高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教與學(xué)如何練內(nèi)功

浙江 余繼光

高考面對的是新穎的數(shù)學(xué)問題，應(yīng)試者必須把握其本質(zhì)，采取有效方法積極應(yīng)對，而這種應(yīng)對能力必須通過復(fù)習(xí)教學(xué)練“內(nèi)功”來達(dá)到.教學(xué)中不僅要有明白算理的解答題求解的思維訓(xùn)練，而且還要增加凸顯數(shù)學(xué)問題本質(zhì)的快速求解思維的訓(xùn)練.

一、挖掘亮點，尋找復(fù)習(xí)著力點

【亮點一】以抽象符號檢測學(xué)生理解數(shù)學(xué)本質(zhì)

( )

A.I1

C.I1

解法一：f1(x)在[0,1]上單調(diào)遞增，所以|f1(ai+1)-f1(ai)|=f1(ai+1)-f1(ai),

I1=f1(a1)-f1(a0)+…+f1(a99)-f1(a98)=f1(a99)-f1(a0)=f1(1)-f1(0)=1，

所以當(dāng)i≤49時，|f2(ai+1)-f2(ai)|=f2(ai+1)-f2(ai)；

當(dāng)i≥50時，|f2(ai+1)-f2(ai)|=-[f2(ai+1)-f2(ai)]，

I2=f2(a1)-f2(a0)+…+f2(a50)-f2(a49)+f2(a50)-f2(a51)+…+f2(a98)-f2(a99)=2f2(a50)-f2(a0)-f2(a99)<1，

當(dāng)25≤i≤49和i≥75時，|f3(ai+1)-f3(ai)|=-[f3(ai+1)-f3(ai)]；

且f3(a24)f3(a75)，

解法二：

圖1

圖2

圖3

應(yīng)試者不能采用解法一，教學(xué)中，教師介紹解法一的目的是讓學(xué)生理解解法二的思想，而這種思想，不僅在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中已經(jīng)接觸過，而且在未來高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中也是非常有用的.

【亮點二】以思維的多樣性檢測學(xué)生的創(chuàng)新能力

例2.已知甲盒子中僅有1個球且為紅球，乙盒子中有m個紅球和n個藍(lán)球(m≥3,n≥3)，從乙盒子中隨機抽取i(i=1,2)個球放入甲盒子中.

(1)放入i個球后，甲盒子中含有紅球的個數(shù)記為ξi(i=1,2)；

(2)放入i個球后，從甲盒子中取1個球是紅球的概率記為Pi(i=1,2)，則

( )

A.P1>P2,Eξ1

B.P1Eξ2

C.P1>P2,Eξ1>Eξ2

D.P1

解法二：特殊化思想.取m=3,n=3，則

解法三：模型化思想，將古典概型問題轉(zhuǎn)化為溶液的濃度問題.

將紅球理解為純紅色的溶液，藍(lán)球理解為純藍(lán)色的溶液，如果一個盒子中有兩種顏色的球，理解為兩種溶液的混合，把概率理解為濃度，期望理解為溶質(zhì)的含量.

乙盒子中紅色溶液的濃度不是100%，所以從乙盒子中取一個單位的溶液倒入甲盒子中，甲盒子中紅色溶液的濃度肯定會降低，所以有P1>P2，但甲盒子中紅色溶液的溶質(zhì)肯定會增加，因此，Eξ2>Eξ1.下面用溶液計算方法也可以證明.

②從乙盒子中兩次各取一個單位的溶液倒入甲盒子后，

解讀：表面上是一個復(fù)雜的問題，但采用特殊化思想可以迅速求解，如果能達(dá)到模型化思想水平，也可以迅速求解.解法一適合于平時的算理教學(xué)，此題的設(shè)計給中學(xué)教師的啟示是如何把大問題化成快速求解的小問題.

【亮點三】以數(shù)學(xué)應(yīng)用問題檢測學(xué)生的實踐能力

例3.如圖，某人在垂直于水平地面ABC的墻面前的點A處進行射擊訓(xùn)練.已知點A到墻面的距離為AB，某目標(biāo)點P沿墻面的射線CM移動，此人為了瞄準(zhǔn)目標(biāo)點P，需計算由點A觀察點P的仰角θ的大小.若AB=15m，AC=25m，∠BCM=30°，則tanθ的最大值為________(仰角θ為直線AP與平面ABC所成角).

解法二：由解法一可見，問題化歸為函數(shù)

用判別式法也可以求解：

u2(225+t2)=400±40t+t2，即(u2-1)t2±40t+225u2-400=0，

用三角換元法也可以求解：

解法三：過點P作PD⊥BC，且AB⊥BC，AB=15，AC=25，

二、苦練內(nèi)功，提升復(fù)習(xí)有效性

1.學(xué)生數(shù)學(xué)訓(xùn)練必須練“內(nèi)功”

學(xué)生說2014年高考數(shù)學(xué)理科試卷難，難在哪兒？做過一遍后，發(fā)現(xiàn)試卷涉及絕對值函數(shù)、無理函數(shù)、最優(yōu)化等問題較多，涉及不等式的求解與轉(zhuǎn)化等運算較多，特別是字母運算或代數(shù)變形；面對新穎的數(shù)學(xué)問題，學(xué)生運用數(shù)學(xué)思想的意識不到位，結(jié)果費時費力且無效；面對復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，學(xué)生不能迅速識別其數(shù)學(xué)模型，腦海中數(shù)學(xué)模型少，轉(zhuǎn)化能力弱，應(yīng)試心理慌，最后以“難”以突破而告終！

(1)在運算能力上練“內(nèi)功”

在高考不允許使用計算器的年代，首先，在計算能力上必須過關(guān)，事實上，由于初中允許使用計算器，使學(xué)生到高中后的計算能力大打折扣，數(shù)字的四則運算都會經(jīng)常錯，因此平時要心算、筆算一起練；其次，代數(shù)式的因式分解、多項式的綜合除法、方程的解法、不等式的解法等在按照規(guī)則步驟運算的同時，需注意運算方向的優(yōu)化，教師要在各輪復(fù)習(xí)教學(xué)中有意識地設(shè)計運算能力提升的小練習(xí).

(2)在思想方法上練“內(nèi)功”

七大數(shù)學(xué)思想(函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類與整合、化歸與轉(zhuǎn)化、特殊與一般、有限與無限、統(tǒng)計與概率)與七小具體方法(歸納推理、類比推理、演繹推理、綜合法、分析法、反證法、歸納法)是高考數(shù)學(xué)命題檢測的核心，尤其是在面對同一個數(shù)學(xué)問題，采取不同的語言表達(dá)方式(自然語言、符號語言、圖形語言等)設(shè)計時，用數(shù)學(xué)思想與方法理解其本質(zhì)是應(yīng)試關(guān)鍵，這也是浙江高考數(shù)學(xué)命題的一大特色.如上述例1與例2.

(3)在數(shù)學(xué)模型上練“內(nèi)功”

數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)問題的核心，掌握更多的數(shù)學(xué)模型及解決模型的方法，在應(yīng)試時就會比較坦然，正如在社會生活中一樣，準(zhǔn)備的工具、技能、方法多，識別的模型多，解決問題的能力就較強，無論是代數(shù)中的數(shù)列，三角中的變換，幾何中的圖形，還是概率統(tǒng)計中的計數(shù)，解析幾何中的曲線，都有經(jīng)典的數(shù)學(xué)模型，把握了數(shù)學(xué)模型，就可舉一反三，如上述例3中的經(jīng)典數(shù)學(xué)模型.

2.教師數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)凸顯練“內(nèi)功”

為了提升學(xué)生的“內(nèi)功”水平，教師必須首先具有三大“內(nèi)功”：會解題，準(zhǔn)精簡，化變拓.

(1)在“會解題”上練“內(nèi)功”

數(shù)學(xué)解題能力是一個教師的立身之本，每位數(shù)學(xué)教師都要成為數(shù)學(xué)解題高手，在高三復(fù)習(xí)中，經(jīng)過至少兩個輪回的解題訓(xùn)練，才能達(dá)到數(shù)學(xué)解題的基本要求.

第一輪達(dá)到第一層次：面對各種各樣的數(shù)學(xué)題要會解，尋找到問題的答案；

第二輪達(dá)到第二層次：不僅會尋找問題的答案，而且要能說出為什么這樣解；

第三輪達(dá)到第三層次：能夠說出最優(yōu)解或數(shù)學(xué)模型并能引申到更一般的情形.

(2)在“準(zhǔn)精簡”中練“內(nèi)功”

在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的題海教學(xué)中，教師最容易導(dǎo)致“三不”，即不準(zhǔn)——數(shù)學(xué)概念不能準(zhǔn)確把握、不精——個人精力達(dá)不到對數(shù)學(xué)概念與知識的實質(zhì)性理解、不簡——常常把簡單的數(shù)學(xué)問題講復(fù)雜了，因此，高三教師數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)必須做到以下三點：

一是數(shù)學(xué)概念準(zhǔn)確到位.比如，關(guān)于函數(shù)零點、極值點等的表述，學(xué)生常表達(dá)出錯，將其理解為二維的平面點，而它們實際上是“代數(shù)點(一維點)”.教師對每一個核心概念、關(guān)鍵的知識點都要講到位，講準(zhǔn)確.

二是講解思想精力充沛.比如，高三數(shù)學(xué)講題往往就題論題給出答案，不能把題目串起來，講思想方法與數(shù)學(xué)模型能使學(xué)生舉一反三，統(tǒng)領(lǐng)全局.教師可以通過一題多變、一題多解、多題一解、多題一型等，把思想方法歸納總結(jié)，使學(xué)生腦中的知識編成網(wǎng)絡(luò)狀.

三是復(fù)雜問題簡單淺出.比如，高三數(shù)學(xué)中有簡單問題，教師可能會講得很復(fù)雜，而復(fù)雜問題講得更復(fù)雜，這樣容易使學(xué)生產(chǎn)生畏難情緒，失去解題的動力與激情；教師若能把復(fù)雜問題講得簡單才能顯示出教師教學(xué)的功底.

(3)在“化變拓”中練“內(nèi)功”

在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中，教師常采取的教學(xué)方法是把高考題或模擬題整題照搬來講，這樣往往會沖淡主題，使學(xué)生不能集中精力掌握重點，只能達(dá)到事倍功半之效，因此，高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)最好的方法有以下三種：

一是化大為小.為了講某一個知識點，把一個“大”的問題化成“小”問題，如高考數(shù)學(xué)解答題一般都有幾問，可以將其拆成小問題來講；也可以把若干個“大”問題中的“小”問題串成一起，來集中講一個專題，形成一個數(shù)學(xué)模型，把握一個突破口.

二是變式教學(xué).“變式”思想是中國基礎(chǔ)教育的精髓，也是提升學(xué)生理解力的有力武器.如果一個數(shù)學(xué)問題在教師手中達(dá)到“順?biāo)浦?、順手牽羊、順藤摸瓜”式的變化程度，使學(xué)生達(dá)到“能學(xué)、善學(xué)、樂學(xué)”的境界，師生的“內(nèi)功”都將達(dá)到一個較高水平.