例談因式分解的方法

郭武義

摘 要 典型題目編制，適時(shí)有效的課堂應(yīng)用訓(xùn)練，會(huì)使學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解、掌握有很大的幫助和提高，提高了課堂學(xué)習(xí)效率。

關(guān)鍵詞 有效命題 課堂訓(xùn)練題的有效性

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

因式分解和整式的乘法是互逆運(yùn)算，利用整式的乘法運(yùn)算，可以將幾個(gè)整式的乘積化為一個(gè)多項(xiàng)式的形式。反過(guò)來(lái)，在式的變形中，有時(shí)需要將一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的乘積的形式。本文將通過(guò)實(shí)例探討因式分解的方法。

1提取公因式法

1.1典例精析

例1：因式分解：（1）16x2y3+8x2y2z-12xy2z；

（2）15x（x-2y）3-20y（2y-x）3。

分析：第（1）小題的關(guān)鍵是確定公因式。公因式的確定方法：對(duì)于數(shù)字取各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)，對(duì)于字母（含字母的多項(xiàng)式），取各項(xiàng)都含有的字母（含字母的多項(xiàng)式），相同的字母（含字母的多項(xiàng)式）的指數(shù)，取次數(shù)最低次冪，它們的乘積就是各項(xiàng)的公因式；第（2）小題先將（x-2y）3和（2y-x）3化成同底數(shù)冪，再提取公因式，變形時(shí)注意符號(hào)。

解：（1）原式=4xy2（4xy+2xz-3z）

（2）原式=15x（x-2y）3+20y（x-2y）3=5（x-2y）3（3x+4y）

例2：已知2x-y=，xy=2，求2x4y3-x3y4的值。

分析：先分解因式，再代值計(jì)算。

解：原式=x3y3（2x-y）=（xy）3（2x-y）

=23？

1.2跟蹤訓(xùn)練

因式分解：（1）a2b3c+2ab2c3-ab2c；

（2）x（5-x）+2（x-5）；

利用分解因式計(jì)算：86？01.5+33？01.5-19？01.5。

2公式法因式分解

2.1例題精析

例1：用平方差公式分解因式：

（1）a2y-16y； （2）（x+2）2-1； （3）y4-1。

分析：不能直接用平方差公式分解的，應(yīng)考慮能否通過(guò)變形，創(chuàng)造應(yīng)用平方差公式的條件。對(duì)于二項(xiàng)式的多項(xiàng)式因式分解，有公因式的先提公因式，然后再運(yùn)用平方差公式；分解因式要徹底，一直要分解到不能分解為止，使每個(gè)因式不能含有還能繼續(xù)分解的因式。

解：（1）原式=y（a2-16）=y（a+4）（a-4）

（2）原式=（x+2+1）（x+2-1）=（x+3）（x+1）

（3）原式=（y2+1）（y2-1）=（y2+1）（y+1）（y-1）

例2：已知x+y=3，x2-y2=6，求x，y的值。

分析：先將x2-y2分解因式后求出x-y的值，再與x+y組成方程組求x，y的值，這個(gè)題目是因式分解和方程組知識(shí)小綜合題目，在課堂上訓(xùn)練此類(lèi)題目學(xué)生會(huì)提高學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)的能力。

解：依題意，得

（x+y）（x-y）=6.∴x-y=2

∴∴

例3：用完全平方公式分解因式：

（1）x2+xy+y2；

（2）（a2-2a）2+2（a2-2a）+1.

分析：完全平方公式：a2？ab+b2=（a眀）2，即兩個(gè)數(shù)的平方加上（或減去）這兩個(gè)數(shù)的乘積的2倍，等于這兩個(gè)數(shù)的和（或差）的平方。其中a2？ab+b2叫完全平方式，完全平方式其中有兩項(xiàng)能寫(xiě)成兩個(gè)數(shù)或兩個(gè)式子的平方的形式，且符號(hào)相同，另一項(xiàng)為這兩個(gè)數(shù)或兩個(gè)式子積的2倍或2倍的相反數(shù)。第（1）題先找準(zhǔn)是哪兩個(gè)數(shù)的平方和，既確定公式中的a、b，再判斷是否符合完全平方式結(jié)構(gòu)；第（2）小題先要把括號(hào)里的式子看作一個(gè)整體，分解后要繼續(xù)分解到不能分解為止。

解：（1）原式=（x+y）2

2）原式=（a2-2a+1）2=[（a-1）2]2=（a-1）4。

例4：已知 x+ =8，求：

（1）x2+的值； （2）（x- ）2的值。

分析：這里需要活用公式，如x2+=（x+ ）2-2，（x- ）2=（x+ ）2-4將兩個(gè)完全平方公式進(jìn)行互相轉(zhuǎn)化。這里有（a-b）2=（a+b）2-4ab的應(yīng)用。

解：（1）x2+=（x+ ）2-2=82-2=62。

（2）（x- ）2=（x+ ）2-4=82-4=60。

例5：已知|x-2︱+y2 -y+ =0，求yx的值。

分析：先分解因式得到兩個(gè)非負(fù)數(shù)的和，再根據(jù)絕對(duì)值和完全平方數(shù)的非負(fù)性求出a，b。既若幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和等于0，則這幾個(gè)非負(fù)數(shù)同時(shí)等于0。

解：依題意，得|x-2︱+（y-）2=0

∴ ∴

∴yx=（）2=

完全平方公式應(yīng)用總結(jié)：（1）注意完全平方式有兩個(gè)；（2）用完全平方式分解因式，關(guān)鍵在于觀察各項(xiàng)之間的關(guān)系，配湊公式a2？ab+b2=（a眀）2中的a、b。

2.2跟蹤訓(xùn)練

（1）因式分解 ：

③x5-x； ④（x+2y）2-4（x-y）2。

（2）因式分解：

①（a2-4a）2+8（a2-4a）+16； ②3x2-18x+27；

③x2+xy+y2。

（3）利用因式分解計(jì)算：1022+102？96+982。

（4）如果x2+mxy+36y2是一個(gè)完全平方式，那么m的值是________。

3十字相乘法因式分解

新人教版八年級(jí)上冊(cè)教材中x2+（p+q）x+pq型式子的因式分解也叫做十字相乘法因式分解，也叫做二次三項(xiàng)式因式分解，通常有兩種類(lèi)型。利用十字相乘法分解因式，實(shí)質(zhì)上是逆用（px+m）（qx+n）豎式乘法法則.它的一般規(guī)律分兩種類(lèi)型。

類(lèi)型1：對(duì)于x2+bx+c，若c=pq， b=p+q，則x2+bx+c=x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）。

3.1例題精析

例1：把下列各式分解因式：

（1）x2+8x+7；（2）x2-3x+2。

分析：（1）常數(shù)項(xiàng)7可分為1？，且1+7=8恰為一次項(xiàng)系數(shù)；

（2）常數(shù)項(xiàng)2可分為（-1） ？-2），而（-1）+（-2）=-3恰為一次項(xiàng)系數(shù)。

解：（1）x2+8x+7= x2+（1+7）x+1？=（x+1）（x+7）；

（2）x2-3x+2= x2+（-1-2）x+（-1） ？-2）=（x-1）（x-2）

類(lèi)型2：對(duì)于ax2+bx+c，若a=pq，c=mn，b=pn+qm，其中a﹥0，p﹥0，q﹥0，則ax2+bx+c=pq x2+（pn+qm）+mn=（px+m）（qx+n）

例2：把下列各式分解因式：

（1）2x2+5x-7；（2）3x2+11x+6。

分析：我們要把多項(xiàng)式ax2+bx+c分解成形如（px+m）（qx+n）形式。二次項(xiàng)系數(shù)不等于1的二次三項(xiàng)式應(yīng)用十字相乘法分解時(shí)，二次項(xiàng)系數(shù)的分解和常數(shù)項(xiàng)的分解隨機(jī)性較大，往往要試驗(yàn)多次，這是用十字相乘法分解的難點(diǎn)，要適當(dāng)增加練習(xí)，積累經(jīng)驗(yàn)，才能提高速度和準(zhǔn)確性.具體的方法是“一拆二加三橫寫(xiě)”。如第（1）小題“一拆”為：

十字交叉相乘相加即“二加”為2？-1）+1？=5，“三橫寫(xiě)”為 （2x+7）（x-1）。這里也可以概括為“拆兩頭，湊中間”。

解：（1）2x2+5x-7=（2x+7）（x-1）；

（2）3x2+11x+6=（x+3）（3x+2）。

3.2跟蹤訓(xùn)練

將下列多項(xiàng)式分解因式：

（1）x2-7x+6； （2）3x2+2x-1； （3）x2+5x-6；

（4）4x2-5x-9； （5）15x2-23x+8； （6）x4+11x2-12。

4結(jié)語(yǔ)

課堂上師生共同探討完成例題解答，讓學(xué)生獨(dú)立完成跟蹤訓(xùn)練，教師答疑指導(dǎo)。典型題目編制，適時(shí)有效的課堂應(yīng)用訓(xùn)練，會(huì)使學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解、掌握有很大的幫助和提高，提高了課堂學(xué)習(xí)效率。本文內(nèi)容在實(shí)施教學(xué)過(guò)程中要分幾個(gè)課時(shí)進(jìn)行。

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