HPM視野下的高中矩陣教學(xué)

辛志立

高中數(shù)學(xué)中的矩陣教學(xué)，是選修的內(nèi)容，與函數(shù)、數(shù)列、三角等常駐在高中階段的內(nèi)容相比，它在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中顯得“年輕”而又“份量不足”.

一方面，矩陣帶著“高等數(shù)學(xué)”的意味，在高中數(shù)學(xué)內(nèi)容中相對(duì)比較獨(dú)立;另一方面，由于其要求并不高，所以出現(xiàn)的矩陣相關(guān)題型，難度不大，因?yàn)檫@兩點(diǎn)，很多時(shí)候，在進(jìn)行這一塊內(nèi)容的教學(xué)時(shí)，容易形成一種為了考題而教題、學(xué)題的狀態(tài)，學(xué)生對(duì)本章節(jié)的內(nèi)容也經(jīng)常是知其然而不知其所以然，這樣的教法與學(xué)法，很難達(dá)到教育本身的目的，因?yàn)閷W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)并不只是學(xué)習(xí)如何解題，更需要培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生獲得數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，

因此，試著在HPM視野下進(jìn)行高中矩陣教學(xué)，讓學(xué)生從一個(gè)更好的角度，對(duì)矩陣有一個(gè)更全面清晰的認(rèn)識(shí)，所謂HPM即指History and Pedagogy ofMathematics，意為數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育，“它不是為了歷史而研究歷史，而是為教育而研究歷史，我們稱之為數(shù)學(xué)教育取向的數(shù)學(xué)史研究，其目的之一，是為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)提供相關(guān)材料，”[1]HPM視野下的高中矩陣教學(xué)，就是要在高中矩陣課堂教學(xué)中融入數(shù)學(xué)史，讓學(xué)生進(jìn)一步形成概念、明白原理、理清思路、發(fā)展思維.

1 借助數(shù)學(xué)史，明白數(shù)學(xué)概念

在HPM視野下的矩陣教學(xué)中，我們追本溯源，借助矩陣萌芽的歷史來引入矩陣概念，

早在公元前1世紀(jì)，中國的《九章算術(shù)》就用到了類似矩陣的東西，以《九章算術(shù)》中的一題為例來說：

今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實(shí)三十九斗;上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實(shí)三十四斗;上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實(shí)二十六斗，問上、中、下禾實(shí)一秉各幾何？

現(xiàn)在我們可以列出方程組：

我國古代沒有表示未知量的符號(hào)，因此直接用算籌將系數(shù)和常數(shù)，排列成了一個(gè)長方陣：

這就是矩陣最早的雛形，可以看出，矩陣就是一系列數(shù)字（或字母）擺成的陣列，但是它又并不是單純的一種“數(shù)學(xué)游戲”，而是在古代解決實(shí)際問題的研究過程中產(chǎn)生的一種必然形態(tài)，

從這樣的數(shù)學(xué)史介紹引入矩陣概念，提升自豪感并引發(fā)興趣固然是原因之一，但是更深層次的作用有三：

（1）得知矩陣因何而來，首先解決了“矩陣是什么”的問題，知道來龍去脈，可以消除新知出現(xiàn)時(shí)學(xué)生心中的迷惘感，更好的理解概念.

（2）從歷史中找實(shí)例，可以得知矩陣并不是數(shù)學(xué)家們“拍腦門”的舉動(dòng)，解決了“矩陣有什么用”的問題，從古代的算術(shù)中就看到數(shù)學(xué)工具的實(shí)際運(yùn)用，能讓學(xué)生感受到“學(xué)以致用”，從而進(jìn)一步增加學(xué)習(xí)的興趣.

（3）追本溯源，可以發(fā)現(xiàn)矩陣并不是一個(gè)獨(dú)立的全新的概念，而是與學(xué)生的前知緊密相連，因?yàn)閺木仃嚨拿妊繗v史可以看到，矩陣就是方程組系數(shù)與常數(shù)的對(duì)應(yīng)排列，由此可以推知，矩陣與方程組必然有著某些密不可分的關(guān)系，可以解決學(xué)生對(duì)新知的陌生感，同時(shí)也能更好地切入下一階段的教學(xué)，

“這是什么”和“有什么用”往往是學(xué)生接觸新知時(shí)最基本的想法，如果能夠較好地解決這兩個(gè)問題，那么必然可以讓學(xué)生更好地提升學(xué)習(xí)興趣，產(chǎn)生學(xué)習(xí)動(dòng)力，用數(shù)學(xué)史引進(jìn)概念，恰恰可以漂亮地做到這一點(diǎn).

2 利用數(shù)學(xué)史，滲透數(shù)學(xué)思想

學(xué)生雖然了解了矩陣與方程的密切聯(lián)系，但是在學(xué)習(xí)過程中又引發(fā)了新的問題：初中里就已經(jīng)學(xué)會(huì)了用消元法解二元一次方程組，并且簡單好用又為自己所熟練使用，現(xiàn)在為什么又要學(xué)別的方法來解方程組？而且在學(xué)習(xí)過程中還需要增加另一個(gè)新的概念：行列式，

在這樣的問題下，學(xué)生下意識(shí)的產(chǎn)生排斥感，往往在學(xué)習(xí)過程中，有意無意地避開矩陣與行列式，而繼續(xù)運(yùn)用原有的知識(shí)來解決問題，

將數(shù)學(xué)史融入教學(xué)，可以有效地解決學(xué)生的疑惑，并從中獲得良好的數(shù)學(xué)思想，

在這個(gè)階段，可以利用數(shù)學(xué)史，進(jìn)行以下兩方面數(shù)學(xué)思想的融入：

2.1 程序化思想

在《九章算術(shù)》中，利用算籌解出線性方程組的運(yùn)算過程，是一種按照一定步驟反復(fù)操作的過程，整個(gè)過程看似繁瑣而復(fù)雜，但是卻是一種程序化思想的體現(xiàn)，

在矩陣教學(xué)中遇到的解方程組的方法與以前初中時(shí)學(xué)得的解方程組的方法對(duì)比來看，從結(jié)構(gòu)形式上來看，就像《九章算術(shù)》中的運(yùn)算一樣，看上去比較“臃腫”，計(jì)算也似乎更為復(fù)雜，但是在這里，蘊(yùn)藏著程序化思想，

我國現(xiàn)代數(shù)學(xué)家吳文俊就是借助這樣的思想，發(fā)明了吳方法，利用程序化的思想，用計(jì)算機(jī)來解決幾何定理的證明，他說：“由于現(xiàn)代計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)，其所需的方式方法正與《九章》傳統(tǒng)的算法體系相符合，《九章》所蘊(yùn)含的思想影響，必將日益顯著，在21世紀(jì)中必將凌駕于《原本》之上，”[2]

程序化思想的滲透，一方面解決了學(xué)生的疑問：為什么已經(jīng)有了簡單快捷的方式，還需要學(xué)習(xí)另一個(gè)復(fù)雜的繁瑣的方式？因?yàn)檫@其中有數(shù)學(xué)思想的存在;另一方面也提供給了學(xué)生一種思維的方向，程序化思想的滲透，有助于學(xué)生邏輯能力的提升與思維嚴(yán)密性的培養(yǎng).

2.2 符號(hào)化思想

矩陣論的創(chuàng)立者英國數(shù)學(xué)家凱萊曾說過“矩陣概念，或直接從行列式概念而來，或作為表達(dá)線性變換的一個(gè)簡便方法而來，”又說：“從邏輯上來說，矩陣的概念應(yīng)先于行列式的概念，但在歷史上卻正好相反，”可見在歷史的演進(jìn)過程中，矩陣與行列式幾乎可以看成是一對(duì)“雙胞胎”，行列式的表示方式即兩條豎線，就是凱萊在1841年開始使用的，而矩陣的符號(hào)，即用以來表示，則是凱萊于1855引入的，

在課堂教學(xué)中可以適當(dāng)?shù)貪B透符號(hào)化思想，符號(hào)化思想其實(shí)是一種重要的數(shù)學(xué)思想，它主要是指有意識(shí)、普遍地運(yùn)用符號(hào)去表述研究的對(duì)象[3].雖然高中生已經(jīng)接觸了非常多的數(shù)學(xué)符號(hào)，但是在今后的學(xué)習(xí)中他們必將接觸更多的數(shù)學(xué)符號(hào)，符號(hào)化思想的滲透有助于學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)語言，更好地學(xué)習(xí)新知，進(jìn)而讓學(xué)生了解到原來創(chuàng)造符號(hào)并不是什么難題，更不是數(shù)學(xué)家才有的“專利”，在一些問題上自己設(shè)立一些符號(hào)，也許可以事半功倍.

3 串聯(lián)數(shù)學(xué)史，體會(huì)數(shù)學(xué)精神

數(shù)學(xué)史的滲透，并不是作為一個(gè)用一下就拋諸一旁的引入，也不是一個(gè)興之所至的即興表演，而是有計(jì)劃、有目的的貫穿于整個(gè)的矩陣教學(xué)的始終，

在高中階段，學(xué)生需要學(xué)習(xí)許多矩陣的初等理論，其中包括了矩陣的相等、矩陣的運(yùn)算法則、矩陣的逆等，在HPM視野下的矩陣教學(xué)過程中，數(shù)學(xué)課堂不只傳授了對(duì)應(yīng)的知識(shí)，也將對(duì)矩陣論作出貢獻(xiàn)的日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和、瑞士數(shù)學(xué)家克萊姆、英國數(shù)學(xué)家凱萊、希爾維斯特等，一一介紹給了學(xué)生，

數(shù)學(xué)史就像一條蜿蜒可見的絲線，將如此多的知識(shí)點(diǎn)一一貫穿起來，讓學(xué)生能夠深刻體會(huì)到的是：

（1）依傍著歷史看數(shù)學(xué)，讓學(xué)生對(duì)矩陣這一塊的知識(shí)有一個(gè)系統(tǒng)化的認(rèn)識(shí)，很容易在頭腦中形成一條清晰的線索，從而讓所學(xué)習(xí)的內(nèi)容不再瑣碎，易記易學(xué).

（2）滲透數(shù)學(xué)史的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生更明白矩陣的本質(zhì)，明白學(xué)習(xí)矩陣的作用以及矩陣與其他數(shù)學(xué)內(nèi)容間的聯(lián)系，進(jìn)一步形成良好的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，有利于觸類旁通，促進(jìn)學(xué)習(xí).

（3）整個(gè)學(xué)習(xí)過程仿佛是一個(gè)歷史縮影，在追隨歷史的過程中，同學(xué)們跟隨數(shù)學(xué)家的腳步，將問題一一解決，讓學(xué)生知道每一段數(shù)學(xué)概念從出現(xiàn)到創(chuàng)立到完善，本身也是一個(gè)復(fù)雜與曲折的經(jīng)歷，我們?cè)诹私馇叭藙?chuàng)造出歷史的過程中，同樣也接受與理解了他們的思想，同時(shí)也培養(yǎng)了自身的探究精神，

“數(shù)學(xué)課堂不可以為了學(xué)數(shù)學(xué)而學(xué)數(shù)學(xué)，不可以為了考試而學(xué)習(xí)解題，而應(yīng)該將一個(gè)美麗的數(shù)學(xué)世界用一個(gè)更好的方式呈現(xiàn)給學(xué)生，在HPM視野下進(jìn)行數(shù)學(xué)教育“可以將學(xué)生從數(shù)學(xué)的孤島上挽救出來，并將他們安置在一個(gè)生機(jī)勃勃的新大陸上，這個(gè)新大陸包含了開放的、生動(dòng)活潑的、充滿人情味的并且總是饒有趣味的數(shù)學(xué)，”[4]

參考文獻(xiàn)

[1]汪曉勤.HPM研究的內(nèi)容和方法[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2016.2（1）：18

[2]吳文俊，郭書春.匯校本《九章算術(shù)》序[M].沈陽：遼寧教育出版社，1990

[3]王建，程宏.符號(hào)化思想與小學(xué)數(shù)學(xué)[J].教育實(shí)踐與研究，2006 （10）：41-43

[4]汪曉勤，林永偉.古為今用：美國學(xué)者眼中數(shù)學(xué)史的教育價(jià)值[J].自然辯證法研究，2004 （20）： 73-74