基于2D Chebyshev-Sine映射的圖像加密算法

鐘艷如，劉華役，孫希延，藍(lán)如師*，羅笑南

（1.桂林電子科技大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息安全學(xué)院，廣西桂林541004；2.桂林電子科技大學(xué)信息與通信學(xué)院，廣西 桂林 541004）

0 引 言

21世紀(jì)是信息科技時(shí)代，伴隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅速發(fā)展，通信信息技術(shù)與多媒體技術(shù)互相融合、滲透，成為信息技術(shù)的實(shí)質(zhì)?；ヂ?lián)網(wǎng)時(shí)代，許多通信設(shè)施具有開放和共享的特點(diǎn)，安全問題正接受有史以來最嚴(yán)峻的考驗(yàn)。傳統(tǒng)的信息加密方式只適用于純文本類型的數(shù)據(jù)加密，而其他類型的信息，如圖像數(shù)據(jù)信息［1?3］，并不可用。 由于圖像數(shù)據(jù)信息具有存儲(chǔ)量大、冗余性高、相關(guān)性極高的特性，研究者從各個(gè)方面對(duì)圖像數(shù)據(jù)信息進(jìn)行了研究。隨著混沌理論的出現(xiàn)，研究者將其應(yīng)用于圖像加密，發(fā)現(xiàn)其與密碼學(xué)有密不可分的聯(lián)系［4-6］，于是，就形成了基于混沌的圖像加密算法［7］，有混沌映射［8-9］、波擾動(dòng)［10］、小波變換［11-12］和魔方變換［13］等。

混沌圖像加密算法可分為一維混沌系統(tǒng)、高維混沌系統(tǒng)。一維混沌系統(tǒng)包括Logistic映射、Sine映射、Tent映射、面包師（baker）映射以及各種一維映射的混合等，因其具有簡(jiǎn)單、快速的特點(diǎn)，一直被用于各種加密算法。蔣愛平等［14］提出了一種基于超混和改進(jìn)AES的圖像加密算法，利用超混沌Qi系統(tǒng)的混沌序列對(duì)灰度圖像進(jìn)行了加密和二值化，該算法比傳統(tǒng)的AES算法具有更大的密鑰空間，增強(qiáng)了圖像信息的保密性。趙芮等［15］提出了基于二維Logistic與Chebyshev映射的AES混沌加密算法，克服了傳統(tǒng)AES算法中由密鑰唯一導(dǎo)致的安全性低的缺點(diǎn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示，該算法較傳統(tǒng)AES算法具有更高的安全性。 ZHU等［16］提出了用Arnold貓圖的對(duì)稱圖像加密方案。ZHOU等［17］提出了一種新的圖像加密1D混沌系統(tǒng)，一維混沌映射，其混沌軌道很簡(jiǎn)單，易被預(yù)測(cè)，信息一旦被提取［18-20］，很可能通過某些技術(shù)計(jì)算出其初始狀態(tài)［21-24］。因此，一維混沌系統(tǒng)的圖像加密方案很容易被攻擊［25-28］，須有更高維的混沌映射。 2DSLMM［7］，2D-LASM［29］，2D-SIMM［30］的 混 沌 軌 道較一維的復(fù)雜，也不容易被預(yù)測(cè)，但其硬件實(shí)現(xiàn)較困難。為此，本文提出了一種具有良好混沌性能和低消耗成本的混沌映射。

為了進(jìn)一步提高基于線性層組合的圖像加密算法的安全性能，本文通過使用AES算法產(chǎn)生的序列來控制二維Chebyshev映射與Sine映射的密鑰，利用行移位和列混合，改變圖像像素空間位置和像素頻域中的值，最后根據(jù)中國(guó)剩余定理的增強(qiáng)擴(kuò)散操作對(duì)圖像進(jìn)行二次加密。同時(shí)，給出了仿真的實(shí)驗(yàn)結(jié)果與安全性分析。

下文組織如下：第1章，介紹二維Chebyshev映射與Sine映射，并對(duì)軌跡圖進(jìn)行分析；第2章，新的圖像加密算法——線性層組合，介紹線性層組合，包括行移位和列混合；第3章，對(duì)此算法做仿真實(shí)驗(yàn)和時(shí)間復(fù)雜度分析；第4章，分析線性層組合算法的安全性；第5章為結(jié)論。

1 2D Chebyshev-Sine映射

1.1 定義

以下是本文用到的2個(gè)一維映射，分別為Chebyshev map［15］和 Sine map，其定義分別為：

其中，u和n為參數(shù)，u在［0，1］范圍內(nèi)，n在［0，4］范圍內(nèi)。

此2映射均為非線性變換，用以生成簡(jiǎn)單結(jié)構(gòu)的下一個(gè)迭代值。因此，通過混沌信號(hào)易預(yù)測(cè)其軌道。為解決這一問題，本文提出了一種新的二維混沌映射——Chebyshev-Sine map方法，定義為

其中，u和k都為參數(shù)，u的取值范圍為［0，4］，k的取值范圍為［0，1］，當(dāng)k=0.162 5，u=1.5時(shí)，具有混沌行為。

1.2 2D Chebyshev-Sine映射性能的評(píng)估

本文提出的2D Chebyshev-Sine map具有良好的混沌行為。通過生成的軌跡來判斷其混沌性能。

圖 1顯 示 了 2D Chebyshev-Sine map、2DSLMM［7］的軌跡圖，并設(shè)置他們的初始值均為的（x0，y0）=（0.3，0.4）。 顯見，2D Chebyshev-Sine map在相平面上的軌跡較2D-SLMM分布更寬廣，因此，2D Chebyshev-Sine map具有更好的遍歷性，其輸出也是隨機(jī)的。

2 線性層組合圖像加密算法

圖2為2D Chebyshev-Sine map的圖像加密算法流程圖，包括原文圖像、安全密鑰、2D Chebyshev-Sine map、密文圖像以及核心的行移位、列混合、中國(guó)剩余定理擴(kuò)散的原則。圖3為解密過程流程圖，加密過程為C=Enc（P，K），解密過程為P=Dec（C，K）。

2.1 安全密鑰的結(jié)構(gòu)和2D Chebyshev-Sine映射序列發(fā)生器

圖1 軌跡圖Fig.1 The trajectories

圖2 加密流程圖Fig.2 Encryption flow chart

圖3 解密流程圖Fig.3 Decryption flow chart

將加密的安全密鑰K值定義為256位字符串序列，分別由x0、y0、q、A、B1、B2、B3、B4組成，如圖 4 所示。其中（x0，y0）和q是二維 Chebyshev-Sine映射的初始值和控制參數(shù)。A和B的目的是改變初始值和控制參數(shù)，以增大安全密鑰。

圖4 安全密鑰的結(jié)構(gòu)Fig.4 Structure of security key

具體來說，通過使用 IEEE 754［31］格式的 52 位字符串（b1，b2，…，b52）來生成十進(jìn)制的數(shù)值x0，y0，q，A，公式為

B1，B2，B3，B4由 12位字符串｛b0，b2，…，b11｝組成，將這12位字符串轉(zhuǎn)換為整數(shù)并獲得所需的系數(shù)。對(duì)于每一輪的初始值可定義為

2.2 行移位變換

如果明文圖像P的大小為M×N，那么圖像P中像素點(diǎn)的總量為M×N，由式（3）生成X和Y序列。

現(xiàn)在使用行移位變換對(duì)二維Chebyshev-Sine映射生成的X序列進(jìn)行轉(zhuǎn)換，其中圖像（M—1）行的像素點(diǎn)被循環(huán)偏移到同行不同列的像素位置上，而圖像的元素值未發(fā)生任何變化。假設(shè)矩陣為state，行移位變換公式為

state′[i][j]=state[i][(j+i)%n],n∈ N。（6）

圖5 行移位的變化Fig.5 The change of row shift

2.3 列混合變換

在1.1節(jié)中，通過式（3）生成X和Y序列，X已對(duì)行移位做了變換?，F(xiàn)用Y序列通過矩陣相乘對(duì)圖像進(jìn)行列混合變換，即經(jīng)行移位后的狀態(tài)矩陣與固定的矩陣相乘，得到混淆后的狀態(tài)矩陣。

列混合變換操作：將每一列視為一個(gè)t項(xiàng)多項(xiàng)式?，F(xiàn)對(duì)t=4用四項(xiàng)多項(xiàng)式進(jìn)行列操作。這些列為 GF（28），乘以模x4+1，其固定多項(xiàng)式a（x）定義為

根據(jù) Polynomials with Coefficients in GF（28），可將其寫成矩陣形式。令

對(duì)

根據(jù)上述矩陣乘法，可將圖像中列的像素?cái)?shù)替換為：

圖6給出了列混合變換。

圖6 加密算法列混合的變化Fig.6 The changes in column mix of encryption algorithm

2.4 中國(guó)剩余定理的擴(kuò)散原則

通過行移位和列混合操作得到的密文圖像很容易被破譯。于是提出了中國(guó)剩余定理［32-34］的擴(kuò)散原則。

2.4.1 中國(guó)剩余定理

定理1 設(shè)g1，g2，…，gk為k個(gè)兩兩互素的整數(shù)，Gi-1為Gi模gi的 乘 法 逆 元 ，滿 足GiGi-1≡1（modgi），i=1，2，…，k。 對(duì)于任意給定的k個(gè)整數(shù)：b1，b2，…，bk（k≥2），一次同余方程組：

有唯一解

該定理通過將k個(gè)整數(shù)轉(zhuǎn)化為一個(gè)較大的整數(shù)實(shí)現(xiàn)加密。

2.4.2 中國(guó)剩余定理的擴(kuò)散原則

將行移位和列混合操作之后的密文圖像進(jìn)行轉(zhuǎn)化。 將密文圖像轉(zhuǎn)化為一維序列P（p1，p2，…，p（M×N））。下面用中國(guó)剩余定理擴(kuò)散原則，隨機(jī)選取s個(gè)兩兩互素的整數(shù)m1，m2，…，ms，其中mi＞28。

將轉(zhuǎn)化后的一維序列P（p1，p2，…，p（M×N））分成s組：

將pi代入式（12）和（13），計(jì)算得到序列Qi=｛Q1，Q2，…，Q（M×N）/s｝。再對(duì)得到的Qi序列進(jìn)行取模28，得到加密序列D=｛D1，D2，…，D（M×N）｝，最后將加密序列D轉(zhuǎn)化成二維圖像矩陣，得到加密圖像。

經(jīng)上述行移位和列混合后，再對(duì)密文圖像進(jìn)行中國(guó)剩余定理擴(kuò)散。

3 仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果和時(shí)間復(fù)雜度分析

驗(yàn)證一個(gè)圖像加密算法是否具有良好的遍歷性和混沌行為，主要看其能不能將不同類型的明文圖像轉(zhuǎn)化成隨機(jī)的密文圖像。本文對(duì)線性組合算法進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)，并與其他圖像加密算法的運(yùn)行時(shí)間進(jìn)行了比較。

3.1 直方圖分析

直方圖是驗(yàn)證圖像加密算法是否良好的最直觀方法之一。密文直方圖的平坦程度直接影響算法的安全性，密文直方圖越平坦，破譯者越難得到明文信息。因?yàn)橐粋€(gè)好的圖像加密算法可以將明文圖像加密成類似隨機(jī)密文圖像，而直方圖是均勻分布的。圖7為線性層組合算法的圖像仿真實(shí)驗(yàn)?？蓪⑺袌D像轉(zhuǎn)換成類似噪聲的密文圖像，反映圖像像素點(diǎn)所在灰度的分布情況［35］，分布越均勻，越難辨別，可視化能力越差。通過圖7知，所有明文圖像的直方圖具有某種特定的模式。若將明文圖像加密成密文圖像，又不呈現(xiàn)任何明文圖像信息，則說明此算法具有良好的加密性能。

3.2 時(shí)間復(fù)雜度分析

線性層組合算法具有較高的加密速度。在Matlab下通過測(cè)試使用數(shù)據(jù)集的圖像，得到CCM的加密/解密時(shí)間是0.038 001 s。表1為圖像的平均加密時(shí)間，發(fā)現(xiàn)線性層組合算法比其他二維加密算法快些，但明顯較一維算法慢。原因在于一維的結(jié)構(gòu)較簡(jiǎn)單，本文方法是基于復(fù)雜的二維混沌結(jié)構(gòu)的。因此，線性組合算法以較短的運(yùn)行時(shí)間、良好的加密性能勝出。

4 安全性分析與測(cè)試

為了驗(yàn)證線性層組合算法的安全性能，本節(jié)采用以下方法進(jìn)行分析，測(cè)試圖像基本來自USCSIPI‘Miscellaneous’圖像數(shù)據(jù)庫(kù)。

圖7 線性層組合的仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.7 Simulation results of linear layer combination

表1 不同圖像加密算法的運(yùn)行時(shí)間對(duì)比Table 1 Comparison experiments on running time of different image encryption algorithms

4.1 安全密鑰分析

為有效抵抗強(qiáng)有力的攻擊，圖像加密算法應(yīng)該對(duì)安全密鑰十分敏感，且確保密鑰空間足夠大。即安全密鑰的敏感性可從以下兩方面校正：

（1）如果加密端的安全密鑰與原密鑰有微小差異，那么得到的密文圖像應(yīng)該完全不同。

（2）如果解密端密鑰與加密端密鑰有微小差別，那么得到的明文圖像無法被正確解密。

圖8和圖9展示了本文算法在加密與解密方面的敏感性分析結(jié)果。其中，K1為原安全密鑰，K2與K1間有1個(gè)比特字節(jié)之差，K3與K1間有1個(gè)比特字節(jié)之差。當(dāng)用K1、K2分別對(duì)明文圖像進(jìn)行加密時(shí)，得到的密文圖像是完全不同的，這2幅加密后的圖像的差異為|C1―C2|。該算法證明了加密過程中安全密鑰的敏感性，現(xiàn)對(duì)解密過程進(jìn)行驗(yàn)證。用K1對(duì)加密后的圖像進(jìn)行解密，得到的圖像可恢復(fù)為原始圖像。用K2、K3分別進(jìn)行解密，得到完全不同的圖像，且無法辨別。解密后的圖像也存在差異，差異為|D2－D3|。證明了解密過程中安全密鑰的敏感性。

圖8 加密過程中安全密鑰的分析Fig.8 Analysis of the security key in the encryption process

圖9 加密過程中安全密鑰的分析Fig.9 Analysis of security keys in the encryption process

4.2 信息熵測(cè)試

圖像的直方圖非常明了，可用于檢驗(yàn)密文圖像像素分布是否均勻。如何判斷圖像直方圖分布的好壞是一個(gè)比較難的問題。本文引入香農(nóng)理論，用信息熵來判斷圖像灰度值的分布是固定還是隨機(jī)的。一個(gè)圖像粗糙程度越大，信息量就越大，得到的信息熵也就越大。反之，圖像越平滑，得到的信息熵就越小。對(duì)于一個(gè)灰度值為256的隨機(jī)圖像，理想的信息熵為8，安全性能越強(qiáng)，圖像被攻擊的可能性越小，熵的計(jì)算公式為

P表示符號(hào)kj的概率。

為保證實(shí)驗(yàn)的客觀、公平，直接使用吳算法、周算法、吳氏算法以及Hua’s算法。表2列出了各算法的平均信息熵。由表2可知，本文算法平均信息熵更接近理想值8，密文內(nèi)容不容易泄露，安全性較高。

表2 各圖像加密算法的信息熵測(cè)試值Table 2 Information entropy test value on different image encryption algorithms

4.3 差分攻擊測(cè)試

差分攻擊又稱為選擇明文攻擊，是在特定區(qū)域，將原始圖像加密后來攻擊密碼的算法。驗(yàn)證一個(gè)加密算法是否具有擴(kuò)散性，主要看是否能夠抵抗差分攻擊。像素變化率（NPCR）和統(tǒng)一變化強(qiáng)度（UACI）是圖像加密算法中最常用的2種度量方法［39］。 PCR（C1，C2）和 UACI（C1，C2）在 2 幅密文圖像C1和C2之間的分?jǐn)?shù)定義為：

其中，K（i，j）表示函數(shù)，C1和C2表示在圖像網(wǎng)格（i，j）上的2個(gè)像素，T和L表示圖像中的像素?cái)?shù)和允許的最大像素強(qiáng)度。 由式（16）和（17）知，NPCR和UACI的預(yù)期分?jǐn)?shù)取決于最大像素強(qiáng)度L。當(dāng)選取的測(cè)試圖像灰度為8位時(shí)，得到的NPCR和UACI的預(yù)期分?jǐn)?shù)分別為99.609 6%和33.46%。

從USC-SIPI‘Miscellaneous’圖像數(shù)據(jù)集中選取27個(gè)測(cè)試圖像進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)測(cè)試。原圖像像素改變1個(gè)比特值，生成一個(gè)新的明文圖像，然后對(duì)2個(gè)明文圖像用相同的安全密鑰進(jìn)行加密。為保證公平并兼顧方便，直接使用 WU［36］、ZHOU 等［37］、WU 等［38］、HUA等［7］的NPCR和UACI測(cè)試分?jǐn)?shù)。表3和表4分別為NPCR和UACI的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。由表3和表4知，本文的加密算法與預(yù)測(cè)分?jǐn)?shù)相似。因此，線性層組合具有很好的抗差分攻擊能力。

表3 各圖像加密算法的NPCR測(cè)試值Table 3 The NPCR test value on different image encryption algorithms

4.4 相鄰像素相關(guān)性測(cè)試

對(duì)于灰度值為256的圖像來說，像素與鄰近的像素之間具有很強(qiáng)的相關(guān)性，攻擊者常利用此原理尋找明文圖像和密文圖像之間的關(guān)系。所以往往通過相鄰像素之間的相關(guān)性來驗(yàn)證圖像加密方案的優(yōu)劣［40］。由式（18）計(jì)算相鄰像素的相關(guān)系數(shù)：

其中，x，y分別為圖像的2個(gè)數(shù)據(jù)序列，μ，σ分別為平均值和標(biāo)準(zhǔn)差。通過計(jì)算得到它們的相關(guān)值約為1，說明2個(gè)序列X，Y具有很強(qiáng)的相關(guān)性，反之接近于0。

從明文圖像和密文圖像中隨機(jī)選擇2 000對(duì)相鄰的像素，并分別研究水平方向、垂直方向和對(duì)角線方向的像素分布。 明文圖像“elaine”圖在水平方向、垂直方向及對(duì)角線方向相鄰像素的相關(guān)分布和密文圖像相鄰像素的相關(guān)分布如表5所示。其中，明文圖像的結(jié)果接近于1，密文圖像的結(jié)果接近于0。圖10為圖像加密前后的像素序列對(duì)的分布情況，可看出明文圖像相鄰像素的值彼此接近，而密文圖像相鄰像素的值發(fā)生了變化。從而驗(yàn)證了線性層組合算法可大大降低相鄰像素間的相關(guān)性。

4.5 相似度測(cè)試

在圖像加密中，常常比較2個(gè)圖像是否相同。如果加密后的圖像與原圖像相似地方較多，說明此加密圖像的安全性能較差。下面給出2個(gè)圖像相似度參數(shù)XSD的計(jì)算式［41］，以判斷2個(gè)圖像是否相似：

表5 Elaine原圖像像素與其加密圖像像素的相關(guān)性Table 5 The correlation between the original image of Elaine and the pixels of its encrypted image

其中，G=（gij）m×n，C=（cij）m×n為 2個(gè)灰度圖像。α，β為 2個(gè)十進(jìn)制數(shù)，并且α∈［0，m-1］，β∈［0，n-1］。

由式（19）知，Cij與Gij的值相差越大，2個(gè)圖像的相似度就越小。對(duì)加密圖像而言，與原圖像的相似度越小，安全性能就越高。因此，用圖像elaine進(jìn)行測(cè)試，分別用2D Logistic［36］、Hénon［42］、2D Sine logistic［7］、2D Logistic Sine［29］、2D SIMM［30］、CSM 對(duì)圖像進(jìn)行加密。表6為圖像各加密算法的相似度，加密前后圖像相似度越低，加密性能越好?？傻肅SM是性能良好、安全強(qiáng)度高的圖像加密方案。

圖10 圖像相鄰像素序列對(duì)的分布Fig.10 The distribution of adjacent pixel sequence pairs

表6 Elaine圖像的相似度分析Table 6 Similarity analysis of Elaine images

4.6 抗噪聲和數(shù)據(jù)丟失測(cè)試

圖11 抗噪聲和抗數(shù)據(jù)丟失結(jié)果Fig.11 The analysis results of anti-noise and data loss

圖像在傳輸過程中，部分?jǐn)?shù)據(jù)不可避免地會(huì)受到高斯噪聲和鹽噪聲的影響，且存在丟失的可能。圖像加密算法對(duì)數(shù)據(jù)丟失造成的影響應(yīng)具有免疫功能，即圖像在傳輸過程中具有抗噪聲和抗數(shù)據(jù)丟失的能力。本文的線性層組合算法具有抗噪聲和抗數(shù)據(jù)丟失的能力。圖11給出了線性層組合抗噪聲和抗數(shù)據(jù)丟失的魯棒性分析結(jié)果。從圖11可以看出，即使密文圖像受不同類型噪聲的干擾或有不同程度數(shù)據(jù)缺失，線性層組合算法在解密過程中仍能將圖像復(fù)原。盡管復(fù)原后的圖像還存在一些噪聲，但大部分已可識(shí)別。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文算法在抗數(shù)據(jù)丟失和抗噪聲攻擊上性能良好。

5 結(jié) 語

提出了一種新的由Chebyshev映射連接Sine映射形成的二維混沌映射（2D-CSM），通過繪制二維混沌映射軌跡圖可判斷其混沌性能。實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明，2D-CSM具有良好的遍歷性和超混沌性，其混沌范圍覆蓋相平面，較2D-SLMM映射具有更廣的混沌范圍。

為了體現(xiàn)2D-CSM的安全性，本文用線性層組合算法進(jìn)行了加密，使密文圖像不易被破解。實(shí)驗(yàn)證明此算法可抵抗常見攻擊,且時(shí)間復(fù)雜度很低，安全性能很高。該加密算法適用于音頻、視頻、數(shù)據(jù)文件等的保密傳送。