空間幾何體外接球問題的解題策略*

廣東省廣州大同中學(510545) 袁 安

學生解決“空間幾何體的外接球”問題較困難,其主要原因是學習的過程中對空間幾何體的外接球的概念沒有很好的理解,同時對空間幾何體外接球的性質沒有充分的認識.從而造成了學生解題方法與思路不清,模型的歸納模糊,遇到條件改變或新的背景時,學生沒法從概念出發(fā)去分析和解決新的問題.筆者通過類比教學,從圓的標準方程及圓的性質定理出發(fā),類比得到球的標準方程及球的性質定理,并類比確定圓心和半徑的方法得到確定球心及半徑的方法,并對空間幾何體的外接球問題進行了模型和方法的歸類,從而在本質上幫助學生解決問題.

一、利用類比教學,得到球的方程與性質定理

利用類比教學,引導學生通過類比,根據各自的定義,從平面圓的標準方程類比得到空間球的標準方程.

1.類比得出球的標準方程

平面圓變不變空間球圓的標準方程:(x?a)2+(y?b)2=r2把平面圖形“圓”變成空間幾何體的“球”動點到定點的距離為定值球的標準方程:(x?a)2+(y?b)2+(z?c)2=R2

2.類比得出球的兩個性質定理

?

3.類比得出公式

圓的性質公式變不變球的性質公式勾股定理:圓中半徑為r,弦長為AB,圓心到弦的距離為d,得到r2=d2+(AB 2)2平面圓的弦長變?yōu)榭臻g球中截面小圓的直徑,弦中點變?yōu)榻孛鎴A的圓心垂直關系勾股定理:球半徑R,小圓半徑r,球心到小圓圓心的距離為d,得到R2=r2+d2.

二、利用性質定理,歸納外接球的模型與解題策略

綜合應用上面得到的標準方程和性質定理,可以把幾何體的外接球問題歸納為以下四種模型,并針對各自模型找出最佳的方法進行解決.

(一)利用坐標系確定球心坐標

在空間幾何體的外接球中,若能較容易的建立空間直角坐標系,寫出幾何體不共面的四個頂點的坐標,由球的標準方程(x?a)2+(y?b)2+(z?c)2=R2,代入四個點的坐標,建立四個方程,再通過解方程組的代數思想,求出外接球的球心坐標與半徑,即可解決問題.

例1三棱錐S?ABC(圖1)在空間直角坐標系的坐標是A(0,0,0),B(0,4,0),C(2,6,0),S(2,2,4),求三棱錐S?ABC的外接球半徑.

圖1

分析本題中有不共面的四個頂點的坐標,特征明顯,可以直接通過解方程組求出球心坐標和半徑.

解設三棱錐S?ABC外接球方程為(x?a)2+(y?b)2+(z?c)2=R2,代入四個點坐標得

例2三棱錐的P?ABC(圖2)的各邊長分別是AB=3,AC=4,BC=5,PA=PB=求三棱錐的外接球表面積.

圖2

分析由條件可得△ABC為直角三角形,A、B、C三點坐標可以容易得到,又由三條弦長,可以求出P點坐標.如圖建立空間直角坐標系,A(0,0,0),B(3,0,0),C(0,4,0),P點坐標為P(x,y,z).由題目可知PA=解得x=2,y=3,z=5,點P坐標為(2,3,5),設三棱錐P?ABC外接球方程為(x?a)2+(y?b)2+(z?c)2=R2,代入得外接球表面積S球=4πR2=4π

此類模型的特點是:空間幾何體易建立空間直角坐標系,并能寫出空間幾何體不共面的四個頂點的坐標,建立方程組,解出球心與半徑.這種模型的題目,方法容易掌握,但計算過程較繁雜,對解方程組的要求較高.

(二)利用線面交點確定球心

由前面的圖式得到了球的兩個性質:(1)球中過截面圓心且垂直于截面的直線過球心;(2)球中垂直平分弦的平面過球心.因此得到結論:過多面體中一個面的外接圓圓心的垂線與一棱的中垂面交點為球心,即利用線與面的交點確定球心.

直棱柱(圓柱)中,上下底面外接圓圓心的連線(垂直上下底面)過球心,又因側棱(母線)的中垂面過球心,所以球心就是直棱柱(圓柱)的上下底面外接圓圓心的連線的中點.如:正三棱柱(圖3),底面邊長為a,高為h,底面外接圓半徑O1,O2為上下底面的外接圓圓心,則球心O為線段O1O2的中點,則其外接球半徑為因此直棱柱(圓柱)的底面外接圓半徑r,高為h,則其外接球半徑為R=

圖3

根據球的兩個性質可知非直棱柱無外接球,因為過上下底面外接圓圓心的垂線,相互平行,無交點(如圖4),所以沒有任何一點(球心)到上下各頂點的距離相等,所以斜棱柱無外接球.同理上下底面外接圓圓心連線不垂直于上下底面的棱臺也沒有外接球.

由線與面的交點確定球心的方法可知,如果棱錐的外接球能轉化為直棱柱的外接球問題,則可直接利用上面的公式求解出外接球的半徑.其主要的應用有下面兩種模型:

圖4

應用一:有一條側棱與底面垂直的棱錐

例3三棱錐A?BCD(圖5)中,AB⊥平面BCD,CD⊥BD,且BD=2AB=2DC=2,求三棱錐A?BCD外接球的半徑.

分析由于AB⊥平面BCD,因此在三棱錐的基礎上可構造一個三棱柱,使之有相同的外接球,即可用上面的公式求解,其外接球半徑

圖5

此類模型的特點是:當棱錐有一條側棱垂直于底面時,都可以把該棱錐還原到直棱柱中,利用R=求得其外接球半徑,其中r為底面的外接圓半徑,h為該側棱的長度.

應用二:對棱相等的三棱錐

有些三棱錐雖然沒有側棱和底面垂直,但是三組對棱長度分別相等,仍然可以把它放到柱體(長方體)中進行求解.

例4求棱長為a的正四面體A—BCD的外接球的半徑.

分析三棱錐中,所有棱長都相等,可以還原到正方體中,四面體的棱長是正方體的面對角線,長為a,所以正方體的棱長為即可求出外接球半徑

變式1三棱錐A—BCD(圖6)中,AC=BD=6,其余棱長均為5,求三棱錐A—BCD的外接球的半徑.

分析三棱錐可以還原到正四棱柱中,可以得到上下面的正方形對線長為6,四個側面的對角線分別為5,從而底面邊長為高為所以正四棱柱的體對角線的一半為即三棱錐外接球半徑為

圖6

變式2三棱錐A—BCD中AC=BD=5,BC=AD=6,AB=CD=7,求三棱錐A—BCD外接球的半徑.

分析可以還原到長方體中,可以得到上下底面長方形的對角線長為5,左右長方形的對角線的長為6,前后面的長方形的對角線的長為7,通過解方程組求出長寬高,利用公式即可求出外接球半徑

此類模型的三棱錐的特點是:三組對棱長度分別相等.當這三組對棱長度都相等時,可以放到正方體中求解;當這三組長度有兩組相等時,可以放在正四棱柱中求解;當這三組長度都不等時,可以放在長方體中求解.

(三)利用線線交點確定球心

由球的性質1:過截面圓心且垂直于截面的直線過球心,可知過多面體兩個不平行平面外接圓圓心的垂線的交點為球心,即線線交點確定球心.

例5在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,沿AC將矩形ABCD折成一個直二面角B?AC?D(如圖7),求四面體ABCD的外接球的半徑.

分析如圖7,直角三角形ABC與直角三角形ACD的外接圓的圓心均為斜邊中點O,所以過O點作兩平面的垂線,其交點是點O,所以O是外接球的球心,AC=2R=5,R=2.5.

圖7

若例5中沿AC將矩形ABCD折成一個二面角B?AC?D,其平面角大小為θ(0<θ<π),則四面體ABCD的外接球半徑顯然是沒有改變的.本題可以推廣為一個重要結論:三棱錐由有公共斜邊的直角三角形構成的,這個公共斜邊是球的直徑.

例6三棱錐的A?BCD中,三角形ABD與三角形CBD為等邊三角形,BD=2,二面角A?BD?C的平面角大小為60?,(如圖8)求三棱錐A?BCD外接球半徑.

圖8

分析三棱錐A?BCD(圖9)的球心在過底面正三角形BCD的中心O1的垂線l1上,球心又在過正三角形ABD的中心O2的垂線l2上,兩直線的交點O為外接球球心.BD的中點E,OD為球的半徑R,所以EO1=EO2=OE=所以R=

圖9

此類模型的特點是:幾何體中可求出兩個面的二面角大小以及公共棱長度,兩個面的外接圓半徑,(線線交點確定球心的方法).如圖9,如果二面角A?BD?C的平面角大小為θ,△CBD和△ABD外接圓半徑分別為r1,r2,設BD=2a,則由余弦定理求出O1O2的長度,再由EO1OO2四點共圓,OE為外接圓直徑,正弦定理得

(四)利用高線、方程確定球心

在正棱錐與旋轉體中,由球的性質1:過底面圓心且垂直于截面的直線(高線)過球心及頂點,再構建直角三角形,利用勾股定理建立方程求解并確定球心位置.

例7正三棱錐S?ABC的底面邊長為6,側棱長為5,求該正三棱錐外接球的半徑.

分析如圖10,△ABC的外心是O1,SO1⊥面ABC,則球心在直線SO1上.

解設外接球半徑為R,O1為面ABC的中心,則SO1是正四面體S?ABC的高,且外接球的球心O在SO1上,因AB=6,所以又因SA=5,所以則在三角形AOO1中,由勾股定理得解得

圖10

此類模型的特點是:過底面外接圓圓心且垂直于底面的直線(高線)過正棱錐的頂點與球心,利用圓心與球心及底面的一個頂點構成一個直角三角形,用勾股定理解出半徑.同理,圓臺(棱臺)的外接球球心的位置在過上下底面外心的連線(高線)上,再利用球心到上下頂點的距離相等,建立兩個方程,用方程的思想求出半徑,從而求解.因此可以用上面的方法求出旋轉體的外接球半徑計算公式:

圖11

三、小結

本文利用類比教學得到空間球的標準方程和平面截球的兩個重要幾何性質及一個重要的數學公式,并根據性質的使用情況將空間幾何體的外接球問題歸納為四種類型進行解決,提高學生的建模能力,幫助學生把所學的知識進行內部聯(lián)系分類,把它們連成線,結成網,使所學知識系統(tǒng)化,網絡化,模型化.