逐差法求加速度及逐差法的推廣應(yīng)用

山東 張學(xué)敏 趙世渭

物理實(shí)驗(yàn)中，根據(jù)實(shí)際需要測(cè)量多組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)時(shí)，必定存在實(shí)驗(yàn)誤差。為消除實(shí)驗(yàn)誤差對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響，常采用多次測(cè)量取平均值作為最終的結(jié)果，這樣可以有效地減小誤差。但是，當(dāng)物理變量之間是線性關(guān)系、且自變量均勻變化時(shí)，實(shí)驗(yàn)中測(cè)得的數(shù)據(jù)，如果是相鄰兩組逐項(xiàng)作差進(jìn)行計(jì)算，就會(huì)出現(xiàn)中間測(cè)量數(shù)據(jù)相互抵消的現(xiàn)象，從而失去多次測(cè)量取平均值的意義，如在“研究勻變速直線運(yùn)動(dòng)的規(guī)律”的實(shí)驗(yàn)中由打出的紙帶計(jì)算加速度a。

逐差法是中學(xué)物理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理中常用的一種重要方法。所謂逐差法，就是將實(shí)驗(yàn)中測(cè)得的因變量按實(shí)際情況分為兩組進(jìn)行對(duì)應(yīng)作差，將得到的差值取平均值作為因變量的測(cè)量值進(jìn)行數(shù)據(jù)處理的方法。

當(dāng)物理變量間呈線性關(guān)系，自變量均勻變化時(shí)，若測(cè)得的數(shù)據(jù)有多組(一般四組或四組以上)，即可用逐差法處理所測(cè)數(shù)據(jù)。

一、用逐差法求加速度a

【例1】如圖是在“研究勻變速直線運(yùn)動(dòng)的規(guī)律”的實(shí)驗(yàn)中得到的一條紙帶，A、B、C、D、E、F、G為7個(gè)相鄰計(jì)數(shù)點(diǎn)，相鄰的兩個(gè)計(jì)數(shù)點(diǎn)之間還有四個(gè)點(diǎn)未畫出。測(cè)出相鄰的計(jì)數(shù)點(diǎn)之間的距離分別為x1=4.22 cm、x2=4.65 cm、x3=5.08 cm、x4=5.49 cm、x5=5.91 cm、x6=6.34 cm。已知打點(diǎn)計(jì)時(shí)器的工作頻率為50 Hz，則小車的加速度a=________m/s2。(結(jié)果保留2位有效數(shù)字)

【解析】由題意知，相鄰兩計(jì)數(shù)點(diǎn)間的時(shí)間間隔t=0.1 s

用逐差法處理可用如下方式

(1)先求得平均加速度的表示式，再代入數(shù)據(jù)求得結(jié)果

x4-x1=3a1t2

x5-x2=3a2t2

x6-x3=3a3t2

(2)先求得Δx的平均值，再根據(jù)Δx=at2求出加速度

x4-x1=3Δx1

x5-x2=3Δx2

x6-x3=3Δx2

可得加速度a=0.42 m/s2

二、用逐差法測(cè)量彈簧的勁度系數(shù)

【例2】某實(shí)驗(yàn)小組用如圖所示的裝置測(cè)量彈簧的勁度系數(shù)k。當(dāng)掛在彈簧下端的砝碼處于靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)，測(cè)出彈簧受到的拉力F與對(duì)應(yīng)的彈簧長度L(彈簧始終在彈性限度內(nèi))，記錄如下表所示。

次序123456F/N0.490.981.471.962.452.94L/cm60.2061.6063.0564.6566.1067.55

因?yàn)橹鸩罘ǔＳ糜谔幚碜宰兞康乳g距變化的數(shù)據(jù)組，所以小組一成員用逐差法處理數(shù)據(jù)，具體如下：將表中相鄰的兩項(xiàng)求差，得出彈簧伸長量ΔL，每個(gè)ΔL都是與相同的拉力ΔF=0.49 N相對(duì)應(yīng)的伸長量，求出ΔL的平均值

請(qǐng)你用逐差法處理表格中的數(shù)據(jù)，盡量精確計(jì)算出彈簧的勁度系數(shù)k=________N/m。(結(jié)果保留三位有效數(shù)字)

【解析】根據(jù)逐差法有

L4-L1=3ΔL1

L5-L2=3ΔL2

L6-L3=3ΔL3

三、用逐差法求動(dòng)摩擦因數(shù)

【例3】為測(cè)定木塊與桌面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)，小亮設(shè)計(jì)了如圖所示的裝置進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)中，當(dāng)木塊A位于水平桌面上的O點(diǎn)時(shí)，重物B剛好接觸地面。將A拉到P點(diǎn)，待B穩(wěn)定后靜止釋放，A最終滑到Q點(diǎn)。分別測(cè)量OP、OQ的長度h和s。改變h，重復(fù)上述實(shí)驗(yàn)，分別記錄幾組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表所示。

h/cm20.030.040.050.060.070.0s/cm19.528.539.048.056.565.3

實(shí)驗(yàn)測(cè)得A、B的質(zhì)量分別為m=0.40 kg、M=0.50 kg，則木塊A與桌面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=________。(結(jié)果保留一位有效數(shù)字)

【解析】當(dāng)B下落至臨落地時(shí)，據(jù)動(dòng)能定理有

在B落地后，A運(yùn)動(dòng)到Q，根據(jù)動(dòng)能定理，有

由題意得，長度h每次增加10 cm，即Δh=10 cm，則Δs=kΔh

根據(jù)逐差法有

s4-s1=3Δs1

s5-s2=3Δs2

s6-s3=3Δs3

則Δs的平均值

將M=0.5 kg、m=0.4 kg代入上式得μ=0.4

四、用逐差法測(cè)量線性電阻的阻值

【例4】如圖所示電路。閉合開關(guān)，調(diào)節(jié)滑動(dòng)變阻器，當(dāng)電壓表讀數(shù)U從0逐漸增加，記錄電流表相應(yīng)的讀數(shù)I。測(cè)得實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表所示。其中所測(cè)電阻的阻值R=10 Ω。

次序12345678U/V00.20.40.60.81.01.21.4I/A00.0210.0430.0630.0810.1020.1220.143

根據(jù)逐差法有

I5-I1=4ΔI1

I6-I2=4ΔI2

I7-I3=4ΔI3

I8-I4=4ΔI4

代入數(shù)據(jù)解得R=9.969 Ω

從計(jì)算結(jié)果來看，逐差法處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，計(jì)算線性電阻的阻值更接近實(shí)際值R=10 Ω，相對(duì)誤差較小，具有較高的準(zhǔn)確性。

五、用逐差法測(cè)定金屬電阻率

【例5】如圖所示為測(cè)定金屬電阻率的電路圖。閉合開關(guān)S，調(diào)節(jié)滑動(dòng)變阻器R0，使電表有明顯示數(shù)變化，記錄多組電流表和電壓表相應(yīng)的讀數(shù)(I，U)。當(dāng)電壓表的數(shù)值U從20.0 mV以10 mV的幅度增加到70.0 mV時(shí)，分別測(cè)量出電流表的數(shù)值I，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表所示。其中，金屬絲的長度L和直徑D分別為50 cm及0.875 mm。

次序123456I/A1.382.092.713.464.154.83U/mV20.030.040.050.060.070.0

根據(jù)逐差法有

I4-I1=3ΔI1

I5-I2=3ΔI2

I6-I3=3ΔI3

則ΔI的平均值

代入數(shù)據(jù)解得ρ=1.73×10-8Ω·m

六、逐差法測(cè)量電池的內(nèi)阻

(2)根據(jù)圖甲，用筆畫線代替導(dǎo)線將圖乙連接成完整電路；

(3)某次實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)如下表所示：該小組借鑒“研究勻變速直線運(yùn)動(dòng)”實(shí)驗(yàn)中計(jì)算加速度的方法(逐差法)，計(jì)算出電池組的內(nèi)阻r=Ω(保留兩位小數(shù))；為減小偶然誤差，逐差法在數(shù)據(jù)處理方面體現(xiàn)出的主要優(yōu)點(diǎn)是；

測(cè)量次數(shù)12345678電壓表V讀數(shù)U/V5.265.165.044.944.834.714.594.46改裝表A讀數(shù)I/mA20406080100120140160

(2)實(shí)物圖如下圖所示。

(3)借鑒“研究勻變速直線運(yùn)動(dòng)”實(shí)驗(yàn)中計(jì)算加速度的方法(逐差法)，采用1與5、2與6、3與7、4與8，兩兩組合，由E=U+I(R0+r)得ΔU=ΔI(R0+r)，聯(lián)立求出E、r，而后取其平均值可得。

由E=U+I(R0+r)得，ΔU=ΔI(R0+r)

=1.66 Ω

用逐差法處理數(shù)據(jù)的優(yōu)點(diǎn)：充分利用測(cè)量數(shù)據(jù)，提高實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的利用率，減小隨機(jī)誤差的影響。另外也可減小實(shí)驗(yàn)中儀器誤差分量，具有對(duì)數(shù)據(jù)取平均的效果，可及時(shí)發(fā)現(xiàn)差錯(cuò)或數(shù)據(jù)的分布規(guī)律，及時(shí)糾正或總結(jié)數(shù)據(jù)規(guī)律。