雙激振電機(jī)驅(qū)動(dòng)旋轉(zhuǎn)振動(dòng)篩系統(tǒng)的同步理論研究

侯勇俊， 譚海軍， 方 潘， 吳先進(jìn)， 蔣 瑞

(1.西南石油大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院， 成都 610500；2.四川寶石機(jī)械專用車有限公司，四川 廣漢 613800)

在自然界和日常生活中同步現(xiàn)象隨處可見，振動(dòng)系統(tǒng)的自同步是指系統(tǒng)依靠自身較弱的耦合特性調(diào)節(jié)子系統(tǒng)的頻率使其達(dá)到協(xié)調(diào)統(tǒng)一[1]。對(duì)于同步現(xiàn)象的研究最早可以追溯到1673年惠更斯(Huygens)對(duì)于耦合單擺實(shí)驗(yàn)同步現(xiàn)象的觀測(cè)。近年來同步現(xiàn)象的研究主要包括化學(xué)、物理和社會(huì)等領(lǐng)域，例如混沌同步系統(tǒng)，耦合旋轉(zhuǎn)振動(dòng)篩系統(tǒng)。振動(dòng)機(jī)械的自同步理論最早是由俄羅斯Blekhman等[1]提出。在國內(nèi)Hou等[2]利用Lyapunov穩(wěn)定性理論研究了雙軸二倍頻振動(dòng)篩的穩(wěn)定性及自同步，并實(shí)現(xiàn)了二倍頻的自同步穩(wěn)定運(yùn)轉(zhuǎn)。Wen等[3]采用小參數(shù)平均法計(jì)算出了系統(tǒng)的穩(wěn)定性及自同步，并通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了其理論的正確性。Zhao等[4]采用改進(jìn)小參數(shù)法推導(dǎo)出了平面運(yùn)動(dòng)雙質(zhì)體振動(dòng)系統(tǒng)中兩偏心轉(zhuǎn)子的無量綱耦合方程，并依據(jù)其零解的存在及穩(wěn)定性計(jì)算出了多激振電機(jī)系統(tǒng)的穩(wěn)定性及自同步。Jiang等[5]用哈密頓原理近似表達(dá)了旋轉(zhuǎn)振動(dòng)篩的動(dòng)力學(xué)方程并研究了其非線性振動(dòng)理論。Li等[6]由偏心轉(zhuǎn)子無量綱耦合方程零解存在條件得到了振動(dòng)機(jī)實(shí)現(xiàn)自同步運(yùn)動(dòng)條件,并根Routh-Hu rwitz判據(jù)得到振動(dòng)機(jī)同步運(yùn)行的穩(wěn)定性條件。Fang等[7-9]采用龐加萊法研究系統(tǒng)同步性和穩(wěn)定準(zhǔn)則，并通過中心流形定理判斷其穩(wěn)定性條件。近年來，對(duì)于振動(dòng)系統(tǒng)的自同步理論研究的學(xué)者越來越多，但是大多只是涉及平面振動(dòng)系統(tǒng)的自同步理論[10-13]，對(duì)于空間振動(dòng)系統(tǒng)的自同步理論研究較少。平面振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)軌跡一般為直線、圓和橢圓，其運(yùn)動(dòng)形式單一限制了其使用范圍。對(duì)于旋轉(zhuǎn)振動(dòng)篩系統(tǒng)，其運(yùn)動(dòng)方式為多自由度的空間運(yùn)動(dòng)，廣泛應(yīng)用于醫(yī)藥、制鹽、磨料磨具、鑄造、礦業(yè)、建材、食品化工、輕工、木材造紙、制糖、糧食加工和化肥等許多行業(yè)[14]。

旋轉(zhuǎn)振動(dòng)篩通過改變系統(tǒng)的相關(guān)參數(shù)調(diào)整同步相位差可以實(shí)現(xiàn)水平面的搖動(dòng)、垂直方向的運(yùn)動(dòng)以及切向的運(yùn)動(dòng)，3種運(yùn)動(dòng)形式經(jīng)過不同組合， 可以實(shí)現(xiàn)物料在篩面的均勻分布、 合理拋跳的螺旋向外三維空間復(fù)雜運(yùn)動(dòng)，有效地利用了全部圓形篩面，提高了篩分效率[15]；有效解決了細(xì)粒級(jí)物料的干法和濕法篩分透篩困難問題。通過偏心、徑向偏角和切向偏角的合理調(diào)節(jié)可以實(shí)現(xiàn)預(yù)定的各種運(yùn)動(dòng)模式適合于許多行業(yè)不同物料的有效篩分[16]。

1 理論和模型

1.1 基本理論

假設(shè)旋轉(zhuǎn)振動(dòng)篩系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程為

(1)

(2)

在系統(tǒng)進(jìn)入自同步狀態(tài)以后，轉(zhuǎn)子的角速度為ω，在一個(gè)周期內(nèi)，忽略小參數(shù)項(xiàng)的影響(μ=0)，則振動(dòng)系統(tǒng)做強(qiáng)迫穩(wěn)態(tài)振動(dòng)響應(yīng)為

x=x(ωt,α1,α2…αk)

(3)

假設(shè)轉(zhuǎn)子的初相位為α1,α2,…,αk，那么轉(zhuǎn)子的實(shí)際相位角可以表示為：

φi=ωt+αi

(4)

假設(shè)上式中參數(shù)α1,α2,…,αk分別對(duì)應(yīng)一個(gè)值滿足方程

(5)

(6)

如果參數(shù)α1,α2,…,αk的一組常數(shù)滿足(7)且代數(shù)方程

(7)

如果χ的根實(shí)部為負(fù)，那么在μ足夠小的情況下α1,α2,…,αk的值是唯一的，這時(shí)方程(7)就存在穩(wěn)定解；如果χ的根實(shí)部為正，則解不穩(wěn)定；如果χ至少有一個(gè)根實(shí)部為零，則其穩(wěn)定性可以用中心流形定理判斷[1]。

1.2 力學(xué)模型

雙激振電機(jī)驅(qū)動(dòng)旋轉(zhuǎn)振動(dòng)篩系統(tǒng)的力學(xué)模型如圖1所示，旋轉(zhuǎn)振動(dòng)篩系統(tǒng)以系統(tǒng)質(zhì)心為坐標(biāo)原點(diǎn)建立動(dòng)坐標(biāo)系，以系統(tǒng)靜止時(shí)質(zhì)心所在位置建立定坐標(biāo)系。該系統(tǒng)由質(zhì)量為m0(kg)的振動(dòng)體和兩個(gè)質(zhì)量分別為m1，m2(kg)的偏心塊構(gòu)成。兩激振電機(jī)質(zhì)心與系統(tǒng)質(zhì)心位于平面xoz，振動(dòng)體和機(jī)架之間用剛性彈簧連接，彈簧在x,y,z,ψ1,ψ2方向的剛度系數(shù)分別為kx,ky,kz,kψ1,kψ2(N/m)，阻尼系數(shù)分別為fx，fy，fz，fψ1,fψ2(N·s/m)。激振電機(jī)固定在振動(dòng)體上，偏心塊質(zhì)心到回轉(zhuǎn)中心的距離為r(m)，兩激振電機(jī)安裝中心到振動(dòng)體質(zhì)心之間的距離分別為l1，l2(m)，激振電機(jī)安裝角分別為β1,β2(rad)。轉(zhuǎn)子1和轉(zhuǎn)子2的相位角分別為φ1,φ2(rad)，偏心塊安裝角為ε(rad)。

圖1 旋轉(zhuǎn)振動(dòng)篩系統(tǒng)力學(xué)模型Fig.1 Mechanics model of rotary vibrating screen system

該系統(tǒng)的總動(dòng)能為

(8)

式中:J1,J2是偏心轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;J11,J22分別是振動(dòng)體沿著y和z軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;ψ1,ψ2分別是振動(dòng)體沿著xoz平面和xoy軸旋轉(zhuǎn)的角位移。fx,fy,fz分別是系統(tǒng)在x,y,z平動(dòng)方向的阻尼系數(shù)，fψ1,fψ2分別是系統(tǒng)在ψ1,ψ2轉(zhuǎn)動(dòng)方向的阻尼系數(shù)。

旋轉(zhuǎn)振動(dòng)篩系統(tǒng)的總勢(shì)能為

(9)

旋轉(zhuǎn)振動(dòng)篩系統(tǒng)的總耗能為

(10)

將式(8),(9),(10)代入拉格朗日方程

(11)

(12)

2 穩(wěn)定性和同步性

2.1 系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)近似解

當(dāng)系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)后，其在各個(gè)方向的阻尼對(duì)系統(tǒng)的響應(yīng)的影響可以忽略。在其系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程中引入小參數(shù)μ，并忽略其中小量對(duì)系統(tǒng)的影響，將動(dòng)力學(xué)方程(12)改寫為

(13)

由前面基本理論可知

(14)

(15)

其中

(16)

由方程(13)可以得到旋轉(zhuǎn)振動(dòng)篩系統(tǒng)是關(guān)于自由度x,y,z,ψ1,ψ2的耦合動(dòng)力學(xué)方程，因此方程中包含小參數(shù)的項(xiàng)可以被忽略并引入無量綱參數(shù)：

(17)

其中ωx,ωy,ωz,ωψ1,ωψ2為系統(tǒng)的頻率系數(shù)，是彈簧剛度和系統(tǒng)總質(zhì)量的函數(shù)。其中λx,λy,λz,λψ1,λψ2為頻率比系數(shù)，是激振電機(jī)頻率和頻率系數(shù)的函數(shù)，直接將彈簧剛度、系統(tǒng)質(zhì)量和激振電機(jī)頻率聯(lián)系在一起。從式(18)可以得到引入無量綱參數(shù)后極大程度上簡(jiǎn)化了方程式(15)的形式，直接將系統(tǒng)的相關(guān)參數(shù)用無量綱參數(shù)替代，這樣就更形象的反應(yīng)了旋轉(zhuǎn)振動(dòng)篩系統(tǒng)的有關(guān)特點(diǎn)。把無量綱參數(shù)代入到式(16)

A1=A2=-rmrλx，B1=B2=-rmrλy，

C1=C2=-rmrλz

D1=D2=-re1rl1λψ1，D3=D4=-re2rl2λψ2，

D5=-re1rl1λψ1，D6=-re2rl2λψ2

(18)

則式(15)可以寫為

(19)

2.2 系統(tǒng)自同步性

當(dāng)振動(dòng)系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)后，轉(zhuǎn)子的角速度逐漸趨近一個(gè)穩(wěn)定值ω；假設(shè)偏心轉(zhuǎn)子1和2的初相位分別為α1,α2，則偏心轉(zhuǎn)子在某一時(shí)刻t其相位為

φ1=ωt+α1，φ2=ωt+α2，α=α1-α2

在一個(gè)周期T內(nèi)對(duì)式(14)積分，由等式(6)可以得到

B2ω2m1rcos2εsinα-C2ω2m1rsin2εsinα-

D3ω2m1rl1sin2εcosβ1cosβ2sinα-

D4ω2m1rl1sinεsinβ2cosβ1cosα-

D3ω2m1rl1sinεsinβ1cosβ2cosα+

D4ω2m1rl1sinβ1sinβ2sinα-

D6ω2m1rl1sinεcosεsinα,

B2ω2m2rcos2εsinα+C1ω2m2rsin2εsinα+

D1ω2m2rl2sin2εcosβ1cosβ2sinα-

D2ω2m2rl2sinεsinβ2cosβ1cosα-

D1ω2m2rl2sinεsinβ1cosβ2cosα-

D2ω2m2rl2sinβ1sinβ2sinα+

D5ω2m2rl2sinεcosεsinα

(20)

式中:Lmi為感應(yīng)第i個(gè)激振電機(jī)的互感系數(shù)；Lsi為第i個(gè)激振電機(jī)的定子電感；rm為激振電機(jī)的極對(duì)數(shù)；ωm為自同步電角速度；Rri為第i個(gè)激振電機(jī)的轉(zhuǎn)子電阻；US0為定子電壓的幅值[7]。

整理式(20)，由前面基本理論可以得到系統(tǒng)的平衡方程為

μ1sinα+μ2sinα+μ3cosα=0

(21)

其中

μ1=4rmλx

μ2=l1l2(re1λψ1+re2λψ2)(sin2εcosβ1cosβ2-

sinβ1sinβ2+sinεcosε)

μ3=l1l2(re2λψ2-re1λψ1)sinεsin(β1+β2)

由等式(7)可以得到系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件為

(22)

把式(20)代入式(22)，系統(tǒng)自同步穩(wěn)定性準(zhǔn)則可簡(jiǎn)化為

μ1cosα+μ2cosα-μ3sinα<0

(23)

由式(21)可知，系統(tǒng)的同步穩(wěn)定準(zhǔn)則主要由偏心塊安裝角、彈簧剛度、激振電機(jī)安裝位置和系統(tǒng)質(zhì)量決定。只有當(dāng)這些參數(shù)滿足振動(dòng)方程和穩(wěn)定準(zhǔn)則時(shí)，兩偏心轉(zhuǎn)子才可以實(shí)現(xiàn)同步運(yùn)轉(zhuǎn)。根據(jù)(21)可以得到，當(dāng)偏心塊水平安裝的時(shí)候，系統(tǒng)達(dá)到平衡后其轉(zhuǎn)子相位差為0。當(dāng)激振電機(jī)安裝在質(zhì)心所在水平面附近的時(shí)候，系統(tǒng)達(dá)到平衡后其轉(zhuǎn)子相位差在0的附近波動(dòng)。

3 數(shù)值模擬

3.1 系統(tǒng)自同步數(shù)值分析

為了驗(yàn)證上述結(jié)論的正確性，按照表1所給出模型的參數(shù)，在MATLAB中進(jìn)行系統(tǒng)自同步數(shù)值分析，其相應(yīng)仿真參數(shù)如表1。由式(21)可知，系統(tǒng)同步穩(wěn)定準(zhǔn)則主要由偏心塊安裝角、彈簧剛度、激振電機(jī)安裝位置和系統(tǒng)質(zhì)量決定。只有當(dāng)這些參數(shù)滿足振動(dòng)方程和穩(wěn)定準(zhǔn)則時(shí)，兩偏心轉(zhuǎn)子才可以實(shí)現(xiàn)同步運(yùn)行。為了更加準(zhǔn)確的描述系統(tǒng)的自同步過程，采用單一控制變量原則，分別討論彈簧剛k和偏心塊安裝角ε對(duì)系統(tǒng)自同步過程的影響。

表1 系統(tǒng)仿真參數(shù)Tab.1 System emulation parameters

合理選擇系統(tǒng)參數(shù)不僅可以正確描述旋轉(zhuǎn)振動(dòng)篩系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)軌跡，更能精準(zhǔn)的反應(yīng)系統(tǒng)的同步行為。表1給出了系統(tǒng)的部分參數(shù)，圖2(a)是當(dāng)l1等于l2為0.3(m),kψ1=kψ2=105(N/m)，kx=ky=kz=105(N/m)，兩激振電機(jī)到系統(tǒng)質(zhì)心連線與水平面夾角β1,β2相等，且β1分別為0°,30°,45°時(shí)候偏心塊安裝角ε與系統(tǒng)同步行為之間的關(guān)系。圖2(b)是當(dāng)l1=0.3(m),kψ1=kψ2=105(N/m)，kx=ky=kz=105(N/m)，兩激振電機(jī)中心位置到系統(tǒng)質(zhì)心連線與水平面夾角β1,β2不等(兩激振電機(jī)質(zhì)心始終處于同一水平面)，使β1=45°保持不變，β2分別為0°,30°,45°的時(shí)候偏心塊安裝角ε與系統(tǒng)同步行為之間的關(guān)系。

從圖2(a)可以得到當(dāng)兩激振電機(jī)連線與系統(tǒng)質(zhì)心處于同一水平面的時(shí)候，偏心塊安裝角ε無論如何變化兩偏心轉(zhuǎn)子的相位差始終為0，此時(shí)系統(tǒng)在偏心塊安裝角ε所在的方向做軌跡為圓的運(yùn)動(dòng)。當(dāng)兩激振電機(jī)連線與系統(tǒng)質(zhì)心不在于同一水平面的時(shí)候，兩偏心轉(zhuǎn)子的相位差隨著安裝角ε的增大而增大。因此，改變安裝角ε就可以使旋轉(zhuǎn)振動(dòng)篩系統(tǒng)按照預(yù)定的方式運(yùn)動(dòng)。從圖2(b)我們可以得到，在同一水平面改變激振電機(jī)的安裝角β2可以使兩偏心轉(zhuǎn)子的相位差α=|α1-α2|的大小發(fā)生變化。當(dāng)增大β2時(shí)兩偏心轉(zhuǎn)子的相位差α隨之增大，此時(shí)系統(tǒng)在空間中的運(yùn)動(dòng)軌跡也隨之發(fā)生變化。因此可以通過改變偏心塊安裝方向或者改變激振電機(jī)安裝位置去調(diào)節(jié)振動(dòng)篩的在空間中的運(yùn)動(dòng)軌跡。

圖3(a)是當(dāng)l1等于l2為0.3(m),kx=ky=kz=105(N/m)，偏心塊安裝角ε=45°，兩激振電機(jī)中心位置到系統(tǒng)質(zhì)心連線與水平面夾角β1,β2相等分別為0°,45°,60°的時(shí)候彈簧扭轉(zhuǎn)剛度與系統(tǒng)同步行為之間的關(guān)系。圖3(b)是當(dāng)l1等于l2為0.3(m),kx=ky=kz=105(N/m)，偏心塊安裝角ε=90°，兩激振電機(jī)中心位置到系統(tǒng)質(zhì)心連線與水平面夾角β1,β2相等分別為0°,45°,60°的時(shí)候彈簧扭轉(zhuǎn)剛度與系統(tǒng)同步行為之間的關(guān)系。

從圖3(a)和(b)可以得到當(dāng)激振電機(jī)安裝角β1等于β2為0時(shí)候，改變彈簧剛度兩偏心轉(zhuǎn)子的相位差α保持不變。當(dāng)kψ1kψ2時(shí)兩偏心轉(zhuǎn)子相位差α隨kψ2增大而增大。所以合理調(diào)節(jié)彈簧剛度(kψ1,kψ2)可以使兩偏心轉(zhuǎn)子的相位差滿足實(shí)際需要。

(a) β1=β2分別為0°,30°,45°

(b) β1為45°且β2分別為0°,30°,45°圖2 偏心塊安裝角ε與轉(zhuǎn)子相位差之間的關(guān)系

Fig.2 The relationship between installation angleεand system self-synchronization

3.2 自同步運(yùn)動(dòng)狀態(tài)

選取表1中的參數(shù)，其中彈簧剛度kx=ky=kz=kψ1=kψ2=105(N/m)，偏心塊安裝角ε=45°，l1=l2=0.3 m，激振電機(jī)安裝角β1等于β2為45°時(shí)候。選取激振電機(jī)1和激振電機(jī)2為鼠籠式三相異步激振電機(jī)，其轉(zhuǎn)速為1 440 r/min，頻率為50 Hz，功率為3.8 kW。其仿真參數(shù)如圖4，從圖4(e)可知當(dāng)系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定后兩激振電機(jī)的角速度在155 rad/s左右波動(dòng)，這與其額定轉(zhuǎn)速基本相近。從圖4(a),(b),(c)中可以看出系統(tǒng)在2 s左右達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，其在x,y,z方向的振幅分別為2.1、1.3、1.3 mm。由前面的結(jié)論可知當(dāng)彈簧扭轉(zhuǎn)剛度kψ1=kψ2的時(shí)候兩偏心轉(zhuǎn)子的相位差α=0，此時(shí)系

(a) 偏心塊安裝角ε=45°

(b) 偏心塊安裝角ε=90°圖3 彈簧剛度k與轉(zhuǎn)子相位差之間的關(guān)系Fig.3 The relationship between the spring stiffness k and the system self-synchronization

(a) x方向的位移

(b) y方向的位移

(c) z方向的位移

(d) 電磁扭矩

(e) 轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速圖4 旋轉(zhuǎn)振動(dòng)篩數(shù)值仿真結(jié)果Fig.4 Numerical simulation results of rotating vibrating screen

統(tǒng)沿著與水平面夾角為ε的平面方向做軌跡為圓的空間運(yùn)動(dòng)。從圖1可以得到系統(tǒng)在x,y,z方向做周期運(yùn)動(dòng)，其在空間中的合成運(yùn)動(dòng)剛好與結(jié)論符合。

選取表1中的參數(shù)，其中彈簧剛度kx=ky=kz=kψ1=kψ2=105N/m，偏心塊安裝角ε=15°，l1=l2=0.3 m，激振電機(jī)安裝角β1=β2=45°時(shí)候。選取激振電機(jī)1和激振電機(jī)2為鼠籠式異步電動(dòng)機(jī)，其轉(zhuǎn)速為1 440 r/min，電動(dòng)機(jī)頻率為50 Hz，功率為3.8 kW。其仿真參數(shù)如圖5，從圖5(a),(g),(h)可以得到當(dāng)偏心塊安裝角ε=15°的時(shí)候，系統(tǒng)在1.9 s左右達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，其在x,y,z方向的振幅分別為2.2、2.1、0.5 mm，這時(shí)旋轉(zhuǎn)振動(dòng)篩系統(tǒng)主要在水平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。隨著偏心塊安裝角的增大其在z方向的位移增大，因此調(diào)節(jié)偏心塊安裝角就可以調(diào)節(jié)旋轉(zhuǎn)振動(dòng)篩系統(tǒng)在空間中的運(yùn)動(dòng)軌跡，從而滿足實(shí)際生產(chǎn)需求。

(a) x方向的位移

(b) y方向的位移

(c) z方向的位移圖5 旋轉(zhuǎn)振動(dòng)篩數(shù)值仿真結(jié)果Fig.5 Numerical simulation results of rotating vibrating screen

4 結(jié) 論

本文研究了一種旋轉(zhuǎn)振動(dòng)篩系統(tǒng)的穩(wěn)定性和同步性，首先利用拉格朗日方程建立了旋轉(zhuǎn)振動(dòng)篩系統(tǒng)的空間運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程，然后將動(dòng)力學(xué)方程轉(zhuǎn)化為無量綱方程，利用拉普拉斯變換對(duì)該方程求解，得到了系統(tǒng)的自同步條件和穩(wěn)定準(zhǔn)則。最后通過MATLAB進(jìn)行數(shù)值仿真驗(yàn)證了其理論的正確性。得到了以下結(jié)論：

(1) 系統(tǒng)的平衡方程為μ1sinα+μ2sinα+μ3cosα=0，系統(tǒng)的穩(wěn)定性準(zhǔn)則為μ1cosα+μ2cosα-μ3sinα<0

(2) 通過拉格朗日方程得到了旋轉(zhuǎn)振動(dòng)篩系統(tǒng)在x,y,z方向的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。旋轉(zhuǎn)振動(dòng)篩系統(tǒng)其獨(dú)特的空間運(yùn)動(dòng)形式可以完善傳統(tǒng)平面振動(dòng)的缺點(diǎn)，使平面振動(dòng)過渡到空間振動(dòng)。

(3) 當(dāng)偏心塊安裝角ε為0 rad或者激振電機(jī)安裝角β1,β2分別為0 rad時(shí)兩偏心轉(zhuǎn)子的相位差為0，此時(shí)系統(tǒng)在x,y,z方向的分運(yùn)動(dòng)均達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。

(4) 本文通過理論分析得到了系統(tǒng)的同步和穩(wěn)定條件，當(dāng)β1=β2時(shí)系統(tǒng)更容易達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。當(dāng)增大偏心塊安裝角ε時(shí)，兩轉(zhuǎn)子相位差也隨之增大。最后采用數(shù)值模擬的方式驗(yàn)證了其理論的正確性。