一類對(duì)稱約束碰振系統(tǒng)的余維二擦邊分岔的存在條件

徐潔瓊， 陳慧瑩， 伍 帥， 袁 泉

(廣西大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院， 南寧 530004)

碰撞振動(dòng)系統(tǒng)作為一類典型的非光滑系統(tǒng)，除了具有光滑分岔(余維一Hopf分岔和Neimark-Sacker分岔，余維二Hopf-flip分岔、Hopf-Hopf分岔、退化Hopf分岔等[1-2])外，還具有非光滑系統(tǒng)所特有的非光滑分岔現(xiàn)象，(如擦邊分岔。余維一非光滑分岔(擦邊分岔、滑動(dòng)分岔以及角點(diǎn)分岔)的理論研究已經(jīng)比較完善?；谧钤缬蒒ordmark[3-4]提出的局部不連續(xù)映射方法，建立了在不同非光滑系統(tǒng)中非光滑分岔的規(guī)范型[5-6]。關(guān)于余維二非光滑分岔的研究目前還沒(méi)有統(tǒng)一的結(jié)論，主要是針對(duì)不同的問(wèn)題分析特定的余維二非光滑分岔現(xiàn)象。Kowalczyk等[7]針對(duì)非光滑微分系統(tǒng)的極限環(huán)的余維二非光滑分岔提出了一種分類策略。類似光滑系統(tǒng)的余維二分岔的分類方法，余維二擦邊分岔被劃分為三種類型，分別是：第一種擦邊點(diǎn)退化，即，決定擦邊點(diǎn)局部向量場(chǎng)性質(zhì)的解析條件發(fā)生退化；第二種退化環(huán)擦邊(非雙曲)，也可以看成是在同一組參數(shù)下光滑分岔和非光滑分岔同時(shí)發(fā)生；以及第三種兩個(gè)擦邊事件同時(shí)發(fā)生。Yin等[8]對(duì)單自由度碰撞振子的退化擦邊分岔行為進(jìn)行分析，利用不連續(xù)映射的方法研究碰撞系統(tǒng)擦邊動(dòng)力學(xué)行為，并找出單自由度碰撞振子退化分岔?xiàng)l件，推導(dǎo)出碰撞周期運(yùn)動(dòng)退化擦邊分岔的存在條件。Thota等[9]對(duì)單自由度碰撞振子的余維二擦邊分岔進(jìn)行了研究，并通過(guò)不連續(xù)映射的方法得到擦邊分岔的開(kāi)折圖，分析了余維一分岔對(duì)余維二分岔點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)影響。Zhao等[10]對(duì)微機(jī)械系統(tǒng)中的余維二和余維三分岔進(jìn)行研究，提出一種分析方法來(lái)預(yù)測(cè)兩個(gè)余維二分岔點(diǎn)的鄰域的分岔行為。Jiang等[11-12]將剛性碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的不連續(xù)性幾何概念拓展到彈性碰撞振動(dòng)系統(tǒng)中，研究了具有單側(cè)彈性約束的碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的擦邊分岔機(jī)理。并研究了單側(cè)彈性和剛性約束沖擊振子中擦邊分岔的區(qū)別，并對(duì)這兩種振子的擦邊分岔進(jìn)行分類。Yin等[13]推導(dǎo)了退化擦邊碰撞系統(tǒng)的高階零時(shí)間不連續(xù)映射，并通過(guò)對(duì)近擦邊碰撞周期運(yùn)動(dòng)的存在性分析，對(duì)低階和高階截?cái)嗟谋容^，說(shuō)明了利用高階零時(shí)間不連續(xù)映射分析退化擦邊分岔的必要性和可行性。Xu等[14]基于顯式臨界準(zhǔn)則和不連續(xù)映射方法，研究了三自由度振動(dòng)沖擊系統(tǒng)周期解的穩(wěn)定性和分岔問(wèn)題，解釋了在擦邊周期運(yùn)動(dòng)附近，吸引子不連續(xù)跳躍和吸引子共存的原因。

除了單側(cè)約束碰振系統(tǒng)，在許多實(shí)際工程問(wèn)題中也會(huì)涉及到具有雙側(cè)約束碰撞振動(dòng)系統(tǒng)，例如齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)、連接設(shè)備、高速鐵路列車輪軌互相作用、核反應(yīng)堆中的熱交換器管道等。 呂小紅等[15]對(duì)具有雙側(cè)約束碰撞振動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行研究，得到倍周期分岔和擦邊分岔通向混沌的路徑，對(duì)混沌行為實(shí)施了控制。井紅巖[16]選取以雙側(cè)約束的自帶冠葉片作為研究對(duì)象，建立了發(fā)生雙側(cè)碰撞的自帶冠葉片振動(dòng)系統(tǒng)模型,推導(dǎo)了碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的周期解，并對(duì)周期運(yùn)動(dòng)特性進(jìn)行了有效分析。Xu等[17]研究了具有對(duì)稱約束的n自由度碰撞系統(tǒng)的擦邊分岔穩(wěn)定性條件的退化，得出該類系統(tǒng)余維二擦邊分岔的顯式公式。本文對(duì)具有對(duì)稱約束的二自由度碰撞系統(tǒng)的第二類余維二分岔進(jìn)行分析，推導(dǎo)了一類余維二擦邊分岔的存在條件。文章結(jié)構(gòu)如下：第一章，雙擦周期運(yùn)動(dòng)的存在條件；第二章，基于不連續(xù)映射的復(fù)合Poincaré映射；第三章，近擦邊動(dòng)力學(xué)分析；第四章，余維二擦邊分岔的存在條件；第五章，結(jié)論。

1 雙擦周期運(yùn)動(dòng)的存在條件

1.1 力學(xué)模型

本文考慮一個(gè)具有對(duì)稱約束的二自由度剛性碰撞振動(dòng)系統(tǒng)，如圖1所示。該系統(tǒng)由質(zhì)量為M1和M2的振子組成、振子分別由剛度為K1和K2的線性彈簧以及阻尼系數(shù)為C1和C2的線性阻尼器相連接。在簡(jiǎn)諧激振力Pi(ΩT+τ),(i=1,2)的作用下質(zhì)塊沿水平方向往返運(yùn)動(dòng)。振子的位移分別用X1和X2表示，系統(tǒng)具有對(duì)稱性的約束面A和C，質(zhì)量M1的質(zhì)塊在約束面A和C之間移動(dòng)。質(zhì)量M1的質(zhì)塊位移X1為B或-B時(shí)，將與約束面A或C發(fā)生碰撞。碰撞恢復(fù)系數(shù)為R，假設(shè)與力的周期相比，剛性碰撞振動(dòng)系統(tǒng)碰撞持續(xù)時(shí)間可以忽略不計(jì)。

圖1 系統(tǒng)模型

其中“″”和“′”分別是對(duì)時(shí)間t的二階導(dǎo)數(shù)和一階導(dǎo)數(shù)。

假定上述力學(xué)模型中的阻尼為Rayleigh型的比例阻尼，令p0=|p1|+|p2|，作如下變換

無(wú)碰撞時(shí)，系統(tǒng)經(jīng)過(guò)無(wú)量綱變化之后的運(yùn)動(dòng)方程為

(1)

質(zhì)塊M1的碰撞沖擊方程為

設(shè)Ψ為碰撞振動(dòng)系統(tǒng)(1)的正則模態(tài)矩陣，ω1和ω2表示質(zhì)塊和約束面無(wú)接觸情況下系統(tǒng)的固有頻率。作坐標(biāo)變換x=Ψγ，得到系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程如下

(2)

1.2 雙擦周期運(yùn)動(dòng)的存在條件

利用模態(tài)疊加法求解碰撞振動(dòng)系統(tǒng)(2)可得

bj1sinωdj(t-t0)))+Ajsin(ωt+τ)+

Bjcos(ωt+τ),t0≤t≤t1,(i=1,2)

(3)

bj2sinωdj(t-t1)))+Ajsin(ωt+τ)+

Bjcos(ωt+τ),t1≤t≤t2,(i=1,2)

(4)

(5)

且在約束面A和C擦邊點(diǎn)處振子M1的加速度分別小于零和大于零。

2 基于不連續(xù)映射的復(fù)合Poincaré映射

令θ=ωtmod(2π)表示激勵(lì)的相位，引入狀態(tài)變量X=(x1v1x2v2d)T∈R5，則有

(6)

式中：v1和v2分別代表質(zhì)塊M1和M2的速度；a1和a2代表質(zhì)塊M1和M2的加速度。

當(dāng)振子M1的位移x1滿足|x1|=d時(shí)，振子M1與約束面A或C發(fā)生接觸(擦邊或者碰撞)，定義不連續(xù)面D1，D2，D1=X|hD1(X)=d-x1=0,D2=X|hD2(X)=-d-x1=0。

gi(X)=(x1, -Rv1,x2,v2,d)T

其中i=1,2。

設(shè)X*1，X*2為不連續(xù)面D1，D2處的擦邊點(diǎn)，則：hD1(X*1)=0,hD2(X*2)=0。

為了分析擦邊點(diǎn)附近的動(dòng)力學(xué)行為，引進(jìn)零時(shí)間不連續(xù)映射。根據(jù)不連續(xù)映射方法，得到DM1和DM2的不連續(xù)映射如下

DM1=

DM2=

(7)

其中β1，β2滿足：

β1=

β2=

選擇兩個(gè)固定相位角θ*1，θ*2為截面，其截面滿足以下形式

利用光滑流可以定義映P1s:P1→P2和P2s:P2→P1，使得P1s(X*1)=X*2和P2s(X*2)=X*1。選擇P1為Poincaré截面，復(fù)合光滑映射和不連續(xù)映射，得到分析近擦邊動(dòng)力學(xué)的復(fù)合Poincaré映射：

P=P2s°DM2°P1s°DM1

在X*1鄰域展開(kāi)光滑映射P1s(X)及函數(shù)hD1(X)，并舍去高階項(xiàng)得到：

(8)

3 近擦邊動(dòng)力學(xué)分析

3.1 存在性條件

考慮碰振系統(tǒng)發(fā)生1/1/n周期運(yùn)動(dòng)，即：在n個(gè)外激勵(lì)周期，振子在一個(gè)周期與不連續(xù)面D1、D2先后發(fā)生碰撞，在之后的n-1個(gè)周期無(wú)碰撞現(xiàn)象發(fā)生，第n+1個(gè)周期時(shí)再次與D1、D2發(fā)生碰撞的運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象。

當(dāng)發(fā)生1/1/n碰撞周期運(yùn)動(dòng)時(shí)，利用復(fù)合映射(8)求不動(dòng)點(diǎn)。

為進(jìn)行簡(jiǎn)化計(jì)算令

P1s,X[P2s,X°DM2°P1s,X°DM1](X)=X*2+P1s,XP2s,XQ

P2s,XP1s,X[P2s,X°DM2°P1s,X°DM1](X)=

X*1+P2s,XP1s,XP2s,XQ

依此類推

P1s,X(P2s,XP1s,X)n-2[P2s,X°DM2°P1s,X°DM1](X)=X*2+P1s,X(P2s,XP1s,X)n-2P2s,XQ(n≥2)

(9)

3.2 分岔?xiàng)l件

分析1/1/n周期運(yùn)動(dòng)的分岔?xiàng)l件，先求出復(fù)合映射的Jacobian矩陣，利用其特征值找出相應(yīng)的鞍結(jié)分岔線和倍周期分岔線，具體過(guò)程如下。

C=(1 0 0 0 0)，

則可以得到如下等式

x-x*1=C(X-X*1)=C(P2s,XP1s,X)n-1·

(10)

(11)

C(P2s,XP1s,X)(n-1)P2s,Xβ2=(1 0 0 0 0)·

(12)

為方便進(jìn)一步對(duì)Y進(jìn)行求解，先對(duì)Y進(jìn)行平方操作得到等式(13)，并將式(10)～(12)代入式(13)中，得出Y與d-d*1相關(guān)的式(14)。

(13)

(14)

利用對(duì)n次復(fù)合映射Jacobian矩陣的特征值進(jìn)行求解，進(jìn)一步找出對(duì)應(yīng)的鞍結(jié)分岔和倍周期分岔發(fā)生時(shí)所滿足的條件，有基本分岔理論可知，特征值λ=1時(shí)對(duì)應(yīng)鞍結(jié)分岔，特征值λ=-1對(duì)應(yīng)倍周期分岔。n次復(fù)合映射Jacobian矩陣DPs如下

其中Q滿足

由此容易計(jì)算出n次復(fù)合映射PS的Jacobian矩陣如下

(15)

化簡(jiǎn)計(jì)算可得

(16)

將λ=1代入式(16)，并聯(lián)立關(guān)于Y的式(14)，得到周期運(yùn)動(dòng)發(fā)生鞍結(jié)分岔的條件

將λ=-1代入式(16)，并聯(lián)立關(guān)于Y的式(14)，得到發(fā)生倍周期分岔的條件

令

并使用SN 和PD分別代表鞍結(jié)點(diǎn)分岔線和倍周期分岔，分岔?xiàng)l件可以寫(xiě)成如下形式

(17)

4 余維二擦邊分岔的存在條件

根據(jù)上一節(jié)推導(dǎo)出的兩類分岔的表達(dá)式(17)，得出發(fā)生余維二擦邊分岔?xiàng)l件的解析表達(dá)式，即，以下條件成立時(shí)發(fā)生余維二擦邊分岔

(18)

容易發(fā)現(xiàn)，當(dāng)ζn取值為0，碰撞振動(dòng)系統(tǒng)發(fā)生余維二擦邊分岔。對(duì)于周期n為1的碰撞周期運(yùn)動(dòng)，選定以下參數(shù)um=10.0，uk=5.0，uc=5.0，R=0.8，f20=0.0，ζ=0.05，進(jìn)行數(shù)值模擬。根據(jù)式(5)和上述余維二擦邊分岔?xiàng)l件(式(18))，同時(shí)作出鞍結(jié)分岔線、倍周期分岔線以及擦邊曲線，找出三條曲線的交點(diǎn)，即余維二擦邊分岔點(diǎn)，如圖2所示。從圖中我們可以看到三條不同的曲線，用長(zhǎng)虛線表示的曲線對(duì)應(yīng)鞍結(jié)分岔曲線，實(shí)線對(duì)應(yīng)擦邊曲線，用短虛線表示的曲線對(duì)應(yīng)倍周期分岔曲線(圖3為圖2的局部放大圖像)。在圖2中可以看出三類曲線在ω∈[0.1,3]范圍內(nèi)具有多個(gè)交點(diǎn)，即在 (0.109，1.223)、(0.161，1.251)、(0.218，1.296)、(0.335 5，1.453 2)、(0.611，4.906)和(1.233，2.247)等點(diǎn)處滿足余維二擦邊分岔?xiàng)l件(18)，發(fā)生了余維二擦邊分岔。以頻率ω作為變化參數(shù)，根據(jù)擦邊分岔?xiàng)l件，即達(dá)式(5)，畫(huà)出隨著頻率ω變化d的曲線，即擦邊分岔曲線。然后找到曲線上滿足ξn=0的點(diǎn)，用*號(hào)表示，得到碰撞振動(dòng)系統(tǒng)余維二擦邊分岔點(diǎn)的分布情況，如圖4所示。圖4展現(xiàn)了周期n取值為時(shí)，碰撞振動(dòng)系統(tǒng)余維二擦邊分岔點(diǎn)的分布情況，容易看出余維二分岔點(diǎn)主要集中在曲線的左端，即較小的ω值處。

圖2 1/1/1碰撞周期運(yùn)動(dòng)退化點(diǎn)附近動(dòng)力學(xué)行為

圖3 局部放大圖像

圖4 周期n=1運(yùn)動(dòng)的退化點(diǎn)

5 結(jié) 論

本文針對(duì)一個(gè)具體的二自由度對(duì)稱約束的碰撞振動(dòng)系統(tǒng)，詳細(xì)討論了第二種余維二擦邊分岔，即，在同一組參數(shù)下光滑分岔和非光滑分岔同時(shí)發(fā)生的存在條件。經(jīng)過(guò)詳細(xì)推導(dǎo)得到了該類余維二擦邊分岔存在條件的解析表達(dá)式。余維二擦邊分岔被分為三類，但是，在每一類中發(fā)生余維二分岔的情況繁多，將進(jìn)一步對(duì)更多的分岔情況進(jìn)行分析和總結(jié)。