沖擊漸進(jìn)振動(dòng)系統(tǒng)的雙參數(shù)分岔分析

呂小紅, 羅冠煒

(1. 蘭州交通大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院， 蘭州 730070； 2. 甘肅省軌道交通裝備系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)與可靠性重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 蘭州 730070)

沖擊振動(dòng)現(xiàn)象大量存在于動(dòng)力機(jī)械系統(tǒng)中，這會(huì)使得系統(tǒng)呈現(xiàn)復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。因此，沖擊振動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的研究是近十幾年來機(jī)械和振動(dòng)工程界感興趣的一個(gè)研究方向，同時(shí)，沖擊振動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的應(yīng)用研究也引起了很多學(xué)者的關(guān)注。Wen等[1]研究了沖擊振動(dòng)系統(tǒng)的退化Hopf分岔。張永祥等[2]研究了沖擊振動(dòng)系統(tǒng)在余維三分岔點(diǎn)鄰域內(nèi)的動(dòng)力學(xué)特性。樂源[3]推導(dǎo)了三自由度沖擊振動(dòng)系統(tǒng)對(duì)稱周期運(yùn)動(dòng)的解析表達(dá)式，研究了對(duì)稱不動(dòng)點(diǎn)在余維二分岔點(diǎn)鄰域內(nèi)的局部兩參數(shù)動(dòng)力學(xué)行為。李群宏等[4]結(jié)合理論推導(dǎo)和數(shù)值模擬研究了雙自由度碰振系統(tǒng)的單碰亞諧運(yùn)動(dòng)。朱喜鋒等[5]研究了兩自由度軟沖擊振動(dòng)系統(tǒng)的顫振運(yùn)動(dòng)及其轉(zhuǎn)遷規(guī)律。張思進(jìn)等[6]推導(dǎo)了線性碰振系統(tǒng)單碰周期振動(dòng)的擦邊分岔方程，并以單自由度系統(tǒng)為例驗(yàn)證了解析結(jié)果的正確性。Chillingworth[7]和Humphries等[8]應(yīng)用不連續(xù)幾何的拓?fù)浞椒ㄑ芯苛伺鲎舱駝?dòng)系統(tǒng)在擦邊分岔點(diǎn)附近鞍結(jié)分岔存在與否的原因。Liu等[9]研究了三自由度碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的光滑和非光滑分岔，揭示了系統(tǒng)在擦邊分岔點(diǎn)附近的不連續(xù)跳躍和多解共存現(xiàn)象。馮進(jìn)鈐等[10-11]基于圖胞映射理論研究了確定和隨機(jī)兩種情形下，Duffing碰撞振子擦邊誘導(dǎo)的兩種激變形式，以及鞍結(jié)分岔、混沌鞍激變分岔和混沌內(nèi)部激變分岔等三類分岔的動(dòng)力學(xué)。Peterka等[12-13]研究了沖擊振動(dòng)系統(tǒng)各類周期振動(dòng)的存在域和穩(wěn)定性問題，揭示了系統(tǒng)周期振動(dòng)的轉(zhuǎn)遷規(guī)律以及相互轉(zhuǎn)遷過程中的遲滯現(xiàn)象。Wiercigroch等[14-15]以沖擊鉆和鉆孔樁等帶有鉆進(jìn)運(yùn)動(dòng)的機(jī)械系統(tǒng)為工程背景，研究了其動(dòng)力學(xué)模型的分岔特點(diǎn)和動(dòng)力學(xué)參數(shù)對(duì)鉆進(jìn)性能的影響。

在一定參數(shù)條件下，沖擊振動(dòng)系統(tǒng)可能呈現(xiàn)p/1類基本碰撞運(yùn)動(dòng)。國內(nèi)外對(duì)此類周期振動(dòng)的穩(wěn)定性及分岔研究報(bào)道較少，而且已有的對(duì)沖擊振動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的研究基本都是基于單參數(shù)分岔進(jìn)行分析的，很難全面揭示系統(tǒng)豐富的動(dòng)力學(xué)行為和周期振動(dòng)的分岔特點(diǎn)。本文以小型振動(dòng)沖擊式打樁機(jī)為工程背景，建立了考慮緩沖墊和支撐介質(zhì)黏彈性的沖擊漸進(jìn)振動(dòng)系統(tǒng)的力學(xué)模型。研究系統(tǒng)的各類周期振動(dòng)在二維參數(shù)(激振頻率ω和預(yù)壓量l)平面內(nèi)的參數(shù)區(qū)域和分布規(guī)律，揭示p/1基本碰撞運(yùn)動(dòng)的分岔特點(diǎn)，為解決特定工程實(shí)際問題提供一定的理論依據(jù)和參考。

1 沖擊漸進(jìn)振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型

圖1 力學(xué)模型Fig.1 Mechanical model

引入以下無量綱參數(shù)

(1)

(2)

(3)

激振器M1與緩沖墊黏滯運(yùn)動(dòng)過程中，F(xiàn)1>0。待F1減小至零時(shí)，兩者分離。黏滯運(yùn)動(dòng)結(jié)束瞬間，F(xiàn)1=0，x1=x3+l。黏滯運(yùn)動(dòng)結(jié)束后，激振器M1自由振動(dòng)，緩沖墊在其自身彈性和阻尼的作用下恢復(fù)到平衡狀態(tài)，隨質(zhì)塊M2一起自由振動(dòng)。

用P0表示作用于滑塊的彈性恢復(fù)力和阻尼力的合力，有

(4)

當(dāng)激振器M1第k次沖擊緩沖墊后，兩者黏滯向下運(yùn)動(dòng)，彈簧K3被壓縮，最終使得作用于滑塊的合力P0的絕對(duì)值增加。當(dāng)P0滿足-P0>f時(shí)，滑塊克服干摩擦力f漸進(jìn)運(yùn)動(dòng)，漸進(jìn)的深度為lk，同時(shí)系統(tǒng)向下平移lk。當(dāng)P0的絕對(duì)值減小至等于干摩擦力f時(shí)，滑塊漸進(jìn)運(yùn)動(dòng)過程結(jié)束，滑塊與周圍介質(zhì)接觸面間的摩擦力f由動(dòng)摩擦力變?yōu)殪o摩擦力，直到滑塊開始下一次漸進(jìn)運(yùn)動(dòng)為止。不管滑塊處于哪種狀態(tài)，系統(tǒng)的靜平衡位置相對(duì)滑塊而言都沒有改變。

2.3.2 藥物因素 在對(duì)危重患者實(shí)施治療的過程中，某些藥物可導(dǎo)致患者出現(xiàn)一系列不良心理反應(yīng)。如使用利多卡因治療心律不齊，當(dāng)靜脈滴注速度達(dá)到4 mg/min時(shí)，大部分患者可出現(xiàn)譫妄等精神癥狀［5］。將巴比妥類，抗膽堿能藥(尤其是東莨菪堿)作為術(shù)前用藥，將增加麻醉蘇醒期興奮、煩躁的發(fā)生率。氯胺酮麻醉后的患者發(fā)生情感改變的概率較高，因麻醉性鎮(zhèn)痛藥引起的蘇醒延長，常用納洛酮進(jìn)行拮抗，但納洛酮同時(shí)會(huì)逆轉(zhuǎn)阿片激動(dòng)劑的所有作用，包括鎮(zhèn)痛?；颊邥?huì)突然出現(xiàn)疼痛，引起明顯的交感神經(jīng)興奮等［14］。

根據(jù)前面的分析，激振器M1沖擊緩沖墊后，兩者或黏滯運(yùn)動(dòng)然后分離，或立即分離，直至下次沖擊發(fā)生?；瑝K靜止或漸進(jìn)運(yùn)動(dòng)。因此，系統(tǒng)在漸進(jìn)振動(dòng)過程中可能呈現(xiàn)四種不同的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。下面給出每種運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的判斷條件及運(yùn)動(dòng)微分方程：

(5)

(6)

(7)

(8)

X′=f(v,X)

(9)

2 基本碰撞運(yùn)動(dòng)的參數(shù)域和分岔特點(diǎn)

選取一組參數(shù)：μm=0.35，μk=0.03，μc=0.03，μk3=0.7，μc3=0.7，ζ=0.1，f=0.5，應(yīng)用前面定義的兩種Poincaré映射辨識(shí)在二維參數(shù)平面(ω∈(0.04，1)，l∈(0，15))內(nèi)各點(diǎn)處，系統(tǒng)呈現(xiàn)的周期振動(dòng)的類型如圖2(a)所示。在圖中沒有用符號(hào)p/n標(biāo)注的灰色區(qū)域內(nèi)，系統(tǒng)主要呈現(xiàn)概周期運(yùn)動(dòng)或混沌運(yùn)動(dòng)。在圖2(a)所示二維參數(shù)區(qū)域內(nèi)，系統(tǒng)主要呈現(xiàn)p/1(p=1, 2, 3)類基本碰撞運(yùn)動(dòng)。圖2(b)為p/1基本碰撞運(yùn)動(dòng)的分岔線示意圖。圖中PD表示周期倍化分岔線，PB表示周期泡型分岔線，Gr表示實(shí)擦邊分岔線，Gb表示虛擦邊分岔線，SN表示鞍結(jié)分岔線，MS表示多重滑移分岔線，HP表示Hopf分岔線。圖2(c)和圖2(d)分別為激振器M1沖擊緩沖墊的速度和滑塊在一定時(shí)間內(nèi)(t=200)的漸進(jìn)量在(ω，l)參數(shù)平面內(nèi)的分布圖。圖中1/1振動(dòng)的響應(yīng)和其余類型振動(dòng)的響應(yīng)分別用不同的顏色線型表示。圖3(a)和圖3 (b)為ω=0.5，l=0.5時(shí)，系統(tǒng)呈現(xiàn)1/1基本碰撞運(yùn)動(dòng)的相圖和時(shí)間歷程圖。每個(gè)激振力周期內(nèi)，激振器M1沖擊緩沖墊一次，沖擊后，兩者黏滯向下運(yùn)動(dòng)。當(dāng)作用于滑塊的合力P0滿足-P0>f時(shí)，滑塊克服干摩擦力f漸進(jìn)運(yùn)動(dòng)，且具有一定的漸進(jìn)量。

2.1 1/1基本碰撞運(yùn)動(dòng)的分岔分析

如圖2(a)所示，1/1基本碰撞運(yùn)動(dòng)的參數(shù)域被灰色區(qū)域分割為兩個(gè)子區(qū)域S1和S2。子區(qū)域S1的邊界線為1/1基本碰撞運(yùn)動(dòng)的虛擦邊分岔線(Gb)、Hopf分岔線(HP)和周期倍化分岔線(PD)。子區(qū)域S2的邊界線為1/1基本碰撞運(yùn)動(dòng)的多重滑移分岔線(MS)和周期倍化分岔線(PD)，見圖2(b)。在子區(qū)域S1和S2中，增加ω穿越周期倍化分岔線(PD)時(shí)，1/1基本碰撞運(yùn)動(dòng)經(jīng)周期倍化分岔產(chǎn)生2/2周期振動(dòng)。ω繼續(xù)增加，1/1基本碰撞運(yùn)動(dòng)的分岔過程受預(yù)壓量l的影響較大。當(dāng)l很小時(shí)，2/2周期振動(dòng)經(jīng)周期倍化分岔產(chǎn)生4/4周期振動(dòng)，ω進(jìn)一步增加，系統(tǒng)在一個(gè)振動(dòng)周期內(nèi)，沖擊速度最小的一次沖擊逐漸消失，4/4周期振動(dòng)經(jīng)鞍結(jié)分岔產(chǎn)生3/4周期振動(dòng)，見圖4(a)。對(duì)于略大的l，當(dāng)ω增加時(shí)，1/1基本碰撞運(yùn)動(dòng)經(jīng)倍周期序列最終通向混沌，見圖4(b)。

在子區(qū)域S1中，減小ω穿越擦邊分岔線時(shí)，1/1基本碰撞運(yùn)動(dòng)發(fā)生擦邊分岔，使得系統(tǒng)在一個(gè)振動(dòng)周期內(nèi)的激振力周期數(shù)和碰撞次數(shù)都發(fā)生了變化，根據(jù)文獻(xiàn)[16]的結(jié)論，此擦邊分岔線為虛擦邊分岔線(Gb)。由圖2(a)可見，在子區(qū)域S1和2/1基本碰撞運(yùn)動(dòng)的參數(shù)域之間存在一個(gè)中間過渡區(qū)域。中間過渡區(qū)域的右邊界線為1/1基本碰撞運(yùn)動(dòng)的虛擦邊分岔線(Gb)，左邊界線為2/1基本碰撞運(yùn)動(dòng)的周期倍化分岔線(PD)。l增加，中間過渡區(qū)域?qū)?yīng)的ω區(qū)間略有增加。中間過渡區(qū)域內(nèi)，存在3/2，4/2和4/3等周期振動(dòng)的參數(shù)島。固定l，當(dāng)ω變化時(shí)，中間過渡區(qū)域內(nèi)存在兩種轉(zhuǎn)遷過程，分別對(duì)應(yīng)小l區(qū)間和較大的l區(qū)間。以l=3.0和l=8.0為例，圖4(c)和圖4 (d)給出了兩種轉(zhuǎn)遷過程的單參數(shù)分岔圖。圖中4/2周期振動(dòng)由2/1基本碰撞運(yùn)動(dòng)的周期倍化分岔產(chǎn)生，3/2周期振動(dòng)和4/2周期振動(dòng)之間經(jīng)實(shí)擦邊分岔和鞍結(jié)分岔相互轉(zhuǎn)遷。由此可見，由于虛擦邊分岔的發(fā)生，使得1/1基本碰撞運(yùn)動(dòng)在向穩(wěn)定的2/1基本碰撞運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)遷的過程中出現(xiàn)一個(gè)中間過渡區(qū)域。中間過渡區(qū)域內(nèi)的2/1基本碰撞運(yùn)動(dòng)都是不穩(wěn)定的，系統(tǒng)由不穩(wěn)定的2/1基本碰撞運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)遷為3/2或4/3等周期振動(dòng)或混沌運(yùn)動(dòng)。ω繼續(xù)減小，2/1基本碰撞運(yùn)動(dòng)逐漸由不穩(wěn)定變?yōu)榉€(wěn)定，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)退出中間過渡區(qū)域，嵌入2/1基本碰撞運(yùn)動(dòng)的參數(shù)域。

(a) 參數(shù)域分布圖(b) 分岔線示意圖

(c) 沖擊速度分布圖

(d) 有限時(shí)間內(nèi)滑塊的漸進(jìn)量分布圖圖2 二維參數(shù)平面分布圖Fig.2 Distribution diagram in two-dimensional parameter plane

(a) 相圖(b) 時(shí)間歷程圖

圖3 1/1基本碰撞運(yùn)動(dòng)的響應(yīng)圖

Fig.3 Response of 1/1 fundamental impact motion

子區(qū)域S1和灰色區(qū)域之間的分界線為1/1基本碰撞運(yùn)動(dòng)的Hopf分岔線(HP)。以l=8.0為例，圖4(e)和(f)給出了1/1基本碰撞運(yùn)動(dòng)隨ω變化發(fā)生Hopf分岔產(chǎn)生概周期運(yùn)動(dòng)，然后經(jīng)擦邊概周期運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)遷為混沌的單參數(shù)分岔圖。當(dāng)ω= 0.558 5時(shí)，1/1基本碰撞運(yùn)動(dòng)發(fā)生Hopf分岔，產(chǎn)生概周期運(yùn)動(dòng)，圖5(a)給出了ω=0.559時(shí)的Poincaré映射圖和時(shí)間歷程圖。ω增加，環(huán)面逐漸擴(kuò)張。在某相鄰兩次沖擊之間，出現(xiàn)了激振器M1上下往復(fù)振動(dòng)兩次，沖擊一次緩沖墊的運(yùn)動(dòng)過程。ω繼續(xù)增加，沒有沖擊的一次振動(dòng)的振幅逐漸增加，最終使激振器M1與緩沖墊擦碰接觸，系統(tǒng)呈現(xiàn)1/1基本碰撞運(yùn)動(dòng)的擦邊概周期運(yùn)動(dòng)，見圖5(b)。當(dāng)ω=0.562時(shí)，取Hopf分岔前1/1基本碰撞運(yùn)動(dòng)的不動(dòng)點(diǎn)為初始映射點(diǎn)，當(dāng)映射至第556次時(shí)，激振器M1以很小的速度沖擊緩沖墊。第555次和第557次沖擊的時(shí)間間隔大約為一個(gè)激振力周期，即在1/1運(yùn)動(dòng)的概周期運(yùn)動(dòng)模式中夾雜有近似2/1運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)致系統(tǒng)的相位角發(fā)生突變，環(huán)面震蕩，Poincaré映射圖出現(xiàn)兩塊區(qū)域，概周期運(yùn)動(dòng)經(jīng)擦邊分岔轉(zhuǎn)遷為混沌，見圖5 (c)。

(a) l=0.5(b) l=2.0

(c) l=3.0(d) l=8.0

(e) l=8.0(f) l=8.0

圖4 1/1基本碰撞運(yùn)動(dòng)的分岔圖

Fig.4 Bifurcation diagrams of 1/1 fundamental impact motion

(a) 概周期運(yùn)動(dòng)，ω=0.559

(b) 擦邊概周期運(yùn)動(dòng)，ω=0.561 5

(c) 混沌，ω=0.562圖5 Poincaré映射圖和時(shí)間歷程圖，l=8.0Fig.5 Poincaré maps and time series, l=8.0

子區(qū)域S2的左邊界線為1/1基本碰撞運(yùn)動(dòng)的多重滑移分岔線(Multi-Sliding Bifurcation)(MS)。以l=12.0為例進(jìn)行分析，圖6(a)為ω=0.6，系統(tǒng)呈現(xiàn)1/1基本碰撞運(yùn)動(dòng)時(shí)，激振器M1和緩沖墊的相對(duì)位移時(shí)間歷程圖。一個(gè)激振力周期內(nèi)，激振器M1沖擊一次緩沖墊。沖擊后，兩者黏滯運(yùn)動(dòng)，見圖6(a)中的水平直線。當(dāng)ω減小至大約0.55附近時(shí)，黏滯期內(nèi)出現(xiàn)了激振器M1與緩沖墊短暫分離的現(xiàn)象，即所謂的隆起現(xiàn)象，見圖6(b)，使得系統(tǒng)在一個(gè)激振力周期內(nèi)的碰撞次數(shù)和黏滯次數(shù)各增加一次，呈現(xiàn)2/1基本碰撞運(yùn)動(dòng)。Wagg[17]研究了兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)在黏滯期內(nèi)的隆起現(xiàn)象，由此產(chǎn)生的分岔稱為隆起分岔(Rising bifurcation)，然后證明了隆起分岔在性質(zhì)上與摩擦振動(dòng)系統(tǒng)和繼電反饋系統(tǒng)中的多重滑移分岔相似。因此，子區(qū)域S2的左邊界線為1/1基本碰撞運(yùn)動(dòng)的多重滑移分岔線。

(a) 1/1基本碰撞運(yùn)動(dòng)，ω=0.6

(b) 2/1基本碰撞運(yùn)動(dòng)，ω=0.55圖6 相對(duì)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間歷程圖，l=12.0Fig.6 Time series of relative motion, l=12.0

在子區(qū)域S2中嵌有一個(gè)2/2周期振動(dòng)的小面積的參數(shù)島，其與子區(qū)域S2之間的分界線為1/1基本碰撞運(yùn)動(dòng)的周期泡型分岔線(PB)，見圖2(a)和圖2(b)。當(dāng)ω增加或減小時(shí)，系統(tǒng)的分岔過程為：1/1基本碰撞運(yùn)動(dòng)→周期倍化分岔→2/2周期振動(dòng)→逆周期倍化分岔→1/1基本碰撞運(yùn)動(dòng)。圖7給出了l=15.0時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生周期泡型分岔的單參數(shù)分岔圖。

圖7 周期泡型分岔，l=15.0Fig.7 Type of periodic bubble bifurcation, l=15.0

2.2 2/1基本碰撞運(yùn)動(dòng)的分岔分析

由圖2(a)可見，2/1基本碰撞運(yùn)動(dòng)的參數(shù)域也被分割為兩個(gè)子區(qū)域S3和S4。由前面的分析可知，子區(qū)域S3的上邊界線為1/1基本碰撞運(yùn)動(dòng)的多重滑移分岔線(MS)，右邊界線為2/1基本碰撞運(yùn)動(dòng)的周期倍化分岔線(PD)，見圖2(b)。在子區(qū)域S3的左邊界線上存在一個(gè)奇異點(diǎn)X。奇異點(diǎn)X是2/1基本碰撞運(yùn)動(dòng)的實(shí)擦邊分岔線(Gr)和虛擦邊分岔線(Gb)以及3/1基本碰撞運(yùn)動(dòng)的鞍結(jié)分岔線(SN)和周期倍化分岔線(PD)的交點(diǎn)。在llx的區(qū)域內(nèi)，子區(qū)域S3的左邊界線為2/1基本碰撞運(yùn)動(dòng)的虛擦邊分岔線(Gb)。由于虛擦邊分岔的發(fā)生，使得2/1基本碰撞運(yùn)動(dòng)在向穩(wěn)定的3/1基本碰撞運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)遷的過程中出現(xiàn)一個(gè)中間過渡區(qū)域，見圖2(a)。中間過渡區(qū)域被2/1基本碰撞運(yùn)動(dòng)的虛擦邊分岔線(Gb)和3/1基本碰撞運(yùn)動(dòng)的周期倍化分岔線(PD)包圍。中間過渡區(qū)域內(nèi)，存在5/2和6/2周期振動(dòng)的參數(shù)島。其中，6/2周期振動(dòng)由3/1基本碰撞運(yùn)動(dòng)的周期倍化分岔產(chǎn)生，5/2周期振動(dòng)和6/2周期振動(dòng)之間經(jīng)實(shí)擦邊分岔和鞍結(jié)分岔相互轉(zhuǎn)遷。以l=12.0為例，圖8(b)給出了ω穿越中間過渡區(qū)域時(shí)的單參數(shù)分岔圖。

(a) l=3.0(b) l=12.0

圖8 2/1基本碰撞運(yùn)動(dòng)的分岔圖

Fig.8 Bifurcation diagrams of 2/1 fundamental impact motion

子區(qū)域S4和3/1基本碰撞運(yùn)動(dòng)的參數(shù)域之間的分界線為2/1基本碰撞運(yùn)動(dòng)的多重滑移分岔線(MS)。以l=12.0為例進(jìn)行分析，圖9(a)為ω=0.43，系統(tǒng)呈現(xiàn)2/1基本碰撞運(yùn)動(dòng)時(shí)，激振器M1和緩沖墊的相對(duì)位移時(shí)間歷程圖。一個(gè)激振力周期內(nèi)，激振器M1沖擊兩次緩沖墊。每次沖擊后，兩者黏滯運(yùn)動(dòng)，見圖9(a)中的水平直線。其中第二次沖擊后的黏滯運(yùn)動(dòng)時(shí)間比第一次沖擊后的黏滯運(yùn)動(dòng)時(shí)間較長。當(dāng)ω增加至大約0.45附近時(shí)，第二次黏滯期內(nèi)出現(xiàn)了激振器M1與緩沖墊短暫分離的現(xiàn)象，2/1基本碰撞運(yùn)動(dòng)發(fā)生多重滑移分岔，使得系統(tǒng)在一個(gè)激振力周期內(nèi)的碰撞次數(shù)和黏滯次數(shù)各增加一次，呈現(xiàn)3/1基本碰撞運(yùn)動(dòng)，見圖9(b)。

(a) 2/1基本碰撞運(yùn)動(dòng)，ω=0.43

(b) 3/1基本碰撞運(yùn)動(dòng)，ω=0.45圖9 相對(duì)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間歷程圖，l=12.0Fig.9 Time series of relative motion, l=12.0

3 基本碰撞運(yùn)動(dòng)的沖擊速度和滑塊漸進(jìn)量

為了更全面、更深入的認(rèn)識(shí)圖1所示系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)性能，需要研究系統(tǒng)參數(shù)、沖擊速度和滑塊漸進(jìn)率之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系。由圖2(a)，圖2 (c)和圖2 (d)可見，激振器M1沖擊緩沖墊的速度越大，滑塊的漸進(jìn)率越好。對(duì)于p/1基本碰撞運(yùn)動(dòng)而言，p越大，其沖擊速度的峰值以及滑塊在有限時(shí)間內(nèi)的漸進(jìn)量的峰值越大。但是，p越大，意味著在一個(gè)激振力周期內(nèi)，激振器M1沖擊緩沖墊的次數(shù)越多，引起不利的后果越明顯。因此，綜合考慮各方面因素，實(shí)際工程應(yīng)用應(yīng)優(yōu)先選擇1/1基本碰撞運(yùn)動(dòng)的最大漸進(jìn)量。在1/1基本碰撞運(yùn)動(dòng)的子區(qū)域S1中，l增大，存在1/1基本碰撞運(yùn)動(dòng)的ω區(qū)間增加，但是沖擊速度的峰值和滑塊在有限時(shí)間內(nèi)(t=300)的最大漸進(jìn)量卻減小。選擇合適的預(yù)壓量，并確定動(dòng)力學(xué)參數(shù)的合理匹配規(guī)律，有利于使系統(tǒng)在較寬的激振頻率區(qū)間呈現(xiàn)穩(wěn)定的1/1基本碰撞運(yùn)動(dòng)，并獲得較大的瞬時(shí)沖擊速度和較好的漸進(jìn)效果。

4 結(jié) 論

本文建立了考慮緩沖墊和支撐介質(zhì)黏彈性并能夠模擬有界漸進(jìn)運(yùn)動(dòng)的沖擊漸進(jìn)振動(dòng)系統(tǒng)的力學(xué)模型。通過二維參數(shù)分岔分析得到在二維參數(shù)平面(ω∈(0.04，1)，l∈(0，15))內(nèi)各點(diǎn)處，系統(tǒng)呈現(xiàn)的周期振動(dòng)的類型，揭示了1/1和2/1基本碰撞運(yùn)動(dòng)的分岔特點(diǎn)，以及系統(tǒng)參數(shù)、沖擊速度和滑塊漸進(jìn)率之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系。

(1)ω增加，1/1基本碰撞運(yùn)動(dòng)通常發(fā)生周期倍化分岔產(chǎn)生2/2周期振動(dòng)。ω減小時(shí)，1/1基本碰撞運(yùn)動(dòng)的分岔特點(diǎn)跟預(yù)壓量l有關(guān)。在小l區(qū)域內(nèi)，減小ω，1/1基本碰撞運(yùn)動(dòng)經(jīng)虛擦邊分岔產(chǎn)生不穩(wěn)定的2/1基本碰撞運(yùn)動(dòng)。在大l區(qū)域內(nèi)，減小ω，1/1基本碰撞運(yùn)動(dòng)經(jīng)多重滑移分岔產(chǎn)生2/1基本碰撞運(yùn)動(dòng)。此外，在一定的參數(shù)條件下，系統(tǒng)呈現(xiàn)1/1基本碰撞運(yùn)動(dòng)的概周期運(yùn)動(dòng)和周期泡現(xiàn)象。

(2)ω變化時(shí)，2/1基本碰撞運(yùn)動(dòng)經(jīng)實(shí)擦邊分岔，虛擦邊分岔或多重滑移分岔產(chǎn)生3/1基本碰撞運(yùn)動(dòng)。由于p/1(p=1, 2)基本碰撞運(yùn)動(dòng)的虛擦邊分岔，使得p/1基本碰撞運(yùn)動(dòng)在向穩(wěn)定的(p+1)/1基本碰撞運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)遷的過程中出現(xiàn)一個(gè)中間過渡區(qū)域。中間過渡區(qū)域內(nèi)，存在(2p+2)/2，(2p+1)/2和(3p+1)/3等周期振動(dòng)的參數(shù)島。

(3) 激振器M1沖擊緩沖墊的速度越大，滑塊的漸進(jìn)率越好。對(duì)于p/1基本碰撞運(yùn)動(dòng)而言，p越大，其沖擊速度的峰值以及滑塊在有限時(shí)間內(nèi)的漸進(jìn)量的峰值越大，但引起不利的后果越明顯。因此，實(shí)際工程應(yīng)用的最佳選擇應(yīng)該是使系統(tǒng)工作于1/1基本碰撞運(yùn)動(dòng)的沖擊速度峰值附近。