價格隨機變化的面向訂單企業(yè)原材料庫存優(yōu)化模型

陳光會，趙 議，蘇 兵

（西安工業(yè)大學(xué) 經(jīng)濟管理學(xué)院，西安 710021）

0 引言

原材料庫存優(yōu)化主要包括原材料購買價格變化一次和變化多次的庫存優(yōu)化問題。其中，原材料購買價格變化一次的庫存優(yōu)化又分為購買價格上漲的庫存優(yōu)化模型[1]和購買價格下降的庫存優(yōu)化模型[2]。原材料購買價格變化多次的庫存優(yōu)化包括購買價格連續(xù)變化的庫存優(yōu)化[3-5]和購買價格隨機變化的庫存優(yōu)化。對于原材料購買價格隨機變化的庫存優(yōu)化研究中，Wang Y（2001）[6]以最小化期望庫存成本為目標建立原材料庫存優(yōu)化模型，Berling P（2008）[7]令單一產(chǎn)品的購買價格隨機變化符合OU過程，以總庫存費用最小為目標建立庫存優(yōu)化模型；胡雄鷹等（2008）[8]討論了價格季節(jié)性隨機波動環(huán)境下的產(chǎn)品采購；陳素芬等（2012）[9]令原材料購買價格的隨機變化服從布朗運動，以有限期內(nèi)企業(yè)利潤最大為目標建立庫存優(yōu)化模型。還有一些文獻研究了面向訂單[10（]make to order）企業(yè)庫存優(yōu)化問題。Lu Y,Song J S（2005）[11]針對MTO企業(yè)原材料庫存成本最小為目標建立原材料優(yōu)化模型；武育楠（2011）[12]在需求為正態(tài)分布的情形下，建立了以期望利潤最大為目標的MTO企業(yè)原材料庫存優(yōu)化模型。

對國內(nèi)外相關(guān)研究進行總結(jié)，發(fā)現(xiàn)現(xiàn)有的面向訂單企業(yè)原材料庫存優(yōu)化要么以總成本最小，要么以期望利潤最大為目標建立模型并求解，但都假設(shè)客戶訂單能被完全滿足，這一點與企業(yè)的實際情況不符。針對以上研究的不足，本文在考慮原材料購買價格波動的基礎(chǔ)上，結(jié)合面向訂單企業(yè)庫存管理的特性，考慮原材料的供應(yīng)因素以及客戶訂單滿足率，以克服以往面向訂單企業(yè)庫存優(yōu)化未考慮客戶訂單滿足率的不足，以庫存總成本即訂購成本、采購成本、缺貨懲罰成本之和最小和客戶訂單滿足率最大為雙目標，對基于客戶訂單滿足率最大且總成本最小的原材料庫存優(yōu)化問題建立模型并進行求解，給面向訂單企業(yè)庫存優(yōu)化提供依據(jù)。

1 問題描述與模型構(gòu)建

1.1 問題描述

面向訂單企業(yè)接到客戶對產(chǎn)品A的訂單，其需求量為D，生產(chǎn)一件A產(chǎn)品需要n種原材料，分別為xi(i=1,2,…,n)，原材料購買價格是連續(xù)隨機變化的，客戶訂單的到來也是連續(xù)隨機變化的，以面向訂單企業(yè)總成本最小且客戶訂單滿足率F最大化為目標，決策A產(chǎn)品訂單下的原材料采購量，其中所有原材料都依賴于采購且都配套采購，并使得客戶訂單滿足率F∈[a，b] 。

為更好地解決價格波動的面向訂單企業(yè)原材料庫存優(yōu)化問題，給出以下假設(shè)條件：

（1）生產(chǎn)中無殘次品，且都符合客戶要求；

（2）企業(yè)的生產(chǎn)成本和生產(chǎn)時間都可以忽略不計；

（3）客戶訂單不會被取消，且無緊急訂單；

（4）為滿足客戶訂單而采購的原材料不入庫直接生產(chǎn)。

令K表示固定訂購費用；Qi表示第i種原材料采購量的單位持有費用；Pi表示第i種原材料的單位購買價格；hi表示第i種原材料的單位持有費用；bi表示第i種原材料的單位缺貨成本；f表示客戶訂單滿足率；D表示客戶訂單量；ai表示第i種原材料的單位需求量。

1.2 模型構(gòu)建

綜合考慮問題目標和所有的限制條件，建立模型如下：

目標函數(shù)（1）：企業(yè)總成本最?。荒繕撕瘮?shù)（2）：以客戶訂單滿足率最大為目標，由第i種原材料最小的采購量決定產(chǎn)品的生產(chǎn)量（即實際供應(yīng)量）除以客戶訂單需求量。

約束（3）產(chǎn)品A客戶訂單滿足率F小于等于最小的原材料的滿足率；約束（4）面向訂單企業(yè)對產(chǎn)品A的供應(yīng)量的約束；約束（5）原材料采購價格服從布朗運動dPi=μidt+piσidω；約束（6）原材料的采購量的約束；約束（7）單位采購成本小于單位懲罰成本。

2 模型求解

2.1 設(shè)計近似算法CA對模型進行求解

對基于客戶訂單滿足率最大且總成本最小的原材料庫存優(yōu)化問題進行分析，在原材料價格隨機波動的情況下，使得客戶訂單滿足率盡可能大，在實際中可能發(fā)生兩種情形：

情形一：如果最小原材料的供應(yīng)滿足率大于1時，即minfi＞1，其中，fi為第i種原材料的滿足率，minfi為最小的原材料滿足率。此時，客戶滿足率與成本成反比。

情形二：如果最小原材料的供應(yīng)滿足率小于1時，即minfi＜1，其中，fi為第i種原材料的滿足率，minfi為最小的原材料滿足率。此時，客戶滿足率與成本成反比。

算法基本思想如下：

第一，面向訂單企業(yè)接到產(chǎn)成品訂單D，根據(jù)產(chǎn)品構(gòu)成計算出qi=ai·D,(i=1,2,…,n)，即求出構(gòu)成產(chǎn)品A的n種原材料的需求量。面向訂單企業(yè)針對訂單，采購原材料。原材料供應(yīng)商對原材料xi(i=1,2,…,n)，的供應(yīng)量為si(i=1,2,…,n)，計算第i種原材料的訂單滿足率排序，并進行比較，找出 minf。i

第二，分下述兩種情形

（1）當 minf＞1，計算

i

（2）當minfi＜1，計算

①若→0，則產(chǎn)品整體成本變化的趨勢基本不變，則盡可能大的滿足客戶訂貨；若＞0，則此時產(chǎn)品整體成本變化的趨勢是上漲的，由于未來價格上漲，企業(yè)必然會增加原材料的采購量，則令F=minfi。

②若＜0，表示產(chǎn)品整體成本變化的趨勢是下跌，未來價格下跌，則企業(yè)相應(yīng)減少對原材料的采購量，則計算，排序，并進行比較，找出 max，則

第三，按照f進行配套采購n種原材料。

第四，根據(jù)原材料采購數(shù)量等計算總成本TC，輸出對應(yīng)的Qi。

根據(jù)以上算法思想設(shè)計算法，首先求解最小原材料供應(yīng)率小于1的情形下的算法。

2.2 設(shè)計算法CA

（1）算法CA的步驟

第1步：計算qi=ai·D,(i=1,2,…n)；

第3步：排序用冒泡法找出minfi；

第4步：若minfi＞1；

第6步：若→0，或＞0，令F=1；

第11步：輸出。

（2）算法CA的時間復(fù)雜度分析

算法第1步需要計算n次；第2步需要計算n次；第3步需要比較n-1次；第5至7步需要進行n次循環(huán)；第8步需要計算n次；第9步需要比較n-1次；第10至11步需要進行次n次輸出；所以該算法的復(fù)雜性為ο(n7)。由此得到以下定理。

定理1：購買價格波動的面向訂單企業(yè)原材料庫存優(yōu)化問題算法CA的時間復(fù)雜度為ο(n7)，其中n為原材料種類數(shù)。

由于算法CA是一個近似算法，因此需要對算法的性能好壞進行分析，算法性能的好壞通常用算法的近似比來度量。

（3）算法CA的近似比分析

令OPT(I)表示實例I的最優(yōu)解，A(I)表示應(yīng)用算法CA對實例I的解。首先分析最優(yōu)解并給出引理。

引理1：對于任一實例I，該問題最優(yōu)解OPT(I)的下界為

即對于任一實例I，問題最優(yōu)解OPT(I)的下界為，證畢。

應(yīng)用算法CA對任一實例進行求解，算法得到的解：

根據(jù)以上分析，給出如下定理。

定理2：購買價格波動的面向訂單企業(yè)原材料庫存優(yōu)化問題算法CA的近似比為：

近似比α與pi，maxF成正比，與minF，Qi成反比,如圖1所示。

圖1 近似比α與 pi、maxF、minF、Qi的關(guān)系

結(jié)合定理2進一步討論近似比的變化范圍并給出幾個推論。

當K=0時，算法CA的近似比為：

當K=0時，即采購無固定訂貨成本時，則有：

因此算法CA的近似比為：

由此得到推論1如下。

推論1：基于客戶庫存成本最小的面向訂單企業(yè)原材料庫存優(yōu)化問題算法CA的近似比上界為：

由于K≤max{k}，算法CA的近似比為：

當K=max{k}時，即采購成本最大，固定訂貨成本取最大值時，有：

因此算法CA的近似比為：

由此得到推論2如下：

推論2：基于客戶庫存成本最小的面向訂單企業(yè)原材料庫存優(yōu)化問題算法CA的近似比下界為：

由于近似比α的取值取決于pi、maxF、minF、Qi，因此，若原材料滿足率最大值與最小值相差不大以及價格波動不大時，即當α趨近于1時，算法CA下的解接近于最優(yōu)解。

3 實例

本文以西安某公司為例，其產(chǎn)品液位測控儀表（按訂單生產(chǎn)裝配）生產(chǎn)物料清單如表1所示。其中：x1，x2，…，xn(i=1，2，…，n) 表 示 原 材 料 ；q1，q2，…，qn(i=1，2，…，n)表示原材料的需求量；a1，a2，…，an(i=1，2，…，n)表示單位產(chǎn)品原材料的需求量；s1，s2，…，sn(i=1，2，…，n)表示原材料的供應(yīng)量；f1，f2，…，fn(i=1，2，…，n)表示原材料的訂貨滿足率。公司接到客戶對液位測控儀表的訂單，其需求量為D=200，公司啟動對液位測控儀表訂單的原材料采購，且客戶訂單滿滿足率最大化，現(xiàn)需決策原材料的采購量Qi，使得企業(yè)庫存總成本（固定訂貨成本200元+采購成本+缺貨懲罰成本）最小。

已知客戶訂單的需求量為D=200件A產(chǎn)品，則種原材料的需求量qi，供應(yīng)量si，以及原材料客戶滿足率fi，結(jié)果如表1所示。

表1 液位測控儀表的物料清單

運用算法CA對實例求解如下：

第一步，首先根據(jù)產(chǎn)品的物料清單計算客戶訂單所需求的各種原材料的需求量qi，再根據(jù)原材料供應(yīng)量si以及計算各原材料的供應(yīng)率f，通過以上計算得出i各個原材料的供應(yīng)率然后按照大小排列記為f1,f2,f3,…fn，運用冒泡法求出minfi=0.8，如表2所示。

第二步，由于minfi=0.8＜0.1則計算，得到，此時令F=minfi=0.8。

第三步，以此類推，計算n種原材料各個原材料的需求量，根據(jù)客戶滿足率F=0.8進行配套采購。此時，按照客戶滿足率采購如下頁表2所示。

第四步，計算企業(yè)總庫存成本minTC=115228.8。

對該公司的原材料庫存進行分析得出，在進行面向訂單企業(yè)原材料庫存優(yōu)化決策過程中，如果原材料供應(yīng)率發(fā)生變化導(dǎo)致原材料價格發(fā)生變化，那么應(yīng)用基于客戶訂單滿足率最大且總成本最小的原材料庫存優(yōu)化模型進行庫存優(yōu)化更為合適。此時，客戶訂單滿足率較高，且企業(yè)庫存成本較低，因此面向訂單企業(yè)原材料庫存得到了優(yōu)化。

表2 客戶滿足率F=0.8時的采購數(shù)據(jù)

4 結(jié)束語

本文針對購買價格波動的面向訂單企業(yè)原材料庫存優(yōu)化問題，以總成本（固定采購成本+采購成本+缺貨懲罰成本）最小為及客戶訂單滿足率最大的雙目標，建立面向訂單企業(yè)原材料采購模型模型，并設(shè)計近似算法求解。經(jīng)過分析得出，在訂貨滿足率最大值與最小值相差不大以及價格波動不大時，算法得到的解接近于最優(yōu)解，最后結(jié)合實例驗證模型和算法的有效性。