多面函數(shù)在GPS高程擬合中的應(yīng)用

韓子清，郭楊亮，馬瑞娟，張順幸

（1.西安科技大學(xué)測繪科技與技術(shù)學(xué)院， 陜西西安 710054； 2.河南省煤田地質(zhì)局物探測量隊，河南鄭州 450009； 3.河南省地質(zhì)礦產(chǎn)勘查開發(fā)局第五地質(zhì)勘查院， 河南鄭州 450001）

1 國內(nèi)外研究現(xiàn)狀

GPS技術(shù)可快速獲取地面點三維坐標(biāo)，在實際工作中應(yīng)用廣泛。GPS可獲取一點處大地高，而我國采用的是正常高，二者的起算面不同。因此，將GPS獲取的大地高轉(zhuǎn)換為正常高是GPS高程應(yīng)用的關(guān)鍵。正常高與大地高的轉(zhuǎn)換如公式（1）所示。

式中：H正－該點處的正常高；

H大－該點處的大地高；

ζ－該點處的高程異常；

由公式（1）可知，一點處所測得的大地高減去該點處的高程異常，便可求得該點處的正常高。因此，GPS高程異常的確定是實現(xiàn)GPS大地高與正常高轉(zhuǎn)換的核心。確定GPS高程異常主要有以下幾種方法：聯(lián)合平差法、數(shù)值逼近法、等值線圖法、重力法等。出于對擬合精度與擬合方法的實用性、易操作性考慮，數(shù)值逼近法在實際工程中應(yīng)用廣泛。

數(shù)值逼近法通過數(shù)學(xué)表達(dá)式擬合出一個曲面，該方法在測區(qū)規(guī)律性變化明顯的地區(qū)可獲得較好擬合結(jié)果。主要方法有：多面函數(shù)擬合、多項式曲面擬合、克里格法、加權(quán)平均法、最小二乘配置、濾波與推估等。本文采用多面函數(shù)法進行擬合分析，采用實例進行求解高程異常。

2 高程擬合模型

2.1 多面函數(shù)擬合模型

多面函數(shù)擬合原理：根據(jù)測區(qū)內(nèi)已有的重合點（同時具有GPS的大地高與正常高）進行高程擬合。函數(shù)逼近法，選用的擬合函數(shù)通常情況為多項式，而多面函數(shù)法，采用多元二次函數(shù)作為基底函數(shù)進行擬合。多面函數(shù)模型是Hardy教授提出，這種方法的基本思想是，任何不規(guī)則的連續(xù)曲面總可以用n個規(guī)則曲面的疊加來逼近［1］。

采用多面函數(shù)法進行高程擬合時，高程異常通過核函數(shù)的疊加來確定，如公式（2）所示。

式中：Q（x,y,xi,yj）為核函數(shù)

設(shè)有m個重合點，選取n≤m個點作為節(jié)點（xi,yj）（j=1,2…n），Q（x,y,xi,yj）表達(dá)式如公式（3）所示。

由公式（2）列立誤差方程，如公式（4）所示。

由公式（5）求解出未知系數(shù)，便可由公式（2）計算任意一點P（xk,yk）高程異常值，如公式（6）所示。

由多面函數(shù)的計算過程可知，首先要確定核函數(shù)。常用的核函數(shù)表達(dá)式有正、倒雙曲面函數(shù)，錐面函數(shù)，三次曲面函數(shù)四種。

（1）正雙曲面函數(shù)：

q為平滑因子，對核函數(shù)進行調(diào)節(jié)。

（2）倒雙曲面函數(shù)：

q為平滑因子，對核函數(shù)進行調(diào)節(jié)。

（3）錐面函數(shù)：

c為待定參數(shù)。

（4）三次曲面函數(shù)：

C為待定參數(shù)。

多面函數(shù)進行高程擬合需要考慮以下三個方面的因素。

（1）核函數(shù)的選取。核函數(shù)應(yīng)選取適合測區(qū)高程異常擬合的函數(shù)表達(dá)式。一般情況下從常用的函數(shù)表達(dá)式中選取，用不同的核函數(shù)表達(dá)式進行計算，選取擬合精度高的。

（2）平滑因子的確定。為讓疊加得到曲面更符合測區(qū)的實際情況，需調(diào)節(jié)平滑因子的數(shù)值大小。平滑因子是通過多次試算來確定的，平滑因子在一定范圍內(nèi)計算結(jié)果穩(wěn)定，其值過大或過小均會使精度降低。目前，對于平滑因子的確定尚無有效方法，需多次嘗試［2-3］。

（3）核函數(shù)節(jié)點的選擇。在測區(qū)重合點中選取若干個特征點（如測區(qū)的最高點、最低點和坡度變化較大的點）作為核函數(shù)節(jié)點，且節(jié)點要分布均勻，這樣才能由規(guī)則曲面通過疊加所得的曲面更加符合測區(qū)的實際情況。

2.2 二次曲面模型

根據(jù)測區(qū)已有的已知點，采用一確定函數(shù)模型對測區(qū)的高程異常進行擬合。原理：根據(jù)已知點信息來構(gòu)造一個數(shù)學(xué)曲面對該區(qū)域的高程異常進行擬合，利用擬合出的曲面信息來確定該區(qū)域內(nèi)待定點的高程異常［4］。函數(shù)模型的表達(dá)式如公式（7）所示。

列立誤差方程：V=Αβ-ξ，若已知數(shù)據(jù)的個數(shù)大于未知參數(shù)的個數(shù)，則可根據(jù)最小二乘原理［5］，解得出未知參數(shù)在

3 精度評定

（1）內(nèi)符合精度

內(nèi)符合精度σ內(nèi)的計算如公式（8）所示。

vi-擬合的已知點的高程異常與計算后得到的高程異常的較差

n-為參與擬合計算的已知點個數(shù)

（2）外符合精度

外符合精度σ外的計算如公式（9）所示。

vi-檢核點的已知高程異常與計算后得到的高程異常的較差

m-為檢核點個數(shù)

4 算例分析

某地區(qū)布設(shè)E級GPS控制網(wǎng)，對其中23個GPS制點聯(lián)測四等水準(zhǔn)測，最低點高程138.66m（12號點），最高點高程307.97m（25號點）。重合點點位分布如圖1所示。

計算中選取4，9，10，16，18，21，28，33，37共9個點作為檢核點，其余14個點為參與擬合計算的點，擬合點均勻分布在測區(qū)內(nèi)且包含測區(qū)內(nèi)最高點與最低點。

本文在計算過程中分別選用錐面函數(shù)、三次曲面函數(shù)、正雙曲面函數(shù)三種核函數(shù)進行計算，平滑因子反復(fù)試算，分別選用八個節(jié)點，十一個節(jié)點進行計算。計算結(jié)果如表1所示。

圖1 計算區(qū)域GPS/水準(zhǔn)重合點分布圖

表1 多面函數(shù)擬合精度 /cm

繪制核函數(shù)節(jié)點為十一個點時的擬合殘差如圖2所示。

圖2 十一節(jié)點多面函數(shù)擬合各點殘差

采用二次曲面擬合時，內(nèi)符合精度為6.72cm，外符合精度10.27cm。誤差分布曲線如圖3所示。

圖3 二次曲面函數(shù)擬合各點殘差

5 結(jié)論

通過對多面函數(shù)的分析可知：

（1）在擬合點相同的情況下，核函數(shù)的選取對擬合精度的影響較大，采用適合的核函數(shù)可明顯提高擬合的精度。在本測區(qū)范圍內(nèi)選正雙曲面函數(shù)為函數(shù)為核函數(shù)時，內(nèi)外符合精度均高于錐面函數(shù)和三次曲面函數(shù)。

（2）不同核函數(shù)平滑因子值不同。當(dāng)核函數(shù)選取錐面函數(shù)和三次曲面函數(shù)時，平滑因子的值對擬合精度影響很小，當(dāng)選取正雙曲面函數(shù)時，平滑因子對擬合精度影響較大，平滑因子通過反復(fù)試算來確定。

（3）采用十一個點為核函數(shù)節(jié)點時，擬合精度高于采用八個點時。說明核函數(shù)節(jié)點的選擇要有代表性，適當(dāng)增加節(jié)點數(shù)可更好進行曲面疊加提高擬合精度。

（4）由兩種擬合方法比對結(jié)果可知，多面函數(shù)的內(nèi)、外符合精度均要高于二次曲面的擬合精度。說明在該測區(qū)范圍內(nèi)，采用多面函數(shù)模型，選取合適的合函數(shù)與節(jié)點位置可取得好的擬合結(jié)果。