借助幾何直觀模型促進數(shù)學建模素養(yǎng)

章國菲

摘 要：《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》提出將模型作為學生的核心素養(yǎng)。模型思想是數(shù)學基本思想之一，模型的產(chǎn)生、發(fā)展、形成的過程，是數(shù)學知識建立和應用的過程，也是兒童數(shù)學學習展開、推進、提升的過程。本文將小學幾何直觀能力發(fā)展大致分為四個階段：孕育階段、過渡階段、萌發(fā)階段、生長階段。各個階段培養(yǎng)的側(cè)重點應有所不同，本文基于小學數(shù)學實踐，嘗試對不同水平的建模素養(yǎng)以二年級除法單元教學為例進行解釋探討。

關鍵詞：數(shù)學建模；幾何直觀；核心素養(yǎng)

數(shù)學核心素養(yǎng)是具有數(shù)學基本特征的、適應個人終生發(fā)展和社會發(fā)展需要的關鍵能力與思維品質(zhì)?！读x務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》提出了十大核心詞：數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運算能力、推理能力、模型思想、應用意識和創(chuàng)新意識。其中，幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。這里的解釋并非嚴格的概念界定，但我們可以從中把握幾個關鍵特征：其一，幾何直觀是一種描述和解決數(shù)學問題的方法，它與“直觀幾何”的區(qū)別在于，后者是指幾何學中的一個研究領域，主要研究包括認識圖形，進行立體圖形與平面圖形的轉(zhuǎn)換等內(nèi)容。其二，“幾何”二字應理解為研究工具，即幾何直觀是借助幾何圖形的形象關系來研究問題的，這就體現(xiàn)了與實物直觀（以實物為直觀工具，如小棒，正方體盒子，茶杯等）的差異。

要想使學生有效建構模型，首先要引導學生從生活原型中提煉出數(shù)學模型，并在初步感知模型的基礎上逐步向建構模型過渡。而幾何直觀無疑是幫助學生直接感知模型的有效載體。

環(huán)節(jié)一：借助幾何直觀，孕育模型

幾何直觀能力的孕育階段主要是指一、二年級。這個階段的兒童以動作思維、形象思維為主，數(shù)學學習很大程度上依賴直觀教學。這時的直觀教學主要借助實物、圖片、符號等直觀載體，從嚴格意義上講還不能稱之為幾何直觀，因而適當進行抽象和提煉，由實物、符號直觀逐步向圖形直觀過渡，模型思想主要體現(xiàn)在從實際問題中抽象出數(shù)量以及用數(shù)量關系解決問題的過程中。

尋找圖形代替實物，表征除法算式的意義。

課件出示情境圖，小朋友們仔細觀察，并引出問題。

提問：觀察主題圖，你知道了哪些信息？

生：要把12個蘋果分成三堆，每堆一樣多。

師：當我們沒有蘋果的時候該怎么辦？可以用什么代替它？如果用圓片，需要幾個圓片，為什么？

生：用圓片，因為蘋果是圓的。要和蘋果的數(shù)量一樣多，就是12個。

師：除了圓片，還可以用什么代替？只要怎么樣就可以？

生：用三角形的卡片。數(shù)量要和蘋果的數(shù)量一樣。

師：請從盒子里拿出你需要的材料來分一分。

以上環(huán)節(jié)，從幾何直觀的角度看，由實物抽象出數(shù)量，并且一一對應。除法在應用時一般出現(xiàn)兩種情況：一種是把一個數(shù)按每幾個分成一份，求分成幾份；另一種是把一個數(shù)平均分成幾份，求每份是多少。由于問題角度不同，因此引出分的方法也不同，但所分得的每份是均等的，因此建立除法的基本模型是把一些物體進行平均分。

環(huán)節(jié)二：借助幾何直觀，過渡模型

直觀是對事物的直接判斷，是屬于經(jīng)驗層面的。從某種意義上來說，幾何直觀就是數(shù)學活動經(jīng)驗不斷積累所形成的數(shù)學素養(yǎng)。數(shù)學活動經(jīng)驗主要包括兩類：即實踐的經(jīng)驗和思維的經(jīng)驗，兩者都有賴于學生參與數(shù)學活動，獲得切身的過程性體驗。這個環(huán)節(jié)是學生建立數(shù)學模型的重要階段。

畫圖表征除法算式的意義

師：同學們，我們已經(jīng)學過了除法，出示除法算式“18÷6=3”，這道除法算式表示什么意思？你能不能畫圖表示？

（1）學生畫圖表示18÷6=3的意思。

（2）收集學生不同的作品進行展示。

在這一環(huán)節(jié)中，教師先組織學生完成畫圖，引導學生整體觀察，自主發(fā)現(xiàn)畫圖這一解決問題的實用性，又讓學生體會到玩數(shù)學、發(fā)現(xiàn)數(shù)學的樂趣。而通過畫圖表征，可以直觀形象地解釋“等分除”與“包含除”，幫助學生理解除法算式的意義。

練習鞏固環(huán)節(jié)，筆者選擇了對比練習和題組訓練，讓學生嘗試練習，并在練習的過程中抽概括轉(zhuǎn)化，靈活運用除法模型，讓學生意識到數(shù)學模型的價值，體會形式變，本質(zhì)不變，從而培養(yǎng)數(shù)學模型素養(yǎng)。

學生獨立練習、核對，分析算式表示的意思。教師引導體會解決問題的三步驟：知道了什么？怎么解答？解答正確嗎？不同的練習有不同的定位目標。此題重在對比分析，鞏固平均分的兩種分法，加深對除法算式意義的理解，同時滲透完整的應用解題過程。

題組訓練

（1）猴媽媽給4只小猴分桃子，每只小猴分到6個桃，猴媽媽一共有幾個桃？

（2）猴媽媽有24個桃子，被小猴吃了4個，現(xiàn)在還有幾個桃子？

（3）猴媽媽有24個桃子，平均分給4只小猴，每只小猴分到幾個？

（4）猴媽媽原來有24個桃子，又買來4個桃子，現(xiàn)在有多少個桃子？

學生獨立完成以上的加減乘除一步計算問題，重點分析為什么可以用除法計算。

在以上教學中，教師不僅僅滿足于能正確解決這個問題，而是結合學生的解題思路，用幾何直觀去解決問題。實踐證明，在小學數(shù)學規(guī)則教學中借助幾何直觀，不僅可以豐富學習材料的呈現(xiàn)方式，提高學生的學習興趣，拓寬學生解決問題的視野，更重要的是通過“式”與“形”的一一對應，以及做實做厚規(guī)則教學過程，提升建模素養(yǎng)。

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）[Z].北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]盧江，楊剛主編.義務教育教科書：數(shù)學（一至二年級）[M].北京：人民教育出版社，2014.

[3]袁曉平.畫出來的精彩——培養(yǎng)畫圖解題能力的教學思考[J].教學月刊小學版（數(shù)學），2011（3）.