圓形是特殊的扇形嗎？

莊妍

[摘 要]由于圓形是第一次由直邊圖形向曲邊圖形的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，學(xué)生在學(xué)習(xí)圓形時(shí)原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)無法順利遷移類比，造成了學(xué)生對(duì)圓形的周長(zhǎng)和面積計(jì)算公式的推導(dǎo)存在很大的認(rèn)知障礙。為了平穩(wěn)銜接直邊到曲邊的變化，彌合知識(shí)斷層，可以引入帶有兩條直邊的扇形，將其作為一個(gè)過渡載體。

[關(guān)鍵詞]圓形；扇形；圓面；扇面；平行四邊形；三角形；梯形

[中圖分類號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2019）11-0024-02

蘇教版教材五年級(jí)下冊(cè)中，圓的部分增設(shè)了扇形的知識(shí)。為了使學(xué)生能夠理解圓心角大小決定扇形大小，某位教師設(shè)計(jì)了這樣的活動(dòng)——在黑板上畫圓，以兩根指針為半徑，一根固定，旋轉(zhuǎn)另一根。

師（一邊演示一邊問）：你有什么發(fā)現(xiàn)？

生1：扇形大小隨著圓心角的大小一同變化。

生2：扇形半徑夾角越大，面積越大。

生3：扇形是殘缺的圓。

生4：圓是圓心角為360[°]的扇形。

對(duì)于生4的說法，教師雖然感到意外，但也覺得不無道理……

一、“問”：記錄

評(píng)課時(shí)，教師對(duì)于“扇形與圓形的從屬關(guān)系”爭(zhēng)論不休——

師1 ：我認(rèn)可“扇形是圓的一部分”這一觀點(diǎn)，因?yàn)榻滩睦}（如圖1）中的扇形就是從圓形中截取的。

[觀察各圓中的涂色部分，說說它們的共同特點(diǎn)。]

圖1

師1：我反對(duì)，因?yàn)樯刃问怯梢欢螆A弧和兩條半徑圍成的圖形，而圓形的一部分只是弧線。

師1（不服）：課本不是白紙黑字寫著“涂色部分”嗎？

師2（解釋）：提示卡（如圖2）明確提到，扇形只指外部的邊線。

師3（依然不服）：教材（如圖3）上寫的“上面各圓中的涂色部分都是扇形”又是何道理？

師2（語塞）：是啊，這就前后矛盾了。

……

師3 ：我感覺“圓是特殊的扇形”這種觀點(diǎn)也有問題。

師4（質(zhì)疑）：如果它們不存在從屬關(guān)系，那為何面積公式可以通用？

師3（思考許久）：這就難辦了。

……

從多邊形到圓形的學(xué)習(xí)是一個(gè)質(zhì)變的過程，多邊形的直邊首尾連接構(gòu)成封閉圖形，對(duì)學(xué)生認(rèn)識(shí)其周長(zhǎng)和面積概念都有著很強(qiáng)的指導(dǎo)性，而圓形的曲邊沒有直邊的參考，所以在構(gòu)建周長(zhǎng)和面積概念時(shí)不容易形成整體，那么捋順扇形與圓形的從屬關(guān)系就顯得至關(guān)重要。只要扇形與圓形在本質(zhì)屬性上能夠順利融通對(duì)接，那么學(xué)生就能從兩者面積公式的統(tǒng)一性上找到理解圓形的突破口。

二、追根溯源，咬文嚼字求真理

圓常見的定義表述有兩種：①平面上到定點(diǎn)O的距離等于定長(zhǎng)r的全體點(diǎn)的集合；②到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡。以上定義表明，圓是一條線，而非一個(gè)面，它是“圓周”的簡(jiǎn)稱。

由此分析上述課例，教者的畫圓操作，最后形成這樣一個(gè)圖形（如圖4），它是圓心角是360°的扇形，對(duì)比圖5，略有細(xì)微差別：扇形是由圓的兩條半徑、弧線圍成的圖形。圍成扇形的要素有：①兩條半徑；②一段??；③圍合封閉；當(dāng)扇形的圓心角是360°時(shí)，兩半徑重疊，弧長(zhǎng)達(dá)到最長(zhǎng)等于圓周。而圓只是指圓周這一條曲線。

就此而論，“圓心角是360°的扇形”和“圓”是兩個(gè)概念，“圓是特殊的扇形”這種論調(diào)似乎站不住腳。教材上只寫“弧是圓的一部分”而不寫“扇形是圓的一部分”。

可以說，一些學(xué)生混淆概念就是沒有弄清二者的本質(zhì)含義。除此之外，還有一個(gè)重要的原因：一些學(xué)生對(duì)圓本身存在認(rèn)知誤區(qū)，他們頭腦中的圓形是圖6這樣的——帶有半徑的圖形。

為什么存在這一認(rèn)知誤區(qū)呢？這與教學(xué)方式大有關(guān)系。認(rèn)識(shí)圓的過程一開始就與半徑“纏繞”在一起，許多學(xué)生認(rèn)為半徑是圓形的一部分構(gòu)件，再加上教師的認(rèn)識(shí)也很含糊，于是學(xué)生的認(rèn)知就更加模棱兩可。反觀長(zhǎng)方形的認(rèn)識(shí)過程，就沒有這樣的誤解，因?yàn)殚L(zhǎng)方形沒有內(nèi)部構(gòu)件；類似于三角形、四邊形，它們的圖內(nèi)構(gòu)件——如高線，一般是在學(xué)完面積后才推出，且常畫成虛線。另外，動(dòng)態(tài)畫圓的過程中，代表半徑的線段掃過的面給學(xué)生留下深刻印象，學(xué)生難免產(chǎn)生錯(cuò)覺。由此可見，采用沿著圓形物體邊緣畫線成圓的方法，可以避免以上麻煩。

課本中所指的“圓面積”，嚴(yán)格來說，應(yīng)是“圓盤面積”。眾所周知，我國(guó)近代數(shù)學(xué)是從西方“移植”過來的，英文中對(duì)圓有著雙重定義，對(duì)于circle，我們直譯為圓，其含義是一維的曲線，無面積，而disk，專指二維的圓形的圖形，有面積。在平面幾何中，圓一般多指圓周。在不同的語境中，圓可以視情況理解成圓周或者圓面，在平常使用中，如果帶有面積屬性，一般說“圓面積”而非“圓面面積”，“扇形面積”而非“扇面面積”等。在圓代指圓面、扇形代指扇面的情況下，“扇形是圓的一部分”“圓是特殊的扇形”這種說法似乎又有一定道理。

從文字定義上找到關(guān)于圓形和扇形邏輯聯(lián)系的蛛絲馬跡，實(shí)則很有必要，因?yàn)闋?zhēng)論的關(guān)鍵還是在于直線段“半徑”的歸屬問題。在辨析中學(xué)生的注意力被引向?qū)χ睆降年P(guān)注，圓形帶不帶直徑，以及扇形究竟只是弧線還是包括兩段半徑，都直接與扇形和圓形的周長(zhǎng)、面積掛鉤，最終學(xué)生會(huì)感悟到：無論怎么分類，弧線長(zhǎng)度是解決（曲線圖形）周長(zhǎng)、面積的關(guān)鍵，而弧線無論是出現(xiàn)在圓形還是扇形中，都是與半徑分不開的，而且它們之間存在一個(gè)連續(xù)特定的比例關(guān)系。

三、考證教材用語，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的多元?dú)w一

扇形，一般情況下指封閉線條輪廓，“一般情況下”幾個(gè)字不可忽視。由此審視教材例題（如圖1），教師對(duì)“涂色部分都是扇形”的表述提出質(zhì)疑很正常。

教材前后的措辭和用語（如圖7和圖8），傳遞出編者的意圖：“涂色部分都是扇形”是一種過渡用語，為了從圓面中截取扇面。由此揣測(cè)，教材可能想采用截取圓面的方式獲取扇形，從圓形中分化出扇形比重新單獨(dú)定義扇形要簡(jiǎn)單。

上述課例中，生4認(rèn)為“圓是圓心角為360°的扇形”，這是一種極限思想的雛形。這種觀點(diǎn)里，已經(jīng)默認(rèn)扇形為扇面。在這種觀點(diǎn)的誘導(dǎo)下，將扇形面積公式同圓的面積公式統(tǒng)一起來，就顯得順理成章。按此理論，“平行四邊形是特殊的梯形”這種說法也就有了理論依據(jù)，二者面積公式也能通過代數(shù)式變換統(tǒng)一起來。

對(duì)應(yīng)的，“平行四邊形是特殊的梯形”這一說法又有爭(zhēng)議。根據(jù)梯形定義可知梯形只有一組對(duì)邊平行，毫無疑問，而平行四邊形有兩組對(duì)邊平行，不是梯形。持相反論調(diào)者也有證據(jù)：（1）從性質(zhì)來看，梯形適用的所有公式，平行四邊形也適用；（2）從點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡角度來看，如圖9所示，如果固定C、D兩點(diǎn)， 動(dòng)點(diǎn)A、B沿著直線AB自由運(yùn)動(dòng)，當(dāng)且僅當(dāng)線段AB=線段CD 時(shí)，四邊形 ABCD 為平行四邊形，其余情形一律為梯形；同理，將點(diǎn)A、B設(shè)為定點(diǎn)，C、D視為動(dòng)點(diǎn)，亦成立。（3）從語言邏輯來看，“有一組對(duì)邊平行的圖形叫作梯形”和“只有一組對(duì)邊平行的圖形叫作梯形”雖然只是一字之差，但邏輯結(jié)構(gòu)截然不同，前者是存在邏輯，后者是必須邏輯。（4）從認(rèn)知論看，研究問題都是從特殊情況歸納出一般情況，然后用從一般情況中總結(jié)的法則定律解決特殊問題；從特殊到一般：正方形—長(zhǎng)方形—平行四邊形—梯形—四邊形。

有人說，數(shù)學(xué)概念的界線有時(shí)不必那么吹毛求疵。我們不妨按照現(xiàn)行教材的標(biāo)準(zhǔn)將平行四邊形與梯形作為四邊形里并列且不交叉的兩個(gè)子集，在之后的面積教學(xué)中，再借機(jī)指出兩者面積公式可以通用，包括三角形面積公式在內(nèi)，平行四邊形和三角形都可看作梯形的特殊情況。

總之，數(shù)學(xué)教學(xué)隨著知識(shí)面的擴(kuò)充，原先割裂的知識(shí)點(diǎn)可以有機(jī)統(tǒng)一起來。如果我們用發(fā)展變化的哲學(xué)觀點(diǎn)來教學(xué)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)，加強(qiáng)知識(shí)的多元?dú)w一比進(jìn)行知識(shí)的是非比較更重要，它能夠讓我們站得更高看得更遠(yuǎn)。

[[ 參 考 文 獻(xiàn) ]]

[1] 姚進(jìn).小學(xué)數(shù)學(xué)中“圓的認(rèn)識(shí)”的教學(xué)設(shè)計(jì)研究[D].揚(yáng)州：揚(yáng)州大學(xué)，2016.

[2] 張齊華，徐斌.走進(jìn)“圓”的世界——小學(xué)數(shù)學(xué)“圓的認(rèn)識(shí)”課堂實(shí)錄[J].教師之友，2004（6）.

（責(zé)編 金 鈴）