探究數(shù)學(xué)史中的勾股定理的證明

◆吳心培

(江蘇省華羅庚中學(xué))

一、引言

勾股定理也稱畢達哥拉斯(Pythagoras)定理，是數(shù)學(xué)中非常重要的定理之一。畢達哥拉斯是公元前6世紀(jì)希臘著名的數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家，在西方，他被普遍認(rèn)為是該定理最早的證明者，因此勾股定理就以他的名字命名。然而早在公元前1700年，古巴比倫人就發(fā)現(xiàn)已這一定理，無獨有偶，最遲公元前1105年，我國的商高便能利用一般的“弦圖”來證明這一定理。時至今日，勾股定理的證明方法已經(jīng)有400多種了，其推論及應(yīng)用仍具有重要影響。本文將對幾種著名的勾股定理的證明方法進行簡要介紹。

二、中國古代勾股定理的證明

1.《周髀算經(jīng)》中商高的證明

《周髀算經(jīng)》是我國古代最早的數(shù)學(xué)著作，其內(nèi)容包括天文、數(shù)學(xué)知識，表現(xiàn)了我國古代人民的偉大智慧?！吨荀滤憬?jīng)》中記載了周公與大夫商高的一段話，商高當(dāng)時回答說：“故折矩以為勾廣三，股修四，徑隅。既方其外，半之一矩，環(huán)而共盤。得成三、四、五，兩矩共長二十有五，是謂積矩。故禹之所以治天下者，此數(shù)之所由生也”。

英國人Joseph Needham將這段文字解釋為：把一個矩形沿對角線剪開(如下圖1所示)，寬等于3個單位，長為4個單位。這樣兩對角之間的對角線長為5個單位。我們再用這條對角線為邊畫一個大正方形，再用幾個同上文的半矩形把這個大正方形圍起來，從而形成一個方形盤。像這樣，外面四個半矩形便構(gòu)成了兩個矩形，這兩個矩形總面積是24，然后我們再從方形盤的總面積49中減去24，得到25。我們便稱這種方法為“積矩”。

雖然書中只以3，4，5為例，但這種方法也具有一般性，所以我們普遍認(rèn)為商高已經(jīng)證明了勾股定理。

2.《九章算術(shù)》中劉徽的證明

《九章算術(shù)》是《周髀算經(jīng)》之后最重要的數(shù)學(xué)典籍，這部學(xué)術(shù)著作是由先秦到西漢中期眾多的學(xué)者修改編纂而成的，其在代數(shù)、幾何方面均有巨大成就?？梢哉f，它代表著中國古代的機械算法體系，它與古希臘的《幾何原理》相得益彰，對東方的數(shù)學(xué)發(fā)展產(chǎn)生重要影響。

魏晉時期，著名數(shù)學(xué)家劉徽在為《九章算術(shù)》做批注時便給出了自己的證明：“勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補，各從其類，因就其余不動也。合成弦方之冪”，短短幾句便對勾股定理進行了清晰的描述。但十分可惜的是，劉徽的證明的圖已經(jīng)失傳了。根據(jù)學(xué)者李迪的研究，劉徽的證明方法與歐幾里得在《幾何原本》中的證明描述相似，而根據(jù)學(xué)者曲安京先生的研究，劉徽的勾股定理證明方法如圖2所示，其他學(xué)者對劉徽的證明方法也有自己不同的理解和闡述。

3.《勾股舉隅》中梅文鼎的證明

梅文鼎是我國清代著名的學(xué)者，是民間數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家，被譽為“國朝算學(xué)第一人”。對于勾股定理的證明，梅文鼎給出了兩種證明方法，其中一種方法與趙爽和劉徽的方法有異曲同工之妙。本文介紹梅文鼎另外一種獨具創(chuàng)造性的證明方法，具體步驟如下：

(1)以直角三角形ABC斜邊BC為邊作一個正方形BCDE，其面積為BC的平方，再過點A做BC的垂線KL，把正方形分割成面積為AC平方的四邊形DKLC與面積為AB平方的四邊形KEBL，如圖3所示。

(2)將三角形ALC，ALB移到FKD，F(xiàn)KE處，并做AI垂直于FD，做EN垂直于FE，如圖4所示。

(3)將三角形FLA，F(xiàn)EN移到DHC，EJM處，如圖5所示。

(4)將梯形ENAJ移到JMBG處，即可完成證明，如圖6所示。

三、國外勾股定理的證明

1.Plato的證明

畢達哥拉斯提出勾股定理之后，希臘哲學(xué)家Plato給出了關(guān)于該定理一種特殊情況的證明。他運用的方法為“割補法”，通過幾何的變換來進行證明，具體證明步驟如下：

Plato對等腰直角三角形的情況做出了證明，將其腰上的兩個正方形沿對角線分割成為兩個全等的等腰直角三角形，再將這四個三角形拼到斜邊上，成為一個新大正方形。由于是平移操作，所以各部分面積不變，從而又可以用“面積法”得證。雖然說這是一種特殊情況，但是這也為后世提供了“割補”的數(shù)學(xué)思想，如圖7所示。

2.Euclid的證明

Euclid的證明是歐洲有記載的最早的勾股定理的證明。在Euclid所著《幾何原本》卷一的命題47中，Euclid給出了自己的證明。在證明的過程中，Euclid運用到了圖形割補、等邊三角形和面積的關(guān)系，其具體證明過程如下：

如圖8所示，在直角三角形ABC的各邊上做正方形，可以看到三角形ACD與GCB全等，三角形ADC的面積就等于四邊形CDKJ的一半，三角形GCB的面積是四邊形AFGC的一半，所以四邊形CDKJ的面積等于四邊形AFGC的面積。同理，四邊形JKEB的面積等于四邊形ABHI的面積。于是得到AB2+AC2=BC2，定理得證。

在思想方面，Euclid也繼承了Plato的割補思想，只是具體過程略有不同而已，他們兩人的思想方法都為后世對于勾股定理的證明提供了思路。

3.Leonardo Da Vinci的證明

達芬奇是眾所周知的文藝復(fù)興時期的數(shù)學(xué)家、解剖學(xué)家與畫家。他在《幾何原本》證明圖的基礎(chǔ)上，上下各添加了一個直角三角形，拼接而成兩個面積相等的連六邊形BCGFIH和JEBACD，再運用面積相減法，于是就可以證明勾股定理了。這也是運用的一種割補的思想，但他卻和Euclid的方法有著細微的差別，從幾何變化的角度上來看的話，達芬奇主要運用的是旋轉(zhuǎn)和對稱，而后者運用的則是平移，如圖9所示。

四、勾股定理的推廣

1.勾股定理在三維空間里的推廣

由于勾股定理條件中有一組垂直的關(guān)系，結(jié)論中有一組“平方和”關(guān)系，我們由此聯(lián)想，在空間結(jié)構(gòu)中可以構(gòu)建一個三棱錐，使得組成這個三棱錐的三個側(cè)面的三條線段兩兩垂直，從而使得二維的線段的平方關(guān)系成為三維的面的平方關(guān)系，如圖10所示。根據(jù)我們的猜想，三角形ABC面積的平方應(yīng)該等于三角形OAB，OAC，OBC各自面積的平方之和。證明過程如下：

我們作OH垂直于平面ABC，垂足為H，連接CH并延長交AB于E，連接OE，我們可以得到H為△ABC的垂心，且AB垂直于OH。

由射影定理可以得到OE2=EH×CE。

∴S2△ABO=1/4×AB2×EH×CE=1/2×AB×EC×1/2AB×EH=S△ABC×S△ABH

同理，S2△OBC=S△ABC×S△CBH，S2△OAC=S△OAC×S△CAH.

聯(lián)系上式即可得證猜想成立，于是，我們就得到了空間勾股定理。

2.勾股定理在面三角形中的運用

我們用類似直角三角形的做法，構(gòu)造出有兩個直角三角形面的“面直角三角形”，如圖11所示。沿襲上文思路，我們猜想：四邊形ADEF的面積的平方等于四邊形ADCB的面積的平方加上四邊形CBFE的面積的平方。

我們用S代表四邊形AFED的面積，S1代表四邊形ABCD的面積，S2為四邊形BFEC的面積。具體證明過程如下：

∵S=AD×AF，S1=AB×AD，S2=EF×BF.

∴S2=AD2×AF2，S12=EF2×AD2，S22=EF2×BF2.

又∵AD=EF=CB，CE=BF，

∴S2=BC2×(AB2+BF2)，S12+S22=AB2×AD2+EF2×BF2.

于是：S2=S12+s22.

五、小結(jié)

勾股定理是人類文明史上的一顆耀眼的明星，是“幾何學(xué)的基石”，它的誕生產(chǎn)生了許多與它相關(guān)的數(shù)學(xué)思想，進而使得世界上幾個文明古國都對它進行了深入的研究。時至今日，勾股定理的證明方法已多達400多種，本文對勾股定理證明中用到的面積法，拼接法等都給出了一些經(jīng)典的例子。隨著科技的進步和社會的發(fā)展，勾股定理將會推廣到更深更遠的地方。例如，在三維空間中，在面三角形上，或是在n維空間中。勾股定理作用廣泛，博大精深，更深層次地研究還需進一步探索。