以《計算方法》為例的經(jīng)典課程課堂教學改革探索與實踐

黃曉林 陳嘉艷 徐駿

摘要：我國高等教育正經(jīng)歷從傳播知識到培養(yǎng)創(chuàng)新的轉(zhuǎn)變。如何在大學經(jīng)典課程的課堂教學中激發(fā)學生興趣，培養(yǎng)學生主動學習和創(chuàng)新性探索的能力亟待摸索。現(xiàn)有的眾多經(jīng)典課程教學中，教學內(nèi)容主要基于知識體系，即從分門別類的知識點出發(fā)，按照“本質(zhì)原理—實現(xiàn)方法—應用舉例”的順序依次介紹。本研究中，我們遵循人的認知規(guī)律，從現(xiàn)實問題出發(fā)，按照“問題提出—尋求解決—歸納總結(jié)”的順序，引導學生自主探索，掌握開放性探索的基本流程，同時構(gòu)建相應的學科知識體系。在經(jīng)典課程《計算方法》的教學中，我們嘗試了上述改革，經(jīng)過兩年實踐，取得了滿意的效果。

關鍵詞：教學改革與實踐；開放性探索；人才培養(yǎng)

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2019）16-0136-03

一、引言

近半個世紀以來，科技的飛速發(fā)展帶來了知識的爆炸性增長，也給傳統(tǒng)教育教學帶來巨大挑戰(zhàn)。教育部2016年7月發(fā)布了《教育部關于中央部門所屬高校深化教育教學改革的指導意見》，決定在“十三五”期間實施中央高校教育教學改革專項，強調(diào)以支撐創(chuàng)新驅(qū)動發(fā)展戰(zhàn)略、服務經(jīng)濟社會發(fā)展為導向，切實增強學生的社會責任感、創(chuàng)新精神和實踐能力[1]。這說明，我國高等教育正經(jīng)歷從傳播知識到培養(yǎng)創(chuàng)新的轉(zhuǎn)變。

傳統(tǒng)教育以傳授知識為主要目的[2]，即以介紹已有知識庫為主旨。在此背景下，傳統(tǒng)教育中的教學內(nèi)容通常以知識庫的分門別類為依據(jù)。以經(jīng)典的《計算方法》（又名《數(shù)值分析》）課程為例，傳統(tǒng)教材基于對數(shù)值方法中潛在數(shù)學本質(zhì)的歸類，將內(nèi)容平行劃分為插值、函數(shù)逼近、數(shù)值積分與微分、解線性/非線性方程組、解矩陣特征值以及解常微分方程等模塊，模塊間相對獨立。每個模塊又從基本數(shù)學原理出發(fā)，按“本質(zhì)原理—實現(xiàn)方法—應用舉例”的順序依次介紹?；跐撛谏顚永碚摰钠叫心K劃分方式，有利于知識的存儲與檢索，在經(jīng)典課程教學中較為常見。然而，這種組織形式一方面對應用場景的還原性差，學生即便了解了理論知識，可能依然不會應用，導致學習興趣降低；另一方面，當前科技的快速發(fā)展使多領域交叉、融合成為必然，將知識庫進行相對獨立、封閉的平行劃分，不能充分適應現(xiàn)代科技領域的開放性探索現(xiàn)狀[3]。因此，在經(jīng)典課程教學中，如何主動改變以適應現(xiàn)階段科技發(fā)展背景和人才培養(yǎng)需求亟待探索[4、5]。

本研究中，教師以《計算方法》課程的課堂教學為試點，嘗試對經(jīng)典課程進行教學改革，希望重新激發(fā)學生對經(jīng)典課程的學習興趣，在了解經(jīng)典學科知識的同時，培養(yǎng)科學性思維方式，掌握開放性探索流程。

二、方法

認知科學的研究表明，構(gòu)造邏輯聯(lián)系有助于學習與記憶[6]。事實上，人類以往的知識積累或知識體系構(gòu)建遵循明確的邏輯主線：

1.首先，對遇到的現(xiàn)實問題進行定義，為抓住問題本質(zhì)，常常需要抽象化。

2.然后，根據(jù)以往的知識、經(jīng)驗，尋求問題的解決。

3.接著，對問題解決的結(jié)果（無論成功或失?。┻M行總結(jié)歸納，形成經(jīng)驗。

4.最后，對經(jīng)驗進行分門別類，構(gòu)成知識庫。該知識庫為之后的問題定義與解決提供參考依據(jù)。

該邏輯流程可以用圖1（見下頁）來簡單表示。

基于以上認識，教師擬順應認知規(guī)律，從現(xiàn)實問題出發(fā)，通過在教學中還原圖1始于現(xiàn)實問題的完整流程，讓學生了解、掌握科學探索或解決工程問題的全過程，培養(yǎng)開放性探索和自主構(gòu)建知識體系的能力。

具體實施方式為：對部分教學內(nèi)容改變傳統(tǒng)的以介紹知識為出發(fā)點的講授方式，轉(zhuǎn)而從現(xiàn)實應用問題出發(fā)，還原真實應用場景，提出任務，啟發(fā)學生按照如圖2的規(guī)定流程，即需求分析—問題定義—背景調(diào)查與方案設計—方案實施—結(jié)果分析—總結(jié)規(guī)律的流程，借助同學間討論、網(wǎng)絡查找資料及教師適當引導等完成任務。其間，方案設計和方案實施環(huán)節(jié)允許學生做多次調(diào)整嘗試。

由于當前網(wǎng)絡信息技術的飛速發(fā)展，借助互聯(lián)網(wǎng)的強大檢索能力，學生能夠也必須有利用網(wǎng)絡自主獲取知識的能力[7]。因此，實施方式既具備可行性，也符合當前人才培養(yǎng)需求，具備必要性。

三、實驗對象和實施舉例

教師在南京大學電子科學與工程學院的《計算方法》課程中試行了上述改革。該課程面向統(tǒng)招本科三年級學生，學生已具備微積分、線性代數(shù)以及計算機基礎等必要知識。班級學生人數(shù)為26人，實行小班化教學，適宜進行改革。

本文以一個任務為例說明具體的教學實施過程。

教師向?qū)W生布置了一個電子秤稱重任務，即對一個已有的電子秤硬件，實現(xiàn)一定范圍內(nèi)對任意重量物體稱重。教師為該任務分配3課時。在任務的任何階段，都鼓勵學生討論，并利用任何方式查找資料。

第一階段，由于教師不規(guī)定明確指標，由學生主動向“客戶”（由另一學生扮演）溝通，詢問與解決問題相關的指標要求，并進行需求分析。這一階段，扮演任務執(zhí)行者的學生竭力聯(lián)系已有生活經(jīng)驗，詢問了包括電子秤的量程、使用環(huán)境的溫濕度、待稱重的物體常規(guī)重量和體積、能否提供標準砝碼等。

第二階段，學生嘗試定義要解決的主要問題。學生可能發(fā)現(xiàn)之前溝通的不足，還可進行進一步的溝通。經(jīng)歷該階段，絕大部分學生明確了問題，即給定有限的標準砝碼，實現(xiàn)規(guī)定量程內(nèi)任意重量的電子秤輸出標定。

第三階段，學生被要求進行不少于兩種方案的設計。學生開始查書或上網(wǎng)搜索尋找解決方案。有的學生發(fā)現(xiàn)不同方案可能導致標定的精確度有差別，又回頭找“客戶”進行溝通，詢問“客戶”能接受的誤差范圍等指標。經(jīng)歷該階段后，絕大部分學生設計了至少兩種方案，代表性的有：選取質(zhì)量等差分布的砝碼，測量電子秤對應的電壓輸出值，構(gòu)造函數(shù)表，然后對該離散函數(shù)表進行高次多項式插值、分段線性插值或三次樣條插值；或者對函數(shù)表進行最小二乘擬合。

第四階段，學生采集數(shù)據(jù)并利用Matlab軟件實施兩個不同方案。該階段，有的學生發(fā)現(xiàn)質(zhì)量等差分布的砝碼獲取較困難，因此重新修改方案，選擇不要求等距節(jié)點的插值方案。該階段完成時，絕大部分學生實現(xiàn)了量程內(nèi)任意重量的物體稱重。

第五階段，學生就方案與需求對不同方案進行對比分析，考察稱重是否足夠準確，自哪種方案更準確或更容易執(zhí)行。經(jīng)過該階段，學生發(fā)現(xiàn)各種值得注意的現(xiàn)象。例如，插值方法中，用于標定的砝碼稱重是準確的，而最小二乘擬合則存在最終標定砝碼稱重也有誤差的情況。再如，有的學生的兩種方案分別是牛頓插值和拉格朗日插值，最后結(jié)果沒有明顯差別。

第六階段，學生一方面查詢參考資料，另一方面進行總結(jié)歸納，得出可能普適性的規(guī)律與經(jīng)驗。該階段中，學生根據(jù)最后任務完成情況，重新審視方案設計時的關鍵參數(shù)，總結(jié)出類似任務中，在客戶溝通階段就需要明確的關鍵指標，如量程、允許誤差等；總結(jié)了方案設計的關鍵依據(jù)，如在什么情況下選擇最小二乘擬合，什么情況下選擇插值，誤差與具體方案的對應性等。接著，在教師的引導下，學習各種插值方法及最小二乘法的數(shù)學原理，從數(shù)學本質(zhì)上分析各種方法的差別與聯(lián)系。

整個任務完成后，學生不僅掌握了插值與最小二乘法的基本原理和使用，還完全理解了相關數(shù)學公式的意義與必要性。抽象數(shù)學符號與具體現(xiàn)實聯(lián)系起來，加深學生的理解。更重要的是，學生對待問題建立了圖2所示的流程，體現(xiàn)在學期后半段給學生布置的以“身邊的算法”為題的開放作業(yè)，他們提交的作業(yè)是主動按照圖2的流程思路來組織的。學期結(jié)束時，本課程一改之前“數(shù)學太多”“晦澀難懂”“照本宣科”“太枯燥”的評價，被認為是“一門有趣又有用的課程”。

四、總結(jié)

南京大學電子科學與工程學院的教師對經(jīng)典的《計算方法》課堂教學進行改革，主要是改變傳統(tǒng)的從知識庫出發(fā)、原理—方法—應用舉例為順序的教學方式，轉(zhuǎn)而從貼近現(xiàn)實的應用問題出發(fā)，還原現(xiàn)實探索中人們解決問題的流程。這不僅激發(fā)了學生的學習興趣，讓學生深刻理解學科專業(yè)知識，更重要的是幫助學生建立了開放性探索的流程，培養(yǎng)主動構(gòu)建知識體系的能力。今后，學院將進一步探索并嘗試在更多的課程教學中推廣這一教學模式，以滿足現(xiàn)代社會對高等人才自主學習能力和主動探索能的培養(yǎng)需求。

參考文獻：

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[3]徐駿，王自強，施毅.引領未來產(chǎn)業(yè)變革的新興工科建設和人才培養(yǎng)[J].高等工程教育研究，2017，（2）：13-18.

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[5]朱長江，郭艾，楊立洪.面向理工科創(chuàng)新型人才培養(yǎng)的“四步進階”大學數(shù)學教學改革[J].中國大學教育，2018，（3）：33-36.

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[7]王自強，康琳，張麗敏.南京大學：以學習小組的形式進行翻轉(zhuǎn)課堂[J].中國教育網(wǎng)絡，2015，（5）：58-59.