2018年高考數(shù)學全國卷III第22題解法探析

王佩 趙思林 任禮

摘要：以2018年高考數(shù)學全國卷皿第22題為例，從試題呈現(xiàn)與簡評、解題思路的分析與探究、典型錯例分析等角度進行了研究。

關(guān)鍵詞：高考數(shù)學;思路分析;典型錯例分析

1試題呈現(xiàn)與簡評

題目（2018年高考數(shù)學全國卷亞第22題）在「x=cosθ平面直角坐標系xOy中，00的參數(shù)方程為ly=sin0（θ為參數(shù)），過點（0，-√2）且傾斜角為x的直線l與00交于A，B兩點.

（1）求a的取值范圍;

（2）求AB中點P的軌跡的參數(shù)方程.

簡評高中數(shù)學選修系列中的“坐標系與參數(shù)方程”，不僅給描述現(xiàn)實世界與數(shù)學對象提供了除直角坐標之外的手段，更重要的是，直角坐標描述幾何現(xiàn)象或其他數(shù)學對象并不總是簡單而有效的，在直角坐標、極坐標與參數(shù)方程之間，需要根據(jù)具體的數(shù)學問題做出適當?shù)倪x擇1.此題主要利用曲線和直線的不同形式方程，考查學生的邏輯推理能力、運算求解能力.涉及的知識點有圓的參數(shù)方程、韋達定理、點到直線的距離公式、中點坐標公式、勾股定理、兩點間的距離公式、垂徑定理、直徑所對的圓周角等于90°等

2解題思路的分析與探究

2.1第（1）問的思路分析與探究

分析與探究1欲求傾斜角a的取值范圍，則需結(jié)合題意考慮直線l的特點，即過點（0，-12）且與00交于A，B兩點.直線l與00交于兩點，等價于圓心0（0，0）到直線l的距離小于半徑

根據(jù)cos20+sin20=1，得?O的方程為x2+y2=1.

①當=/2時，直線x=0與?0有（0，1）與（0，-1）兩個交點，符合題意.

②當a≠-時，記tanc=k，則y=kx-2.由2<1，得k：2>1，則k>1或k<-1.√1+k2

由于傾斜角a∈[0，π），所以a∈（42）或a∈4，π2）.綜上a∈（平，3π）

分析與探究2聯(lián)立直線與圓的方程，欲使直線l與00交于A，B兩點，需要△>0.

聯(lián)立方程組[y=hx-2，lx2++y2=1，

得（1+k2）x2-2.2hxx+1=0.

欲使直線L與?0交于兩點，需要△=8h2-4（1+k2）>0，即需要k：2>1，則k>1或kh<-1.

所以c∈（4，2）或c∈（/2，3/4）.

當=/2時，直線x=0與?0有兩個交點，符合2題意綜上x∈（-π，3π/4）

分析與探究3將直線的參數(shù)方程與圓的方程聯(lián)立，可有效回避討論=/2的情況.

由題得，直線l的參數(shù)方程為{x=tCosaly=-√2+tsina

（t為參數(shù)，a∈（434））.與?0的方程x2+y2=1聯(lián)立，得t2-2√2sinct+1=0.欲使直線L與?0交于兩點，需要△=8sinc2-4>0，即需要sinc2>12一，則sina22或sinax<-√2（舍去）.所以x∈（434）

分析與探究4根據(jù)題意，構(gòu)造出與之相對應的幾何圖形，從而使問題變得直觀、簡捷思路易尋.

在平面直角坐標系中，作出?O的圖形，過點Q（0，-√2）作?O的切線，切點分別為M、N，如圖1.因|0Q|=√2，|OM|=1，所以直線loM的傾斜角為π/4.同理，直線IoN的傾斜角為3/4”.綜上∈（34，4）

2.2第（2）問的思路分析與探究

欲求點P的軌跡的參數(shù)方程，應先結(jié)合題意考慮點P的特點.由題知，點P是直線l與00交于A，B兩點的中點.因此點P具有兩個特點：一是A，B的中點;二是0P⊥AB.下文擬根據(jù)以上特點，從點P的軌跡的普通方程、點P的含參數(shù)的坐標兩個角度進行思路分析與探究

分析與探究1由P是A、B的中點，聯(lián)想中點坐標公式，并結(jié)合第（1）問的分析與探究2，即可求解.

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y）.聯(lián)立方程組[y=hx-v2，lx2+y2=1，整理得（1+h2）x2-2√2hx+1=0.由韋22h-2x=達定理得x+x2=2，Y1+y2=2，則1+k1+k√2h，y=-2，所以點P的軌跡的參數(shù)方程為1+k2"～1+h2'2hx=1+kh？2y=1+k2，（h為參數(shù)，k>1或h<-1）.

分析與探究2因為點P是直線lop與IAB的交點，故聯(lián)立直線lop與lB，求出點P的含參數(shù)的坐標，

當=/2;時，P（0，0）.當=/2時，設(shè)點A（x（，y1），B（x2，Y2），P（x，y）.由垂徑定理推論知，0P⊥AB，所以hiop·kAg=-1，所以kop=-hh：^AB=-tanc

因此直線lop：y=一tana-x.

聯(lián)立直線lAB，得{[y=tanax-/2，tanc-x.

整理得tanoxx-/2=一x（tanx≠0）.tanc

據(jù)此可得點P的坐標x=NEG21/2tanc-1221+tana1+tan'a

所以點P的軌跡的參數(shù)方程為{-2y=21+tanax=2，1+tan'aT3π1（a為參數(shù)，c∈（4，4））.

分析與探究3聯(lián)立直線l的參數(shù)方程與00的普通方程，并結(jié)合參數(shù)t，tn，tp之間的關(guān)系求解.

設(shè)點A，B，P對應的參數(shù)分別為ts，tp，tp，將直線l的參數(shù)方程「x=tCOSa.ly=-/2+tsincπ（t為參數(shù)，a∈3T）），與00的方程x2+y2=1聯(lián)立，整理得t-42√2sinct+1=0，.

則t，tg滿足方程t2-22sinat+1=0.

所以lp=ty+tg=√2sinca.[x=tpCoSA，

又因為點P的坐標（x，y）滿足ly=-/2+tpsina，

所以點P的軌跡的參數(shù)方程為{「x=2sinacosa，[y=-22coss2a

化簡為ly=-2+v√2sin^x，[x=12.-sin2a，2（a為參數(shù)，a∈（-π3π））.

分析與探究4根據(jù)直徑所對的圓周角等于90°求解.

設(shè)Q（0，-2），如圖2，由0P⊥AB，知∠OPQ=90°，聯(lián)想直徑所對的圓周角等于90°，得點P的軌跡是以0Q為直徑的圓0內(nèi)的部分.

其圓心為0Q的中點（0，-2），半徑為系所以

點P的軌跡方程為x2+（y+號）2=-（-_2

分析與探究5根據(jù)勾股定理，以及兩點間的距離公式求解。

設(shè)Q（0，-<2），P（x，y），如圖2，在RtQOPQ中，|OP|2+|PQ|2=|0Q|2.根據(jù)兩點間的距離公式，得x2+y2+v2y=0.

所以點P的軌跡方程為x2+（y+22）2：

故點P的軌跡參數(shù)方程為[y=-2+22-cosB-sinβ，（β為參數(shù)，β∈（0，π））.

分析與探究6根據(jù)0P⊥QP←OP.QP=0求解，因為OP⊥QP，所以PQP=0.設(shè)Q（0，-12），P（x，y），則0P=（x，y），QP=（x，y+<2）.

從而得x+y2+v2y=0.

分析與探究7根據(jù)OP⊥QP≈kop.h：qp=-1求解.

設(shè)Q（0，-2），P（x，y）.因為hop=蘭，hop=y+v2，所以-.Y+V2=-1.

從而得x2+y2+√2y=0.

分析與探究8根據(jù)點差法求出斜率kt與中點坐標（xo，yo）之間的關(guān)系求解.

設(shè)點A，B的坐標為A（x，y1），B（x2，y2），P（xo，Y）.因為點A，B在00上，所以出+y=1①，i+y名=1②，由①-②得x-x+yi-y=0.

則（x+x2）（x1-x2）=-（y+y2）（yu-y2）.

所以一x+2：YxyY2Y1+Y2x1-x2

由于k=2，而點P（xo，yo）在直線I上，故由Yo+v2直線l的方程yo=hkxp-v2可得k=20

又由于點P為AB的中點，因此_1+2n+y2=-2y

綜上可得-x_Yo+2，從而得+35+v2yo=0.Yox

所以點P的軌跡方程為x+（y+-）'=一_12

所以點P的軌跡參數(shù)方程為{y=-2+2x=2Cosβ（β為參數(shù)，β∈（0，π））.

3典型錯例分析

第（1）問典型錯例：①不討論傾斜角=/2的特殊情況;

②由k2>1，得-1

以上錯誤均反映出學生對“不等式求解”“傾斜角范圍”“正切函數(shù)的周期”等基礎(chǔ)知識掌握不牢固.未能融匯貫通地理解并應用分類討論思想中的不重不漏原則.

第（2）問典型錯例：①由tA，tp滿足方程t2-2v2sinct+1=0，得ts+tg=2√2.該錯誤說明當學生涉及不常用的變量時，主元意識薄弱、混亂;

②由tn+tp=22，t，·tp=1，得|AB|=|t-t2|=√（t+t2）2-4t，·t2=√8sin^a-4.

所以中點P=√2sin2x-1.

參考文獻：

[1]教育部考試中心.高考理科試題分析（2017版）[M].北京：高等教育出版社，2016.