乘法半群為矩形群的nil擴(kuò)張的半環(huán)

蒲楠，李剛

(山東師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，山東 濟(jì)南 250014)

1 引言及預(yù)備知識

設(shè)(S,·)為半群，對于任意的a∈S, 若存在x∈S, 使得a=axa, 則稱a為S的正則元。 若半群S的每一個元素都是正則元，則稱S是正則半群[1]。若對于正則半群S及任意的a∈S，存在x∈S, 使得a=axa,x=xax且ax=xa，則稱S為完全正則半群。Petrichm等[2]深入地研究了完全正則半群，從冪等元的角度對完全正則半群進(jìn)行了分類。 例如設(shè)S為完全正則半群，E(S)表示S的冪等元集，若E(S)為矩形帶，即對于任意的e,f∈S,有e=efe，則稱S為矩形群。

半環(huán)(S,+,·)是一個帶有二元運(yùn)算“+”和“·”的代數(shù)，滿足以下條件：

(1)(S,+)是一個半群；

(2)(S,·)是一個半群；

(3)(a,b∈S)滿足分配律，a(b+c)=ab+ac,(a+b)c=ac+bc。

定義1[1]H*,L*,R*表示S上的Green*關(guān)系。 其中H*,L*,R*分別為:

H*=L*∨R*。

1 乘法半群為矩形群的nil擴(kuò)張的半環(huán)

考慮半環(huán)S的子集Q1={a|a∈S,a+a0=a0}，對于任意的a∈S,a0+a0=a0，所以Q1為S的非空集合。

a0b0=(a+a0)(b+b0)

=a(b+b0)+a0(b+b0)

=ab+ab0+a0b0

=ab+(a+a0)b0

=ab+a0b0，

即(ab)0=ab+(ab)0，從而ab∈Q1，則Q1為S的子半群。

類似的，考慮半環(huán)S的子集Q2={a|a∈S,a′∈Q1}，對于任意的a∈S,(a0)′=a0∈Q1，所以Q2為S的非空集合。

定義半環(huán)S上的關(guān)系：

定理1 設(shè)半環(huán)S滿足?

因此a≤.b，從而≤.?≤0。

同理可證≤0=≤.。

考慮半環(huán)S的子集Q3={a|a∈S,aa0=a0}，對于任意的a∈S,a0a0=a0，所以Q3為S的非空集合。

≤+,≤0,≤0定義如上。

(2)≤+=≤*；

(3)對于任意的a,b∈S，(a0+b0)0=(a+b)0。