小學(xué)數(shù)學(xué)面積教學(xué)常見錯(cuò)誤及解決策略

■天津市濱海新區(qū)漢沽鹽場(chǎng)小學(xué) 許 芳

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中，幾何是非常重要的組成部分，其中多邊形面積求解問題尤為重要。幫助學(xué)生形成對(duì)多邊形的感知，引導(dǎo)學(xué)生掌握多邊形面積求解的方法和技巧，能夠使學(xué)生在現(xiàn)實(shí)生活中應(yīng)用相關(guān)知識(shí)解決實(shí)際問題。

在求解面積的過程中，涉及的知識(shí)點(diǎn)有圖形的認(rèn)識(shí)、高、垂直、面積計(jì)算公式、計(jì)算等相關(guān)內(nèi)容。在整個(gè)過程中，學(xué)生出錯(cuò)的概率大。

原因之一，當(dāng)前課堂教學(xué)主張“學(xué)生為本”，傾向于讓學(xué)生自己提出問題、循序漸進(jìn)地摸索知識(shí)要點(diǎn)，從而達(dá)到領(lǐng)會(huì)知識(shí)、運(yùn)用知識(shí)的目的。然而，目前小學(xué)生需要掌握的內(nèi)容較從前有所增加，這導(dǎo)致學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中沒有足夠的時(shí)間和精力真正領(lǐng)會(huì)知識(shí)要點(diǎn)，只是套用公式去解決問題。對(duì)于學(xué)習(xí)能力較弱的學(xué)生，這樣的后果就更為突出。

下面結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐，談?wù)劷虒W(xué)中發(fā)現(xiàn)的問題及應(yīng)對(duì)策略。

一、領(lǐng)會(huì)面積公式推導(dǎo)過程，形成完整的知識(shí)體系

面對(duì)求解多邊形面積的測(cè)試題，學(xué)生套用公式的問題比較嚴(yán)重。如，在求解三角形面積時(shí)，卻將式子列成平行四邊形的面積公式；又如，該用平行四邊形面積公式時(shí)，卻用成了三角形面積公式。

另外，在求解與梯形面積有關(guān)的問題時(shí)，出現(xiàn)錯(cuò)誤相對(duì)多，這與梯形條件較多有關(guān)。學(xué)生對(duì)出現(xiàn)的上底、下底等概念并未理解，只是看到數(shù)就開始做加減乘除，并未過多考慮它們之間的關(guān)系。

對(duì)于“已知梯形的面積、上底、下底，求高”的試題，學(xué)生屢屢出現(xiàn)錯(cuò)誤。究其原因，就是對(duì)梯形面積公式不會(huì)逆向思考，對(duì)面積、上下底、高之間的關(guān)系理解混亂，對(duì)梯形面積的理解不夠深入。由此可以判斷，部分學(xué)生只是掌握了最基礎(chǔ)的給出上下底、高來求解梯形面積的計(jì)算方法，而對(duì)變換題型后的問題就不能正確理解了。在解決較為復(fù)雜的問題時(shí)，甚至以無理的方式自行改變已知條件，為自己套用公式“搭架子”。

再看試題：一個(gè)三角形比與它等底等高的平行四邊形的面積少18平方厘米，則這個(gè)三角形的面積是（）平方厘米。

經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在198名五年級(jí)學(xué)生中，該題出錯(cuò)率竟達(dá)35%。調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，大部分學(xué)生出錯(cuò)的原因是未能靈活變通平行四邊形面積與其等底等高的三角形面積的2倍關(guān)系，他們只想到是不是應(yīng)該乘以2或除以2，而不能轉(zhuǎn)換思維是多1倍的關(guān)系。此題說明學(xué)生在解決問題過程中過于注重記背公式，在幾何構(gòu)建關(guān)系網(wǎng)中沒有將平行四邊形與三角形的關(guān)系理解透徹。

而通過分析其他測(cè)試數(shù)據(jù)結(jié)果發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)幾類圖形之間的關(guān)系理解不夠深入。若將平行四邊形、三角形、梯形關(guān)系表示如下：

學(xué)生對(duì)平行四邊形與三角形和梯形之間的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系不夠明了，這直接導(dǎo)致了學(xué)生在解決稍復(fù)雜的多邊形面積求解中產(chǎn)生錯(cuò)誤判斷。而出現(xiàn)這種錯(cuò)誤的主要原因，是教師在教學(xué)中對(duì)這一部分知識(shí)的強(qiáng)調(diào)不夠。教師往往依據(jù)教材進(jìn)行教學(xué)，而對(duì)前后知識(shí)的串聯(lián)不夠，導(dǎo)致學(xué)生忽視了尋找前后知識(shí)內(nèi)容的相關(guān)聯(lián)系。

實(shí)際上，平行四邊形面積公式的推導(dǎo)，是以長(zhǎng)方形、正方形面積公式為認(rèn)知基礎(chǔ)的。許多教師都通過長(zhǎng)方形的剪拼操作探究活動(dòng)來完成這一教學(xué)，這樣的探究活動(dòng)本質(zhì)是完成一次驗(yàn)證性的操作，學(xué)生通過活動(dòng)驗(yàn)證了結(jié)論、強(qiáng)化了結(jié)論，本質(zhì)是學(xué)生記住了結(jié)論。而此時(shí)的學(xué)習(xí)和后續(xù)學(xué)習(xí)是分割的，是不具備完整性的。

例如，在遇到判斷題“將一個(gè)平行四邊形拉成長(zhǎng)方形，面積不變，周長(zhǎng)變短了”時(shí)，學(xué)生往往出現(xiàn)概念混淆的問題。在學(xué)習(xí)平行四邊形概念時(shí)，教師要關(guān)注學(xué)生的思維辨別能力，適度拓展教學(xué)內(nèi)容。引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟平行四邊形的公式推導(dǎo)，在理解三角形面積公式及梯形面積公式的推導(dǎo)中，具有重要意義。

二、問題的呈現(xiàn)形式靈活，題萬變知識(shí)點(diǎn)不變

在解決面積問題時(shí)，小學(xué)生往往死記公式。解題時(shí)，在還沒了解題意時(shí)，就已經(jīng)把式子列出來了。假若恰巧有公式可以套用，那么只要計(jì)算無誤，準(zhǔn)確率往往較高，但如果稍改題目，則準(zhǔn)確率很低。雖然在改正錯(cuò)誤時(shí)，多數(shù)學(xué)生經(jīng)過反思能發(fā)現(xiàn)自己的錯(cuò)誤，但下次解決問題時(shí)還是發(fā)生一樣的情況。

由此可知，學(xué)生原本對(duì)問題理解就不夠，又機(jī)械式運(yùn)用公式，導(dǎo)致學(xué)生在需要自己尋找解題條件的問題中準(zhǔn)確率較低。當(dāng)問題中出現(xiàn)圖形時(shí)，學(xué)生受視覺的影響很大。當(dāng)改變圖形位置、方向，或者是合成或分解為不同形狀時(shí)，學(xué)生就容易出錯(cuò)，認(rèn)為面積有所改變。

通過閱讀教材、文獻(xiàn)等發(fā)現(xiàn)，在學(xué)習(xí)任意多邊形時(shí)，其實(shí)在前期已經(jīng)鋪墊了相關(guān)子概念。因此，在學(xué)習(xí)多邊形面積這一內(nèi)容時(shí)，教師在教學(xué)時(shí)要確定學(xué)生已經(jīng)對(duì)子概念有深刻理解，從而杜絕因?qū)?、線段、高等概念不清晰引發(fā)的更多錯(cuò)誤。在教學(xué)時(shí)，教師尤其應(yīng)該適時(shí)強(qiáng)調(diào)概念之間的聯(lián)系，讓學(xué)生從整體上把握?qǐng)D形的內(nèi)在知識(shí)點(diǎn)。

三、準(zhǔn)確把握“底”和“高”，強(qiáng)化抽象思維

高是多邊形面積中的關(guān)鍵，無論是平行四邊形、三角形、梯形，當(dāng)?shù)撞辉谒椒较蛏蠒r(shí)，學(xué)生對(duì)高的判斷容易出錯(cuò)，這也是多邊形面積問題中的一個(gè)出錯(cuò)因素。也就是給水平方向上的邊畫高，學(xué)生不容易出錯(cuò)，而當(dāng)根據(jù)題意需要自己尋找合適的底和高時(shí)，準(zhǔn)確率會(huì)大幅下降。究其根本，是學(xué)生對(duì)平行四邊形特征理解不夠扎實(shí)，對(duì)垂直、平行等概念混淆不清，對(duì)高的理解錯(cuò)誤。這里主要反映了學(xué)生在學(xué)習(xí)多邊形概念時(shí)，并未對(duì)多邊形的特征有一個(gè)良好的認(rèn)知，導(dǎo)致學(xué)生出現(xiàn)多種概念性的錯(cuò)誤。

武漢小學(xué)教師陳瑩發(fā)表過文章，記錄一次學(xué)高的過程。她詳細(xì)地解釋了學(xué)高、畫高、感受高的過程。尤其在感受高方面，非常巧妙地讓學(xué)生接受了鈍角三角形的外高，接受了任意三角形都有三條高。她提到，學(xué)生在對(duì)鈍角三角形有無外高、線段能否延長(zhǎng)等問題上出現(xiàn)疑惑，而教師要給學(xué)生視覺沖擊，讓他們直觀地了解知識(shí)。

“高”是求幾何圖形面積的一個(gè)知識(shí)重難點(diǎn)，畫高應(yīng)從根本抓起，即在教學(xué)過程中讓學(xué)生加深對(duì)垂線段的理解。在各種表現(xiàn)形式中要突出事物的本質(zhì)特征，做好教學(xué)鋪墊，在操作中由點(diǎn)到面深刻理解，從而使學(xué)生對(duì)概念的理解達(dá)到越來越高的概括化程度。

四、提高學(xué)生對(duì)面積單位的認(rèn)識(shí)，持續(xù)提高計(jì)算能力

學(xué)生在面積單位上出錯(cuò)的并不少見。最普遍的是將長(zhǎng)度單位寫成面積單位，將長(zhǎng)度與面積混淆。另外是面積單位之間的換算。在面積單位大小上，有的學(xué)生不能很好辨認(rèn)，還有測(cè)量土地面積中使用的單位“公頃”“平方千米”以及長(zhǎng)度單位“里”“公里”易混用。因此，計(jì)算上的錯(cuò)誤也是解題出錯(cuò)的一個(gè)重要原因。

學(xué)生在計(jì)算上出現(xiàn)錯(cuò)誤，受該題的復(fù)雜度影響，往往容易顧此失彼，加大計(jì)算量也會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤率直接上升。面對(duì)這種現(xiàn)狀，很多教師會(huì)增加練習(xí)，通過反復(fù)做題來達(dá)到鞏固知識(shí)的目的。其實(shí)，這樣做往往效率不高，無法針對(duì)學(xué)生錯(cuò)誤的原因進(jìn)行正確指導(dǎo)。只有在理解知識(shí)點(diǎn)、理清內(nèi)在解題思路的同時(shí)，強(qiáng)化計(jì)算能力，才有助于學(xué)生提高自己解決問題的能力。

通過對(duì)以上錯(cuò)誤類型的分析，我發(fā)現(xiàn)在教學(xué)過程中，教師往往根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)來衡量教學(xué)質(zhì)量，而在數(shù)學(xué)教學(xué)中，可看到的普遍現(xiàn)象是，年級(jí)越高表現(xiàn)的平均成績(jī)?cè)降停@跟教材的編排不無關(guān)系。隨著年級(jí)上升，課程難度加深，內(nèi)容也相對(duì)抽象，而幾何內(nèi)容，對(duì)學(xué)生的抽象思維水平要求更高。

我認(rèn)為，在學(xué)習(xí)多邊形內(nèi)容時(shí)，教師不應(yīng)僅從概念上出發(fā)，而是應(yīng)該重視從直觀到概念的過渡教學(xué)。讓學(xué)生通過對(duì)實(shí)際物體的觀察、操作來加強(qiáng)對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)，使學(xué)生能實(shí)際體驗(yàn)圖形面積的概念。隨著教育理念的改革和發(fā)展，教學(xué)活動(dòng)從以教師為中心逐漸轉(zhuǎn)型為以學(xué)生為中心。教師要牢牢掌控?cái)?shù)學(xué)中多邊形面積的推導(dǎo)與轉(zhuǎn)化，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中把握知識(shí)本身，引導(dǎo)學(xué)生思維形成網(wǎng)絡(luò)，提高學(xué)生核心素養(yǎng)。