-1)的最小值的五種解法.關(guān)鍵詞:最小值;解法;函數(shù)單調(diào)性1題目呈現(xiàn)題目已知a>0,b>0,c>0且a+b+c=1.(I)求證:va+b→+vc≤√3;(I)若c=ab,d=a+b,求d的最小值.2解法探究對(duì)第二個(gè)問(wèn)題,不考慮其他(可能更簡(jiǎn)單的)解法,只考慮把d=a+b"/>
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    ((a2+1)/(a+1))(a>-1)最小值的幾種求法

    2019-04-18 13:12:12鄧波
    理科考試研究·高中 2019年2期
    關(guān)鍵詞:解法

    鄧波

    摘要:本文給出了求代數(shù)式a2+1/a+1(a>-1)的最小值的五種解法.

    關(guān)鍵詞:最小值;解法;函數(shù)單調(diào)性

    1題目呈現(xiàn)

    題目已知a>0,b>0,c>0且a+b+c=1.(I)求證:va+b→+vc≤√3;

    (I)若c=ab,d=a+b,求d的最小值.

    2解法探究

    對(duì)第二個(gè)問(wèn)題,不考慮其他(可能更簡(jiǎn)單的)解法,只考慮把d=a+b化為一個(gè)變量(或者叫做單變量)a的函數(shù)(解析式).因?yàn)閍+b+ab=1,所以b(a+1)=1-a,即b=1-a/a+1所以d=a+b=a+1-aa+1這樣就需考慮求a2+1/a+1(a>0)的最小值.

    現(xiàn)在把a(bǔ)的范圍擴(kuò)大到a>-1,不影響結(jié)論及解法.

    解法1(算術(shù)平均+幾何平均不等式法)a2+1a+1a2-1+222a+1=a-1+a+1=-2+(a+1)+-a+1i≥,等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a+1=-2,即a=2-1時(shí)成立.注意,當(dāng)a>-1時(shí),a,+12a+1,a+l均為正數(shù).

    解法2(一元二次方程根的判別式法)令m=a2+1a+1,變形得a2-ma+(1-m)=0,

    因?yàn)殛P(guān)于a的-元次方程有實(shí)數(shù)解,所以△=(-m)2-4x1x(1-m)≥0,即m2+4m-4≥0,解之得m≥-2+212或m≤-2-22(舍去,因?yàn)閙>0).最小值m=-2+2、2當(dāng)且僅當(dāng)△=0時(shí)成立,這時(shí)a=一m))士O_m-2+22:-1+v2,注意這時(shí)a恰好在a>-1這個(gè)范圍.

    解法3(待定系數(shù)法)a+1+1_a2+k2+(1-7)a+12ak+(1-k)≥a,+1(這里k≥0為待定系數(shù)),等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a=k時(shí)成立.

    現(xiàn)在令2h=1-2,

    得h=一2+√/22-4x1x(-1)=-1土/2.2x1

    因?yàn)閗≥0,所以k=-1+√2.這時(shí)2k:=1-k:2=2(-1+√8)=-2+2、2.所以i2+1.2ka+2k=2k=a+1a+1-2+2√2,等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a=h=-1+√2時(shí)成立。

    解法4(利用函數(shù)的單調(diào)性+求導(dǎo)法)

    令f(a)==(a>-1).a+1

    f'(a)=2a(a+1)-(a2+1)_a2+2a-1(a+1)2(a+1)2

    令f'(a)=0,得a=-1-2或a=-1+v2.

    從函數(shù)的單調(diào)性,很容易看出極小值點(diǎn)a=-1+a+12,也是最小值點(diǎn),最小值為f(-1+v2)=“11=a+1(-1+<2)2-+1_4-22(4-2、2)2_4、2-4=-1+2+1222=2、2-2.

    其實(shí),還可以根據(jù)函數(shù)的單調(diào)增(減)的定義來(lái)解。

    解法5令a+1=x(>0),得‘a(chǎn)2+1a+1(x-1)2+1_x2-2x+2

    =x-2+-=x+一2.22xxx2

    令f(x)=x+二-2,x∈(0,+∞).22

    如果x>yf(x)-f(y)=x+一2-(y+一2)=(xxy-y)-22、2(x-y)=(x-y)(1-2二-二)=(x-y)-2xxyxy2.

    顯然,x+二在整個(gè)區(qū)間(0,+∞)不是單調(diào)的(即全是單調(diào)增或單調(diào)減),但可以把(0,+∞)分成幾個(gè)單調(diào)區(qū)間.

    在1-xy2中令y=x,得1一2x~

    令1一x-=0,得x=v2或x=-2(舍去).

    所以區(qū)間(0,+∞)被分成兩個(gè)區(qū)間(0,√2]和[v2,+∞)(為了討論方便,允許兩個(gè)區(qū)間有公共端點(diǎn)).

    當(dāng)v2≥x>y>0時(shí),f(x)-f(y)=(x-y)(1-2<0(因?yàn)閤y<2,-2>1,1-.2<0),f(x)單調(diào)減,xyxyxy所以x∈(0,V2]時(shí)f(x)≥f(2);

    當(dāng)x>y≥12時(shí),f(x)-f(y)=(x-y)(0(因?yàn)閤y>2,-<1,1)>xy2>0),f(x)單調(diào)增,所以x∈[2,+∞)時(shí),f(x)≥f(、2).

    最小值f(2)=v2+=-2=22-2.

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