考慮制造誤差的標(biāo)志點(diǎn)配準(zhǔn)定位可靠性分析

杜潭飛 李浩

摘要：制造業(yè)中利用標(biāo)志點(diǎn)配準(zhǔn)是對物體進(jìn)行定位的常用手段，該方法有效的前提是物體上的標(biāo)志點(diǎn)不存在制造誤差，但是實(shí)際制造中不存在零誤差的標(biāo)志點(diǎn)。本文利用四元數(shù)構(gòu)造的旋轉(zhuǎn)矩陣當(dāng)做零制造誤差下的配準(zhǔn)矩陣，然后對旋轉(zhuǎn)矩陣變換后的標(biāo)志點(diǎn)位置添加蒙特卡洛方法計(jì)算的隨機(jī)誤差，采用SVD分解計(jì)算隨機(jī)誤差下的配準(zhǔn)矩陣，進(jìn)而分析了標(biāo)志點(diǎn)制造誤差對物體定位精度的影響。該方法可以有效評估現(xiàn)有物體的標(biāo)志點(diǎn)制造誤差是否可以滿足定位精度的要求。在本文研究中設(shè)定了10個(gè)標(biāo)志點(diǎn)位置，研究表明：標(biāo)志點(diǎn)制造誤差對物體定位精度的影響近似呈線性關(guān)系。

關(guān)鍵詞：標(biāo)志點(diǎn)；制造誤差；定位精度；蒙特卡洛法

Reliability Analysis of Marking Point Registration Considering Manufacturing Error

Abstract：In manufacturing industry，marker registration is a common method to locate objects. The effective premise of this method is that there is no manufacturing error in marker points，but there is no zero error marker points in actual manufacturing. In this paper，the rotation matrix constructed by quaternion is used as the registration matrix under zero manufacturing error. Then the random errors calculated by Monte Carlo method are added to the position of the markers transformed by the rotation matrix. The registration matrix under random errors is calculated by SVD decomposition，and the influence of marker manufacturing error on the positioning accuracy of the object is analyzed. This method can point to meet the requirements of manufacturing error of the positioning accuracy of the effective assessment of existing object sign. In this paper，10 landmark locations are set up. The results show that the influence of manufacturing errors of landmarks on the positioning accuracy of objects is approximately linear.

Keywords：Marking Point，Manufacturing error，Position accuracy，Monte Carlo method

1.引言

標(biāo)志點(diǎn)具有空間特征不變形，被廣泛應(yīng)用于解決各項(xiàng)研究中的定位問題[1-5]。當(dāng)被處理對象無法利用工裝精確定位的時(shí)候，通常會(huì)采用在對象上加工標(biāo)志點(diǎn)的方式傳遞物體本身的位置信息，以便后續(xù)加工處理時(shí)的定位?？紤]到最終產(chǎn)品的制造精度必然大于其定位誤差，當(dāng)物體的定位誤差超過其加工精度要求時(shí)，該物體的所有后續(xù)加工將會(huì)面臨嚴(yán)峻的質(zhì)量問題，物體的定位精度對于其后續(xù)加工而言至關(guān)重要。

在現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)制造過程中，標(biāo)志點(diǎn)通常被認(rèn)為是絕對精確的，即物體上標(biāo)志點(diǎn)之間的相對位置關(guān)系與數(shù)模上標(biāo)志點(diǎn)之間的相對位置關(guān)系一致。但是實(shí)際上，標(biāo)志點(diǎn)的制造誤差是存在的，而且由于制造誤差的隨機(jī)分布，該誤差不能被準(zhǔn)確測量[6]。所以在利用標(biāo)志點(diǎn)進(jìn)行剛體定位的時(shí)候，人們通常將配準(zhǔn)定位問題轉(zhuǎn)換為優(yōu)化問題，尋求全局最優(yōu)解，減小標(biāo)志點(diǎn)制造誤差對物體定位精度的影響[7-8]。

標(biāo)記點(diǎn)制造誤差對物體定位精度的影響分析可以預(yù)先評估在實(shí)際制造誤差下，采用標(biāo)志點(diǎn)定位的方法是否可以達(dá)到后續(xù)加工的精度要求。目前關(guān)于標(biāo)志點(diǎn)制造誤差對定位精度影響的研究較少。王滿寧[9]對比分析了標(biāo)志點(diǎn)匹配空間配準(zhǔn)中標(biāo)記點(diǎn)定位誤差、標(biāo)記點(diǎn)配準(zhǔn)誤差和靶點(diǎn)配準(zhǔn)誤差之間的關(guān)系，研究三者之間的相關(guān)性，但是其研究中擾動(dòng)誤差是XYZ三個(gè)軸分別添加概率誤差，每個(gè)點(diǎn)的整體誤差不能被精確控制到產(chǎn)品的制造誤差數(shù)據(jù)。此外，該研究僅選取了一組固定的位姿變換矩陣，同時(shí)對于誤差之間關(guān)系的研究尚有進(jìn)一步挖掘的空間。

基于蒙特卡洛法，本文提出一種標(biāo)志點(diǎn)制造誤差對物體定位精度影響的分析方法，定量分析了標(biāo)志點(diǎn)制造誤差對定位精度的影響規(guī)律，并進(jìn)一步分析了定位誤差的空間分布。論文的結(jié)構(gòu)安排如下：第一章介紹了標(biāo)志點(diǎn)定位的研究背景；第二章詳細(xì)介紹了本文提出方法的算法架構(gòu)；第三章是本文的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)；第四章對比分析了實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，分析實(shí)驗(yàn)各參數(shù)對最終定位精度的影響；第五章是本文的總結(jié)。

2.算法架構(gòu)設(shè)計(jì)

鑒于標(biāo)志點(diǎn)真實(shí)制造誤差無法測量，本文計(jì)劃采用標(biāo)志點(diǎn)添加隨機(jī)誤差的方法模擬真實(shí)標(biāo)志點(diǎn)位置。為測試標(biāo)志點(diǎn)制造誤差對物體定位精度的影響，本文的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)如圖2-1所示，主要包括：

1.生成位姿變換矩陣，即理論數(shù)模位置與實(shí)際擺放位置之間的理論變換矩陣To

2.利用位姿變換矩陣對理論數(shù)模上的標(biāo)志點(diǎn)P_mod位置進(jìn)行變換，獲取無制造誤差情況下的理想標(biāo)志點(diǎn)位置P_modN

3.對理想標(biāo)志點(diǎn)位置P_modN添加隨機(jī)制造誤差，模擬真實(shí)標(biāo)志點(diǎn)位置P_real

4.對P_mod與P_real進(jìn)行SVD配準(zhǔn)，獲取實(shí)際變換矩陣T_New

5.對測試點(diǎn)集P_test分別利用To與T_New進(jìn)行變換，獲取p_testold與p_testnew兩組點(diǎn)集，p_testold 是標(biāo)志點(diǎn)沒有制造誤差情況下的新的測試點(diǎn)位置，p_testnew 是標(biāo)志點(diǎn)存在制造誤差情況下新的測試點(diǎn)位置。

計(jì)算評估兩組點(diǎn)集之間的差距，計(jì)算p_testold 與 p_testnew之間的位置差向量，求取該位置差向量的最大二范數(shù)作為兩者之間的距離，并且記錄測試點(diǎn)的位置差向量。

2.1位姿變換矩陣

位姿變換矩陣由四元數(shù)法構(gòu)造，本文不考慮位置的變換，因?yàn)闃?biāo)志點(diǎn)的隨機(jī)制造誤差并不會(huì)對物體平移距離的配準(zhǔn)產(chǎn)生影響，因此只需分析其對姿態(tài)配準(zhǔn)的影響。根據(jù)達(dá)朗伯-歐拉定理：定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的任何有限位移可用繞某軸的一次轉(zhuǎn)動(dòng)來實(shí)現(xiàn)，該軸通過剛體的固定點(diǎn)。隨機(jī)生成三維空間的單位方向向量作為姿態(tài)旋轉(zhuǎn)軸線，然后根據(jù)給定的旋轉(zhuǎn)角度 ，利用四元數(shù)構(gòu)造空間變換矩陣To。

其中， 是剛體旋轉(zhuǎn)軸線的單位方向向量， 是剛體繞軸線旋轉(zhuǎn)的角度。

2.2蒙特卡洛法產(chǎn)生隨機(jī)誤差

標(biāo)志點(diǎn)的隨機(jī)制造誤差通過蒙特卡洛方法采用球坐標(biāo)系生成，如圖2-2所示。隨機(jī)制造誤差在方向上無差異，因此本文設(shè)定的隨機(jī)誤差隨機(jī)分布在以標(biāo)志點(diǎn)為中心，C_r為半徑的球面上，其中C_r采用物體既定的制造誤差數(shù)值， 、 均利用蒙特卡洛方法隨機(jī)生成，以此確定每次實(shí)驗(yàn)過程中每個(gè)標(biāo)志點(diǎn)的誤差情況。

2.3奇異值分解（SVD）剛體配準(zhǔn)

本文采用SVD剛體配準(zhǔn)的方法對理論數(shù)模標(biāo)志點(diǎn)位置與實(shí)際標(biāo)志點(diǎn)位置兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行配配準(zhǔn)，從而確定相對理論數(shù)模位置的物體實(shí)際位姿。

計(jì)算兩組標(biāo)志點(diǎn)集的質(zhì)心位置 、 ，然后計(jì)算每個(gè)點(diǎn)的去質(zhì)心坐標(biāo)，如式（3）（4）所示。

旋轉(zhuǎn)矩陣可以確定物體的姿態(tài)，平移向量可以確定物體的位移，兩者可以構(gòu)成齊次矩陣，確定物體的位姿。

3. 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

實(shí)驗(yàn)對象：實(shí)驗(yàn)選取飛機(jī)模型為配準(zhǔn)對象，分別在機(jī)翼，機(jī)身等位置選取10個(gè)標(biāo)志點(diǎn)?，F(xiàn)實(shí)生產(chǎn)制造中，由于飛機(jī)較大的物理尺寸，采用標(biāo)志點(diǎn)定位是進(jìn)一步加工時(shí)的常用手段。

實(shí)驗(yàn)參數(shù)：誤差點(diǎn)球體面半徑C_r；隨機(jī)試驗(yàn)次數(shù)NUM；標(biāo)志點(diǎn)繞軸旋轉(zhuǎn)角度 。

參數(shù)選擇：C_r 取2.5mm、3mm、3.5mm、4mm、4.5mm、5mm 這六個(gè)數(shù)值分別分析；隨機(jī)試驗(yàn)次數(shù)NUM=100000；標(biāo)志點(diǎn)繞軸旋轉(zhuǎn)角度 取1°、2°、3°、4°、5°，軸線采取隨機(jī)軸線跟固定軸線兩種方式，其中固定軸線分別選取X軸、Y軸、Z軸三個(gè)軸線方向。

4. 數(shù)據(jù)分析

實(shí)驗(yàn)選取測試點(diǎn)集結(jié)果中的二范數(shù)中的平均值和最大值進(jìn)行分析。

標(biāo)志點(diǎn)制造誤差對物體定位精度的影響與物體的實(shí)際位姿無關(guān)。根據(jù)表4-1，在C_r一定的情況下，姿態(tài)變換矩陣中物體旋轉(zhuǎn)角度的增加分別與平均距離和最大距離無關(guān)，旋轉(zhuǎn)角度 選取1°、2°、3°、4°、5°時(shí)，平均距離與最大距離兩項(xiàng)指標(biāo)無明顯變化。根據(jù)表4-2，位姿變換矩陣中的旋轉(zhuǎn)軸線的變化對平均距離和最大距離均未產(chǎn)生明顯影響，軸線隨機(jī)與軸線固定在XYZ三個(gè)軸上時(shí)，平均距離和最大距離保持穩(wěn)定。

標(biāo)志點(diǎn)制造誤差對物體定位精度的影響與標(biāo)志點(diǎn)制造誤差C_r線性相關(guān)。根據(jù)表4-3，隨著C_r的增加，平均距離與最大距離具有相應(yīng)的變化。如圖4-1所示，平均距離與C_r呈現(xiàn)出強(qiáng)線性關(guān)系，擬合優(yōu)度R=1，可以通過直線方程表征誤差平均距離與C_r之間的線性關(guān)系。最大距離與C_r呈現(xiàn)較強(qiáng)的線性關(guān)系，擬合優(yōu)度R=0.9991，可以使用直線方程根據(jù)C_r的選擇預(yù)測最大距離，如圖4-2所示。通過對比發(fā)現(xiàn)，最大誤差關(guān)于C_r的斜率為1.6813，平均誤差相應(yīng)的斜率為0.4822，所以隨著C_r的增大，最大誤差將會(huì)受到更大的影響，但是兩者斜率均不高，平均誤差和最大誤差應(yīng)該與制造誤差處于同一量級。

物體定位誤差的空間分布與標(biāo)志點(diǎn)集的空間分布相關(guān)。物體定位誤差在空間中呈現(xiàn)橢球體分布，其中z軸方向較長，其次是y軸方向，最短的是x軸方向，如圖4-3和圖4-4所示。這與物體本身的標(biāo)志點(diǎn)集分布有關(guān)，本文實(shí)驗(yàn)對象為飛機(jī)，其標(biāo)志點(diǎn)集在XY平面上的尺寸相對于z方向的尺寸而言較大。飛機(jī)本身在XY平面上的具有較大跨度，在Z方向上比較集中，因此利用標(biāo)志點(diǎn)定位的精度極易受到標(biāo)志點(diǎn)Z方向上制造誤差的影響。這對標(biāo)志點(diǎn)定位方法中標(biāo)志點(diǎn)的選擇給出啟發(fā)，選取的標(biāo)志點(diǎn)集應(yīng)在XYZ三個(gè)方向上盡量保持尺寸大小一致，這樣誤差的空間分布會(huì)由橢球體向球體發(fā)展，最大誤差與平均誤差更加接近，提升定位精度。

5.結(jié)語

本文提出一種基于蒙特卡洛方法的標(biāo)志點(diǎn)制造誤差對物體定位精度影響的分析方法，通過分析，我們發(fā)現(xiàn)標(biāo)志點(diǎn)制造誤差產(chǎn)生對物體定位的影響與物體的實(shí)際位姿無關(guān)，與標(biāo)志點(diǎn)制造誤差C_r的大小相關(guān)。其中定位誤差中的平均距離跟最大距離分別與C_r線性相關(guān)，兩者與制造誤差處于同一量級水平，并給出了關(guān)系公式；定位誤差的空間分布與物體本身標(biāo)志點(diǎn)集的分布相關(guān)，大范圍各向同性的標(biāo)志點(diǎn)集分布更有利于物體的精確定位。

參考文獻(xiàn)

[1] 袁建英，王瓊，李柏林. 利用標(biāo)志點(diǎn)多視圖約束實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)光掃描高精度粗拼接[J]. 計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與圖形學(xué)學(xué)報(bào)，2015（4）：674-683.

[2] 楊帆，權(quán)巍，白寶興，et al. 基于標(biāo)志點(diǎn)的三維點(diǎn)云自動(dòng)拼接技術(shù)[J]. 計(jì)算機(jī)工程與設(shè)計(jì)，2014，35（9）：3321-3325.

[3] 陳惠珍，石四箴. 數(shù)字化頭影測量中標(biāo)志點(diǎn)定位方法的探討[J]. 上海醫(yī)學(xué)，2004，27（12）：949-951.

[4] 張景華. 直接數(shù)字化頭顱側(cè)位片與傳統(tǒng)側(cè)位片定點(diǎn)準(zhǔn)確性的比較研究[D]. 山東大學(xué)，2006.

[5] 梁艷，章云. 姿態(tài)和表情變化下的三維人臉標(biāo)志點(diǎn)定位（英文）[J]. 控制理論與應(yīng)用，2017（06）：123-131.

[6] 楊曉娟. 機(jī)械加工誤差產(chǎn)生原因及解決措施[J]. 淮北職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2010，09（5）：81-82.

[7] 梁云波，鄧文怡，婁小平，et al. 基于標(biāo)志點(diǎn)的多視三維數(shù)據(jù)自動(dòng)拼接方法[J]. 北京信息科技大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2010，25（1）：30-33.

[8] 王力，李廣云，賀磊，et al. 點(diǎn)云拼接中標(biāo)志自動(dòng)匹配方法[J]. 測繪科學(xué)，2011，36（2）：144-145.

[9] 王滿寧. 點(diǎn)匹配空間配準(zhǔn)中三種誤差之間的關(guān)系[J]. 組織工程與重建外科雜志，2014（1）.

作者簡介：杜潭飛（2001-），男，河北省邢臺市人，民族：漢，職稱：無，學(xué)歷：在讀高中生。研究方向：機(jī)器人。

李浩（1993-），女，河北省衡水市人，民族：漢，職稱：中學(xué)二級，學(xué)歷：本科，研究方向：物理學(xué)。

（作者單位：河北衡水中學(xué)）