淺談軌跡方程的求解

陳子寒

摘要：解析幾何是高中生難以攻克的一種題，大部分同學(xué)在考試時會選擇只解答只要求求出軌跡方程的第一問，此文章介紹了幾種求解軌跡方程的方法，可供借鑒和采納。

關(guān)鍵詞：軌跡方程;求解方法;求解步驟;經(jīng)驗總結(jié)

軌跡方程在高中階段的學(xué)習(xí)中的重要性不言而喻，其能夠較好的鍛煉學(xué)生的邏輯思維能力、解題能力，對于學(xué)生數(shù)學(xué)綜合能力的提升有著較好的幫助。但是結(jié)合當(dāng)前高中數(shù)學(xué)軌跡方程學(xué)習(xí)的實際情況來看，學(xué)生要想真正的掌握和理解軌跡方程的求解方法及內(nèi)容也并非是一朝一夕的事情，其需要學(xué)生不斷的探索和積累，才能真正的掌握這些知識。

一、幾種常見軌跡方程求解方法

（一）直接法。直接法是軌跡方程求解的常見方法之一。在解決軌跡方程時，如果動點滿足的幾何條件本身是一些幾何量的燈亮關(guān)系或這些幾何條件簡單明了且易于表達，因此可以將這種關(guān)系轉(zhuǎn)換為x，y的等式，這樣就能夠得到曲線的估計方程。由于這種求軌跡方程的過程不需要其他步驟，也不需要特殊的技巧，因此一般被稱之為直接法，這種方法主要適用于一些比較簡單的軌跡方程。

（二）定義法。所謂的定義法是結(jié)合軌跡方程的定義，對曲線方程進行求解。當(dāng)?shù)貏狱c的軌跡符合軌跡方程的某一基本軌跡的定義，則可以根據(jù)定義直接求出動點的軌跡方程解。

（三）相關(guān)點法（代換法、轉(zhuǎn)換法）。在求解軌跡方程的過程中，解決某些問題時，如果其動點滿足的條件不便使用等式列出，但是其動點是隨著另一動點（其一般也被稱為相關(guān)點）而運動。如果相關(guān)點能夠滿足的條件時可以應(yīng)用軌跡方程進行分析的，則可以應(yīng)用運用運動坐標(biāo)表示相關(guān)點的坐標(biāo)，并根據(jù)相關(guān)點求得動點的軌跡方程，這種求解方法也被稱為相關(guān)點法或者代換法、轉(zhuǎn)換法。

（四）參數(shù)法。在某些時候動點應(yīng)當(dāng)滿足的幾何條件并不容易得出，而且在求解時也沒有明顯的相關(guān)點。但是在進行方程求解時，經(jīng)過探究可能會發(fā)現(xiàn)這個動點的運動經(jīng)常會受到另一個已知變量的影響，或者是動點坐標(biāo)（x，y）中的x和y分別隨著另一變量的變化而變化，那么在解題的時候就可以將這個變量稱之為參數(shù)，并且可以結(jié)合相應(yīng)的參數(shù)，建立軌跡的參數(shù)方程。在軌跡方程求解過程中，這種方法也被稱之為參數(shù)法。解題時，如果點需要得到軌跡的參數(shù)方程，一般在選擇參數(shù)變量時要從多方面考慮，其應(yīng)當(dāng)具有某種物理或集合的性質(zhì)，如時間、速度和角度等，在選擇參數(shù)時還應(yīng)當(dāng)要注意參數(shù)的取值范圍對動點的坐標(biāo)取值范圍的影響。

二、解題步驟

在求解這類題時，可以采取以下這幾個步驟。

（一）建。即根據(jù)題意建立最便于自己求解的坐標(biāo)系。（多數(shù)情況下題目中已設(shè)出相應(yīng)的坐標(biāo)系，只有少數(shù)題目需要自己建立坐標(biāo)系）

（二）設(shè)。設(shè)這個動點的坐標(biāo)為（x，y），要時刻牢記此點的橫縱坐標(biāo)為變量，不可與題中其他字母混淆。

（三）現(xiàn)（限）。這指的是題目中關(guān)于動點運動的限制條件，并據(jù)此列出等式。

（四）代。將已設(shè)出的動點的橫縱坐標(biāo)代人步驟三列出的等式中。

（五）化。這指的是將等式化簡，最后會得出一個關(guān)于x和y的關(guān)系式。（這通常是最復(fù)雜的一步，極其考驗運算能力，運算時定要仔細）

把這五個步驟連成“建設(shè)現(xiàn)代化”，可以幫助我們記憶。

下面舉兩個例題進行具體分析。

例1.已知有一動點P，與點A（1，0），B（-1，0）的連線的斜率的積為四分之一，求P點的運動的軌跡方程。

由于題中已有了相應(yīng)的坐標(biāo)系，所以不需要我們建立。

設(shè)：設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，y） 題中的限制條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言即為K_PA×K_PB=1/4

將動點P的坐標(biāo)代入其中，得到：

化簡得：x²-4y²=1

即一組雙曲線（此題多出現(xiàn)在解析幾何題的第一問，為了得到的結(jié)果多為雙曲線，圓，橢圓，拋物線等高中生較為熟悉的曲線的解析式，所以若求出的結(jié)果較為復(fù)雜或無法轉(zhuǎn)化為自己熟悉的形式，可回頭檢查自己是否在哪一步出了差錯）

例2.已知圓M（x+1）²+y²=9，圓N （x-1）²+y²=1，有一動圓P與圓M內(nèi)切，與圓N外切，求動圓圓心P運動的軌跡方程。

設(shè)圓P半徑為r限制條件：r=3-PM r=PN-1

（由于圓P與圓M內(nèi)切，所以圓心距+r=圓M的半徑，由于圓P與圓N內(nèi)切，所以圓心距=圓P的半徑+圓N的半徑）

兩式相減得PN+PM=4（p到點N與點M的距離的和為定值，這符合橢圓定義，所以P的運動曲線為以點M（-1，0），點N（1，0）為焦點的橢圓）

所以p的軌跡方程為：x²/4+y²/3=1

通過此題，可以得出經(jīng)驗：并非所有題目都要嚴格按照題目所給出的限制條件一步步化簡，若是此題將限制條件按步驟化簡，將很難得出結(jié)果，若是牢記了圓錐曲線的定義，做題時將會事半功倍。所以，做題時若是遲遲沒有思路或式子越化越復(fù)雜，可以考慮定義法，這往往做起來很簡便。

三、結(jié)語

軌跡方程的求解是有規(guī)律可尋的，所以在考試時不要有畏難情緒，把能夠得到的分得到，為第二問的“爬坡”做好基礎(chǔ)。

參考文獻

[1]黃榮清.淺談高中數(shù)學(xué)中軌跡方程的求解方法[J].基礎(chǔ)教育論壇，2012（19）：28-30.