基于區(qū)間數(shù)的Spearman秩相關(guān)系數(shù)的多屬性決策方法

蘇麗敏，何慧爽

（華北水利水電大學(xué) 管理與經(jīng)濟(jì)學(xué)院，鄭州 450046）

0 引言

屬性值權(quán)重未知的區(qū)間型多屬性決策問題是目前研究的一個熱點，一方面在多屬性決策問題中，屬性權(quán)重的確定直接影響著決策效果的好壞;另一方面在實際應(yīng)用中，客觀事物的復(fù)雜性、不確定性以及人類思維的模糊性，使得決策者無法給出具體數(shù)值形式的決策信息，而區(qū)間數(shù)描述的信息可以更細(xì)致的刻畫復(fù)雜決策問題的不確定性、模糊性等。關(guān)于權(quán)重和區(qū)間數(shù)的處理方法的研究有很多[1-8]，但總有或多或少的計算復(fù)雜或主觀賦值等不足。

針對這兩個方面存在的問題，本文借鑒了已有的研究成果中將統(tǒng)計學(xué)中的相關(guān)系數(shù)和Spearman秩相關(guān)系數(shù)[9]等理論用于區(qū)間型決策問題中的想法[10-14]，給出了區(qū)間數(shù)的Spearman秩相關(guān)系數(shù)的表示形式及相應(yīng)的性質(zhì)。本文的思路是：首先給出區(qū)間數(shù)和Spearman秩相關(guān)系數(shù)的概念，在此基礎(chǔ)上給出區(qū)間數(shù)的Spearman秩相關(guān)系數(shù)的表示形式及其性質(zhì)，然后根據(jù)區(qū)間型決策問題的方案集和屬性集，計算各方案與理想方案的Spearman秩相關(guān)系數(shù)，最后根據(jù)Spearman秩相關(guān)系數(shù)的大小得到方案的優(yōu)序排列。

1 區(qū)間數(shù)的Spearman相關(guān)系數(shù)

定義 1[15]：設(shè) (x1，…，xn)是來自總體X的樣本，將xi按從小到大排序為。如果，則稱為xi的秩。

定義 2[15]：設(shè)是一來自變量X和Y的隨機(jī)樣本，將x1，…，xn和y1，…，yn按從小到大排序，則Spearman秩相關(guān)系數(shù)為：

式（1）中要求變量X和變量Y中的任意兩個值的秩都不相同，當(dāng)然即使真的有某兩個值的秩相同，只要小于觀測值的個數(shù)n也是可以的，參看文獻(xiàn)[9] 。

顯然，Spearman秩相關(guān)系數(shù)具有下面的性質(zhì)：

（2）如果A=B，則

顯然，S-相關(guān)系數(shù)具有下面的性質(zhì)：

（2）如果A=B，則

特別地，當(dāng)rs-ce=1時，表示變量A和B正相關(guān)，也就是當(dāng)變量B增加時，變量A也增加;當(dāng)rs-ce=-1時，表示變量A和B負(fù)相關(guān)，也就是當(dāng)變量B增加時，變量A減少。

表1 變量A和B中各分量左區(qū)間的Spearman秩相關(guān)系數(shù)

表2 變量A和B中各分量右區(qū)間的Spearman秩相關(guān)系數(shù)

2 基于Spearman秩相關(guān)系數(shù)的決策方法

2.1 算法原理

設(shè)多屬性決策問題的方案集為A={A1，A2，…，An},屬性集為I={I1，I2，…，Im}.為了方便，這里屬性假設(shè)僅有成本型和效益型兩種。決策者給出方案Ai∈A在屬性Ij∈I下的屬性值為非負(fù)區(qū)間數(shù)。多屬性決策就是要在方案集中，選擇出一個最佳方案。

在單個屬性意義下,屬性的相關(guān)測度的度量值為兩個方案在某一屬性下的接近程度。顯然,屬性的度量值越大且相應(yīng)的屬性數(shù)量越多,則說明兩個方案在相應(yīng)屬性下越接近。因此，可選擇一個理想方案來衡量各個方案與理想方案的接近程度，以此判定各方案的優(yōu)劣。一般來說，單個屬性相對分散，僅以單個屬性的相關(guān)測度的度量值難以全面權(quán)衡方案的優(yōu)劣，故本文引入了Spearman秩相關(guān)系數(shù)的概念，其源于統(tǒng)計學(xué)，需要屬性的個數(shù)≥4[10]，這意味著至少綜合了4個屬性的信息，故若某一方案與理想方案的Spearman秩相關(guān)系數(shù)越大,則說明該方案的綜合評價效果最優(yōu)。

2.2 屬性值規(guī)范化處理

對效益型屬性值：

對成本型屬性值：

2.3 Spearman秩相關(guān)系數(shù)的計算

記：

根據(jù)式（5）確定理想方案，然后利用式（2）計算各方案與理想方案的Spearman秩相關(guān)系數(shù)，如表3所示。

表3 各方案與理想方案的Spearman秩相關(guān)系數(shù)

方案Ai的屬性值關(guān)于理想方案屬性值的Spearman秩相關(guān)系數(shù)rsi-ce的大小綜合反應(yīng)了方案的優(yōu)劣。

2.4 決策算法

步驟1：利用式（3）和式（4），將用非負(fù)區(qū)間數(shù)表示的方案效果評價向量進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理,得到規(guī)范化后各方案的評價效果向量

步驟2：由式（5）確定理想方案的效果評價向量。

步驟3：利用式（2）將規(guī)范化后的各方案評價效果向量與理想方案效果評價值之間的Spearman秩相關(guān)系數(shù)。

步驟4：根據(jù)Spearman秩相關(guān)系數(shù)的大小對方案進(jìn)行排序，Spearman秩相關(guān)系數(shù)越大，則對應(yīng)的方案越優(yōu)。

2.5 實例應(yīng)用

例1：某決策問題需考慮4個備選方案：x1，x2，x3，x4;5項指標(biāo)（屬性）：u1，u2，u3，u4，u5，其中除了u5是成本型外，其余都是效益型指標(biāo),各指標(biāo)的原始數(shù)據(jù)如表4所示。下面利用本文提出的方案進(jìn)行決策，確定最優(yōu)方案。屬性決策問題的處理作了一定的補(bǔ)充和完善。本文提出的決策方法在問題的處理上既直觀又簡單,最后舉例說明該方法客觀合理,有效可行。

表4 決策矩陣

步驟1：由式（3）和式（4）將表4中的屬性評價值標(biāo)準(zhǔn)化處理,得到規(guī)范化決策矩陣,見表5所示。

表5 規(guī)范化決策矩陣

步驟2：由式（5）確定理想方案效果評價向量為：

步驟3：計算Spearman秩相關(guān)系數(shù)，得到：

步驟4：根據(jù)步驟3中得到的Spearman秩相關(guān)系數(shù)的大小，得到方案排序

3 結(jié)論

目前,對于屬性值為區(qū)間數(shù),且權(quán)重完全未知的多屬性決策問題的研究是一個熱點,其主要的討論點在于區(qū)間數(shù)的處理，以及屬性權(quán)重的計算。本文引入了統(tǒng)計學(xué)中的Spearman秩相關(guān)系數(shù)，給出了區(qū)間數(shù)的Spearman秩相關(guān)系數(shù)的表示形式以及相關(guān)性質(zhì)，一方面，將以區(qū)間數(shù)形式進(jìn)行求解的問題簡化,避免了區(qū)間數(shù)在計算和應(yīng)用時的復(fù)雜性,使得問題在技術(shù)解決上容易了很多;另一方面，將統(tǒng)計學(xué)的思想融入到?jīng)Q策問題中，根據(jù)Spearman秩相關(guān)系數(shù)的大小，得到方案的優(yōu)序排列，避免了屬性權(quán)重的計算,簡化了決策問題的求解過程，在某種意義上,可以說為多