基于整距匝電勢(shì)的相繞組電勢(shì)表達(dá)式之推導(dǎo)

(華南理工大學(xué)電力學(xué)院，廣東廣州 510640)

0 引言

在導(dǎo)出交流繞組相繞組電勢(shì)表達(dá)式時(shí)，傳統(tǒng)電機(jī)學(xué)教科書[1～11]都是從一根導(dǎo)體的電勢(shì)表達(dá)式出發(fā)的。這種方法基于磁場(chǎng)切割導(dǎo)體感生電勢(shì)。法拉第電磁感應(yīng)定律還有另一種表現(xiàn)形式，那就是e=-Ndφ/dt，即磁通變化感生電勢(shì)。本文主要介紹這種方法。

說(shuō)明：(1) 本文只討論一對(duì)極基波情形。多對(duì)極及諧波情形不難類推。(2) 電動(dòng)勢(shì)簡(jiǎn)稱為電勢(shì)。(3)匝有時(shí)也稱線匝。

1 短距匝和整距匝的電勢(shì)

1.1 短距匝電勢(shì)

當(dāng)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)到如圖1所示位置時(shí)，轉(zhuǎn)子基波磁場(chǎng)的分布圖如圖2所示。

圖1 短距線匝示意圖

圖2 基波磁場(chǎng)分布圖

短距線匝的節(jié)距記為y，極距記為τ，短距線匝在定子內(nèi)圓所張的電角度記為γ，易知

(1)

γ的補(bǔ)角記為ε，ε=π-λ。θ為沿定子內(nèi)圓建立的電角度坐標(biāo)，其原點(diǎn)位于磁極中心線。此時(shí)，穿過(guò)短距線匝的磁通達(dá)到最大值，記之為Φγ。穿過(guò)整距線匝的磁通最大值記為Φτ，取整距線匝的節(jié)距等于極距τ之意。顯然，當(dāng)γ=π時(shí)，Φγ=Φτ。

穿過(guò)短距線匝的磁通之瞬時(shí)值記為φγ，轉(zhuǎn)子角速度記為ω，以圖2所在瞬間作為時(shí)間原點(diǎn)，則有

φγ=Φγcosωt

(2)

下面計(jì)算Φγ

記定子內(nèi)圓之半徑為r，沿定子內(nèi)圓積分的長(zhǎng)度微分記為dx，則有

dx=rdθ

(3)

記定子鐵心軸向長(zhǎng)度為l，沿定子內(nèi)圓積分的面積微分記為ds，則有

ds=ldx

(4)

穿過(guò)面積微分ds的磁通微分記為dφ，則由式(3)、式(4)兩式知

dφ=bds=blrdθ

(5)

因極距長(zhǎng)度為τ，故有

τ=πr

(6)

由式(5)、式(6)，參見(jiàn)圖2，并計(jì)及式(1)，知

=Φτkp

(7)

式(7)中，引入了短距系數(shù)kp。

(8)

顯然，短距系數(shù)與傳統(tǒng)方法的無(wú)異。

以式(7)代入式(2)，得

φr=Φτkpcosωt

(9)

記短距匝電勢(shì)為Et(有效值)、et(瞬時(shí)值)，t取turn(匝)之意。f為與角頻率ω對(duì)應(yīng)的時(shí)間頻率。注意到匝數(shù)為1，由法拉第電磁感應(yīng)定律可知

=ωΦτkpsinωt

(10)

=4.44fΦτkp

(11)

1.2 整距匝電勢(shì)

為了與短距情形區(qū)別，記整距匝電勢(shì)為ET。當(dāng)γ=π時(shí)，有kp=1，可知

(12)

顯然，整距是短距的一種特殊情形。

2 線圈的電勢(shì)

線圈的匝數(shù)記為Nc，線圈電勢(shì)記為Ec，c取coil之意。由式(11)、式(12)易知

Ec=NcEt=4.44fΦτNckp

=ETNckp=ETNceff

(13)

Nceff=Nckp

(14)

式(13)中，Nceff是短距線圈折算到整距線圈時(shí)的匝數(shù)，可稱為“短距線圈的有效匝數(shù)”，eff取effective之意。

3 線圈組的電勢(shì)

線圈組的匝數(shù)記為Nq，線圈組電勢(shì)有效值記為Eq，q取一個(gè)線圈組含q個(gè)線圈之意。槽距電角度記為α。分布系數(shù)記為kd。由傳統(tǒng)的推導(dǎo)方法可知，

Eq=qEckd

(15)

以式(13)代入式(15)，可得

Eq=ETqNckpkd=ETNqeff

(16)

Nqeff=qNckpkd

(17)

式(16)中，Nqeff是由短距、分布線圈構(gòu)成的線圈組折算到由整距、集中線圈構(gòu)成的線圈組時(shí)的匝數(shù)，可稱為“線圈組的有效匝數(shù)”。

4 相繞組的電勢(shì)

相繞組的電勢(shì)記為EΦ。相繞組的并聯(lián)支路數(shù)記為a，支路匝數(shù)記為Nb，b取branch之意。支路匝數(shù)，傳統(tǒng)稱為“每相串聯(lián)匝數(shù)”，意義含混。難道還有“每相并聯(lián)匝數(shù)”不成？顯然，沒(méi)有。故本文特別提出“支路匝數(shù)”名稱，以取代“每相串聯(lián)匝數(shù)”。只是名稱不同而已，所指的對(duì)象是相同的。

記相繞組總匝數(shù)為NΦ，繞組極對(duì)數(shù)為p。

對(duì)單層繞組言，NΦ=pNq。

對(duì)雙層繞組言，NΦ=2pNq。

對(duì)單、雙層繞組言

(18)

ks=1/a，a≥1，ks≤1。ks稱為并聯(lián)系數(shù)(s代表shunt，并聯(lián)之意)，它表示與串聯(lián)比較，并聯(lián)引起相繞組電勢(shì)計(jì)算匝數(shù)的減少。采用支路匝數(shù)時(shí)，相繞組電勢(shì)為

EΦ=4.44fNbkpkdΦτ

(19)

將式(18)代入式(19)，得

EΦ=4.44f(ksNΦ)kpkdΦτ

=(4.44fΦτ)NΦkpkdks

=ETNΦeff

(20)

NΦeff=NΦkpkdks

(21)

式(21)中，NΦeff是考慮到短距、分布、并聯(lián)三個(gè)因素后，計(jì)算相繞組電勢(shì)時(shí)，折算到整距線匝的有效匝數(shù)，可稱為“相繞組有效匝數(shù)”。

5 結(jié)語(yǔ)

5.1 基于整距匝電勢(shì)ET，本文導(dǎo)出

(1)線圈電勢(shì)表達(dá)式為

Ec=ETNceff

(22)

Nceff=Nckp

(23)

(2)線圈組電勢(shì)表達(dá)式為

Eq=ETNqeff

(24)

Nqeff=qNckpkd

(25)

(3)相繞組電勢(shì)表達(dá)式為

EΦ=ETNΦeff

(26)

NΦeff=NΦkpkdks

(27)

5.2 各電勢(shì)表達(dá)式有一共同特點(diǎn)，都等于整距匝電勢(shì)ET與相應(yīng)的有效匝數(shù)之乘積，非常整齊。這顯然具有美感，且還便于記憶。

5.3 各有效匝數(shù)表達(dá)式也有共同特點(diǎn)，都是實(shí)際匝數(shù)與相應(yīng)系數(shù)的乘積，這些系數(shù)層層遞進(jìn)，與繞組的結(jié)構(gòu)過(guò)程(短距、分布、并聯(lián))相對(duì)應(yīng)，從kp到kpkd，再到kpkdks，同樣具有美感，便于記憶。

5.4 本文的方法與傳統(tǒng)電機(jī)學(xué)教科書的方法相比較，雖然兩種方法都對(duì)，但是，本文的方法更有美感，更易于理解、記憶。