馬爾可夫調(diào)制的雙分?jǐn)?shù)布朗運動模型下亞式期權(quán)定價*

宋瑞麗，李 旭，王 偉

(南京財經(jīng)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，南京 210023)

0 引 言

本文利用馬爾可夫調(diào)制的雙分?jǐn)?shù)布朗運動來描述B-S市場中風(fēng)險資產(chǎn)的價格動態(tài)，利用馬爾可夫鏈刻畫經(jīng)濟周期中的結(jié)構(gòu)變化，通過亞式期權(quán)所滿足的概率密度轉(zhuǎn)移函數(shù)，采用測度變換技巧將實際概率測度變換成等價鞅測度，利用風(fēng)險中性定價原理分別得到具有固定執(zhí)行價格的亞式看漲和看跌期權(quán)的定價公式，且可基于雙分?jǐn)?shù)布朗運動亞式期權(quán)定價模型對分?jǐn)?shù)布朗運動的幾何平均亞式期權(quán)定價模型進(jìn)行推廣。

1 模型假設(shè)

假定在無套利金融市場中有一種債券和一種股票，它們的價格過程分別滿足如下隨機微分方程：

其中，r：=(r1，r2，…，rN)∈RN，rt：=[r，Xt]表示市場的利率;σ：=(σ1，σ2，…，σN)∈RN，σt：=[σ，Xt]表示股票的波動率;μ：=(μ1，μ2，…，μN)∈RN，μt：=μ，Xt表示股票的平均回報率;·，·表示內(nèi)積均依賴于{Xt}t∈Γ的狀態(tài);是具有Markov調(diào)制的雙分?jǐn)?shù)布朗運動，存在新的等價-鞅測度Q和滿足

是概率測度Q下的雙分?jǐn)?shù)布朗運動，并且有

(1)

對任意0

(2)

2 具有固定執(zhí)行價格的亞式看漲、看跌期權(quán)定價公式

對于固定執(zhí)行價格的幾何平均亞式看漲期權(quán)，它的損益為

(3)

(XtYt-K)+

(4)

注意到當(dāng)前時刻是t時刻，則Xt是已知的，由式(2)可得：

e(r*(t)+Zt)

(5)

其中，

根據(jù)雙分?jǐn)?shù)布朗運動的定義及性質(zhì)可得：

由分?jǐn)?shù)型等距公式[12]可得：

其中，

那么

(6)

令ut表示幾何平均亞式看漲期權(quán)的損益在當(dāng)前時刻的貼現(xiàn)值，則由式(3)(4)可得：

(7)

(8)

2.1 具有固定執(zhí)行價格的亞式看漲期權(quán)定價公式

定理1 具有固定執(zhí)行價格的幾何平均亞式看漲期權(quán)價格為

其中，

證明根據(jù)式(6)中Zt的分布和式(8)確定ut的分布：

隨機變量ut的期望為

(9)

(10)

把式(10)代入式(9)可得：

(11)

Ct=E[ut|Gt，T]=

2.2 具有固定執(zhí)行價格的亞式看跌期權(quán)定價公式

幾何平均亞式看跌期權(quán)的損益為

(12)

定理2 具有固定執(zhí)行價格的幾何平均亞式看跌期權(quán)價格為

其中，

證明同理，由式(6)中Zt的分布和式(8)可得損益νt的條件分布：

隨機變量νt的期望為

(13)

所以將式(13)代入看跌期權(quán)的價格公式，可得：

(14)

Pt=E[vt|Gt，T]=

3 結(jié) 論

通過等價-擬鞅測度變換，在市場利率、股票波動率和股票回報率均受Markov鏈調(diào)制的情形下得到了雙分?jǐn)?shù)B-S市場的固定價格幾何平均亞式期權(quán)定價公式，將經(jīng)典的測度變換方法與擬鞅相結(jié)合，并推廣到雙分?jǐn)?shù)布朗運動市場環(huán)境。在一定程度上，相對多數(shù)只研究分?jǐn)?shù)布朗運動或市場利率、股票波動率和股票回報率均為常數(shù)的模型有所改進(jìn)。對于Markov鏈調(diào)制的受雙分?jǐn)?shù)布朗運動驅(qū)動的浮動執(zhí)行價格的亞式期權(quán)定價公式有待進(jìn)一步研究。