求.