“整體化問題牽引”教學(xué)模式在線性代數(shù)教學(xué)中的實(shí)踐與思考

馬朝忠 鄧西云

摘 要 論文從學(xué)生的認(rèn)知特征出發(fā)，結(jié)合線性代數(shù)課程自身固有的特點(diǎn)，對線性代數(shù)課程的教學(xué)模式、教學(xué)理念、教學(xué)方法等問題進(jìn)行了有益探索，提出了“整體化問題牽引”教學(xué)模式，既注重學(xué)生整體認(rèn)知能力、宏觀把握能力的提高，又以問題為牽引，引導(dǎo)學(xué)生充分掌握提出問題、分析問題、解決問題，以及進(jìn)行知識(shí)延拓的能力，并在教學(xué)過程中進(jìn)行了實(shí)踐和推廣。

關(guān)鍵詞 整體化問題牽引 教學(xué)模式 認(rèn)知特征 線性代數(shù)

中圖分類號(hào)：G424 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkx.2019.03.061

Abstract Starting from the students' cognitive characteristics and combining the inherent characteristics of the course of linear algebra， the paper makes a beneficial exploration on the teaching mode， teaching idea and teaching method of the course of linear algebra. This paper puts forward the teaching mode of "the holistic way of problem traction"， which not only pays attention to the improvement of students' overall cognitive ability and macroscopic grasp ability， but also takes the problem as the traction， leads the students to fully grasp and analyze the problems， and solve the problems， and the ability to extend knowledge， and in the teaching process of practice and promotion.

Keywords the holistic way of problem traction； teaching model； cognitive characteristics； linear algebra

線性代數(shù)是學(xué)生進(jìn)入大學(xué)后接觸到的第一門代數(shù)課程，它是研究矩陣?yán)碚?、代?shù)特征值等問題的基礎(chǔ)，也是計(jì)算機(jī)應(yīng)用、數(shù)字信號(hào)處理、網(wǎng)絡(luò)開發(fā)等等工程領(lǐng)域的研發(fā)工作中不可或缺的有力工具，更是學(xué)生學(xué)習(xí)專業(yè)課程如電路、理論力學(xué)、材料力學(xué)、計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、信號(hào)與系統(tǒng)、測量數(shù)據(jù)處理、誤差理論、系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)、自動(dòng)控制原理、機(jī)械振動(dòng)、仿真等的先導(dǎo)課程。線性代數(shù)學(xué)習(xí)的好壞對后續(xù)相關(guān)課程的學(xué)習(xí)起著至關(guān)重要的作用，但是如何在有限的教學(xué)時(shí)間內(nèi)，讓學(xué)生理解并掌握行列式、矩陣、向量（組）及其數(shù)值計(jì)算并對線性空間有基本的認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)他們的空間想象能力、邏輯推理能力、抽象思維能力以及數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)、建模能力和數(shù)值分析與計(jì)算能力并非易事。本文從教學(xué)實(shí)踐出發(fā)，對線性代數(shù)課程的教學(xué)模式、教學(xué)理念、教學(xué)方法等問題進(jìn)行了有益探索。根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知特征，提出“整體化問題牽引”教學(xué)模式，此教學(xué)模式既注重學(xué)生整體認(rèn)知能力、宏觀把握能力的提高，又以問題為牽引，引導(dǎo)學(xué)生充分掌握提出問題、分析問題、解決問題，以及進(jìn)行知識(shí)延拓的能力，并在教學(xué)過程中進(jìn)行了實(shí)踐和推廣。

1 學(xué)生的認(rèn)知特征

教育心理學(xué)指出，人的學(xué)習(xí)能力是具有年齡階段特征的。簡單來說，人從大約6、7歲到14歲是記憶的最佳時(shí)期，這時(shí)的記憶力常常表現(xiàn)為死記硬背，能夠說出學(xué)過的知識(shí)點(diǎn)在哪一本書某一頁的什么位置，這種死記硬背的能力在15歲以后逐漸衰退。15歲以后，人就會(huì)逐漸變得越來越依賴于理解性記憶，30歲左右進(jìn)入理解記憶的最佳時(shí)期。剛?cè)胄５膶W(xué)生正處在由死記硬背性記憶向理解性記憶的過渡期，有學(xué)習(xí)熱情但學(xué)得快忘得也快，而且大學(xué)的學(xué)習(xí)任務(wù)要明顯重于中學(xué)，再加上各種社團(tuán)活動(dòng)的吸引等等，僅靠在中學(xué)階段養(yǎng)成的題海戰(zhàn)術(shù)，很難高質(zhì)量的完成大學(xué)學(xué)業(yè)。

線性代數(shù)課程大都開設(shè)在大學(xué)一年級(jí)的第一或第二學(xué)期，此時(shí)，學(xué)生正在完成由中學(xué)生向大學(xué)生轉(zhuǎn)變，正在學(xué)習(xí)適應(yīng)大學(xué)生活，逐漸由一名不諳世事的青少年快速成長為一名能熟練應(yīng)對各種生活問題的成人的過程中。從中學(xué)時(shí)一心只為考大學(xué)的心無旁騖，到進(jìn)入大學(xué)后，要面對各種社會(huì)活動(dòng)，各類課外興趣活動(dòng)，不少學(xué)生心中什么都想?yún)⒓?，卻也有一種忙不過來的失落與迷茫，加之受年齡因素的影響，更加重了自己的心理負(fù)擔(dān)，他們的學(xué)習(xí)不可避免地會(huì)受影響。在這重重阻力之下，如何讓學(xué)生能不掉隊(duì)，甚至學(xué)得更好，對所有教師都是一個(gè)不小的挑戰(zhàn)。這也是我們一直在不斷探索并謀求解決的問題。

2 “整體化問題牽引”教學(xué)模式的應(yīng)用與實(shí)踐

2.1 “整體化問題牽引”教學(xué)模式的基本思想

線性代數(shù)課程歷來以概念多、定理難、符號(hào)繁、運(yùn)算規(guī)律交織、學(xué)習(xí)內(nèi)容相互縱橫交錯(cuò)，知識(shí)前后貫通性強(qiáng)，高度的抽象性與復(fù)雜的邏輯性，而顯得零、散、亂。這是以前很多學(xué)習(xí)過線性代數(shù)的人的共識(shí)，事實(shí)也是如此，為此，我們經(jīng)過不斷的實(shí)踐與總結(jié)，歸納出“整體化問題牽引”教學(xué)模式。把整個(gè)教學(xué)內(nèi)容融為一個(gè)整體，把每次課的內(nèi)容融為一個(gè)小整體，讓學(xué)生先學(xué)會(huì)整體把握知識(shí)脈絡(luò)，方便學(xué)生記憶，解決了學(xué)生容易遺忘的困難；把每個(gè)小整體又分成一個(gè)又一個(gè)環(huán)環(huán)相扣的問題，沿著這些問題，把整個(gè)內(nèi)容細(xì)節(jié)串起來，防止學(xué)生學(xué)習(xí)流于形式，而忽視對重點(diǎn)，難點(diǎn)的理解和掌握，有助于學(xué)生深入理解所學(xué)知識(shí)。

2.2 “整體化問題牽引”教學(xué)模式在教學(xué)中的應(yīng)用

2.2.1 突出一個(gè)整體

周恩來總理曾在一次青年工作會(huì)議上講到：“年青人的工作要反復(fù)做，做反復(fù)”，就是針對年青人記得快易遺忘的認(rèn)知特點(diǎn)而言的。在教學(xué)過程中我們注重突出知識(shí)結(jié)構(gòu)的整體性，強(qiáng)調(diào)這個(gè)“一”。對線性代數(shù)課程，我們反復(fù)提醒學(xué)生線性代數(shù)研究的一個(gè)主要問題是解線性方程組。并且通過不同的形式讓學(xué)生認(rèn)識(shí)這個(gè)問題，讓每名學(xué)生一看到線性代數(shù)這四個(gè)字馬上就會(huì)想到解線性方程組，讓這個(gè)意識(shí)在他們心里扎根。

根據(jù)學(xué)生特點(diǎn)結(jié)合教學(xué)要求，在課程的導(dǎo)入中做到三個(gè)貼近，即貼近軍事、貼近前沿、貼近生活。如對于為什么要開設(shè)線性代數(shù)，這一學(xué)生最愛問而部分老師避之不及的問題，在開課之初，我們就從保家衛(wèi)國的角度分析了我國目前建設(shè)“北斗”一、二、三代衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)的重大價(jià)值和作用，從距離公式到線性方程，從導(dǎo)航定位到線性方程組的求解，建立起緊密聯(lián)系，使學(xué)生充分認(rèn)識(shí)到衛(wèi)星導(dǎo)航定位原理并不神秘；日常生活中，私密的保護(hù)已經(jīng)成為了每個(gè)人都繞不開的問題，而與其相關(guān)密碼學(xué)中明文密文的轉(zhuǎn)換就用到了線性代數(shù)中的矩陣知識(shí)；現(xiàn)代人幾乎天天都要與網(wǎng)絡(luò)打交道，但搜索引擎幾乎人人在用，但又有誰關(guān)注它的開發(fā)其實(shí)依賴于許許多多的各類矩陣。以這些最能調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性，他們愿意關(guān)心，經(jīng)常關(guān)注、最感興趣的也比較前沿的有現(xiàn)實(shí)意義的問題，講解線性代數(shù)在這些實(shí)際問題的解決過程中所起到的不可忽視的作用，引起學(xué)生的探索興趣也讓線性代數(shù)深入學(xué)生心中。

2.2.2 注重問題牽引

“整體”能做到提綱挈領(lǐng)，便于記憶，而對知識(shí)的深入理解則是通過一個(gè)接一個(gè)問題的提出、分析、解決、延伸得到強(qiáng)化。比如，對于二元、三元線性方程（組），可以通手工計(jì)算得到結(jié)果，但是對于多個(gè)未知數(shù)的方程組，像1000個(gè)未知數(shù)，10000個(gè)未知數(shù)，甚至未知數(shù)更多的情況，手工計(jì)算顯然是不可行的，怎么辦？為此，由二元一次方程組的解引入行列式的概念，進(jìn)而討論cramer法則，解決了部分線性方程組的求解問題，繼續(xù)討論就會(huì)發(fā)現(xiàn)它存在著一個(gè)重大缺陷：它只能解決方程個(gè)數(shù)與未知數(shù)個(gè)數(shù)相等，且系數(shù)行列式不等于零的這一類方程組。在現(xiàn)實(shí)應(yīng)用中更多的是不滿足這些條件的方程組，該如何求解呢？于是，又引入矩陣，利用逆矩陣，可以求一些方程組的解，我們很快又會(huì)發(fā)現(xiàn)，這種方法必須在系數(shù)矩陣可逆時(shí)才能實(shí)施，從解線性方程組的角度來講，并沒有突破cramer法則，如何解一般的線性方程組呢？我們發(fā)現(xiàn)了增廣矩陣與線性方程組的一一對應(yīng)關(guān)系，并看到對線性方程組進(jìn)行同解變形就相當(dāng)于對它的增廣矩陣進(jìn)行初等行變換，由此，可以得到線性方程組的解。進(jìn)一步分析，就可得到線性方程組的解與系數(shù)矩陣、增廣矩陣的秩之間的關(guān)系，進(jìn)而清楚線性方程組解的結(jié)構(gòu)，以及將它應(yīng)用于化一般矩陣為對角陣等等。以這樣一系列問題為牽引就可將整個(gè)線性代數(shù)的教學(xué)內(nèi)容完全展開。同時(shí)，在這一過程中我們也注重向?qū)W生進(jìn)行人文精神的滲透：由消元法開始最后又回到消元法的整個(gè)研究過程并不是簡單的回歸原點(diǎn)，而是產(chǎn)生了質(zhì)的飛躍，這就是“一切事物的發(fā)展是螺旋式上升，波浪式前進(jìn)”的基本觀點(diǎn)。

對于每次課，也是從整體上設(shè)計(jì)一個(gè)問題，然后圍繞這個(gè)問題提出一系列小問題，通過對些問題的分析、解決，逐步完成對整個(gè)問題的解決。例如，矩陣的相似對角化，通過實(shí)際計(jì)算，我們發(fā)現(xiàn)對角矩陣的高次冪計(jì)算明顯比一般矩陣的高次冪計(jì)算容易實(shí)現(xiàn)，于是我們就可以啟發(fā)學(xué)生提出問題：能不能把一般矩陣化為對角陣呢？如果可以，該怎么化呢？有沒有什么要求和條件？是不是所有的矩陣都可以對角化呢？當(dāng)這些問題都解決了，又可進(jìn)一步提示學(xué)生，矩陣的對角化除了可用于高次冪計(jì)算，還有什么作用呢？為下一步化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的引入埋下伏筆。還有逆矩陣，線性相關(guān)性等等問題都是可以如此展開，它們相互聯(lián)系，既是每次課的整體，又是整個(gè)線性代數(shù)課程中研究解線性方程組的一個(gè)方面。

2.2.3 強(qiáng)化數(shù)學(xué)工具的使用

如果繼續(xù)以傳統(tǒng)的方法來進(jìn)行線性代數(shù)課程教學(xué)中，只會(huì)讓學(xué)生感覺到數(shù)學(xué)理論的抽象、計(jì)算的繁瑣，而與線性代數(shù)理論體系漸行漸遠(yuǎn)，讓學(xué)生失去斷續(xù)學(xué)習(xí)這門課程的興趣。從加強(qiáng)數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)科學(xué)滲透方面考慮，我們在現(xiàn)有教學(xué)模式將計(jì)算機(jī)作、多媒體作為教學(xué)輔助工具，不時(shí)使用 Matlab，mathmatic等數(shù)學(xué)軟件協(xié)助解決各種線性代數(shù)問題，將數(shù)學(xué)基礎(chǔ)學(xué)習(xí)和實(shí)際計(jì)算應(yīng)用共同融入計(jì)算實(shí)踐當(dāng)中，將數(shù)學(xué)思想方法的理論價(jià)值和數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用價(jià)值通過解決實(shí)際問題自然而然地融合在一起。線性代數(shù)的理論通過“整體化問題牽引”模式讓學(xué)生掌握，再通過計(jì)算機(jī)實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證，同時(shí)，我們自編的輔導(dǎo)用書《matlab在工程數(shù)學(xué)中應(yīng)用》匯集了大量的應(yīng)用問題，通過練習(xí)或大作業(yè)的完成，強(qiáng)化了學(xué)生對線性代數(shù)工程背景的深入理解?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)工具的使用既兼顧了線性代數(shù)的數(shù)學(xué)學(xué)科體系特征又滿足了學(xué)生希望近距離接觸實(shí)際應(yīng)用的需求，彰顯了 “學(xué)為用”的明確教學(xué)目標(biāo)，通過應(yīng)用調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，通過思考提升了課程內(nèi)涵。

3 分析與思考

“整體化問題牽引”教學(xué)模式是從線性代數(shù)課程教學(xué)的最終目標(biāo)出發(fā)，結(jié)合青年學(xué)生的認(rèn)知特征，心理特征，進(jìn)行地有益探索，希望能為學(xué)生學(xué)習(xí)注入新的活力。在這一過程中，通過靈活有效地創(chuàng)設(shè)教學(xué)問題情境，激發(fā)了學(xué)生積極參與教學(xué)活動(dòng)的熱情，無形之中縮短了課程內(nèi)容和學(xué)生實(shí)際經(jīng)驗(yàn)的差距。在教學(xué)實(shí)踐過程中，以核心問題為牽引，從整體上把握線性代數(shù)課程的基本內(nèi)容，以分析問題、解決問題為目標(biāo)，對線性代數(shù)課程進(jìn)行再構(gòu)建，將課程內(nèi)容圍繞“解線性方程組”這一主題展開，通過一個(gè)又一個(gè)引發(fā)學(xué)生思考的問題將 （下轉(zhuǎn)第139頁）（上接第135頁）主要內(nèi)容有機(jī)地聯(lián)系起來，形成具有層次性、網(wǎng)絡(luò)化的課程，加強(qiáng)了教學(xué)內(nèi)容的系統(tǒng)性；從最貼近生活，最貼近前沿，最貼近軍事的學(xué)生感興趣的問題出發(fā)，體現(xiàn)線性代數(shù)的應(yīng)用價(jià)值，引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，調(diào)動(dòng)學(xué)生的探索積極性，讓學(xué)生能輕松愉快的融入學(xué)習(xí)；通過對應(yīng)用問題的實(shí)驗(yàn)，把理論知識(shí)、基本計(jì)算和上機(jī)實(shí)驗(yàn)有機(jī)融合，以小研究、新發(fā)現(xiàn)帶動(dòng)教學(xué)實(shí)踐，彌補(bǔ)傳統(tǒng)教學(xué)存在的不足，強(qiáng)化學(xué)生對科研創(chuàng)新認(rèn)識(shí)，提升學(xué)生的綜合素質(zhì)。

當(dāng)然，在“整體化問題牽引”教學(xué)模式實(shí)施過程中，教師設(shè)計(jì)的每個(gè)小問題的質(zhì)量直接影響著教學(xué)效果。如何設(shè)計(jì)問題，把握問題的可接受性和針對性值得進(jìn)一步研究；如何在線性代數(shù)的教學(xué)中進(jìn)一步體現(xiàn)認(rèn)識(shí)論、科學(xué)自然辯證法等人文精神，也需要作深入研究。另外，從現(xiàn)實(shí)教學(xué)看，只有通過不斷地分析問題、解決問題并進(jìn)行深入反思，才能實(shí)現(xiàn)深刻、牢固掌握知識(shí)，但如何在認(rèn)知的基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生對知識(shí)進(jìn)行深層次思考，還需要教師歷練出足夠的教學(xué)智慧。

參考文獻(xiàn)

[1] 高隆昌.數(shù)學(xué)及其認(rèn)識(shí)（第1版）[M].北京：高等教育出版社，海德堡：普林格出版社，2001.

[2] 馬建榮，劉三陽，高淑萍等.用Matlab增強(qiáng)線性代數(shù)教學(xué)效果的實(shí)踐與探索.大學(xué)數(shù)學(xué)課程報(bào)告論壇文集，2008.

[3] 李國重，顧勇為，歸慶明，杜院錄. Matlab《工程數(shù)學(xué)》教學(xué)騰飛的翅膀[J].教學(xué)與研究，2016.4：76-79.

[4] 陳建華.基于問題解決的線性代數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)踐 ———從求斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式談起[J].山東師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2008（4）：62-64.