關(guān)于“垂直與平行”教學(xué)的思考與實踐

翁海平 王瑛

[摘 要]平行線的定義以及畫法一直是教學(xué)的難點。從多個方面分析出現(xiàn)此類現(xiàn)象的原因，通過思考現(xiàn)行教材對平行線的定義是否合理，該如何定義，以及如何溝通定義與平行線畫法之間的聯(lián)系，幫助學(xué)生建立正確的平行概念，讓學(xué)生從概念出發(fā)去理解平行線的畫法，讓畫平行線不再是機械的模仿。

[關(guān)鍵詞]平行;畫平行線;合理定義;教材重組;溝通聯(lián)系

[中圖分類號] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A[文章編號] 1007-9068（2019）08-0016-02

“垂直與平行”是小學(xué)幾何學(xué)習(xí)，尤其是四邊形知識中的一個重要內(nèi)容。為此，無論哪個版本的教材，對這個內(nèi)容都非常重視，編寫也各具特色。下面列舉了幾個版本教材對這一內(nèi)容不同的處理方式。（見下表）

[ 教學(xué)內(nèi)容安排 平行線的定義 人教版實驗

教材 平行與垂直;畫垂線;畫平行線。 在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線互相平行。 蘇教版實驗

教材 平行;畫平行線;垂直;畫垂線。 在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線互相平行。 現(xiàn)代小學(xué)新數(shù)學(xué)讀本 相交與垂線;畫垂線;平行和平行線。 在同一平面內(nèi)，不相交的兩直線叫作平行線。 上海二期課改教材 垂直;畫垂線;平行;畫平行線。 垂直于同一條直線l的兩條直線a和b，它們之間的距離是相等的，也就是它們之間的寬是一樣的，它們是互相平行的。 西南師大版教 材 垂直;畫垂線;平行;畫平行線。 在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線叫作平行線，組成平行線的兩條直線互相平行。 新世紀(jì)小學(xué)數(shù)學(xué)教材 在平移的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)平行;相交與垂直。 只是從生活模型中抽象出平行的兩條直線，沒有定義，只說鉛筆平移后是互相平行的。 ]

結(jié)合教材的演變，將幾套教材進(jìn)行對比分析，可以發(fā)現(xiàn)兩個特點：

1.對同一教學(xué)內(nèi)容安排的教學(xué)順序各不相同。西南師大版教材、現(xiàn)代小學(xué)新數(shù)學(xué)讀本、上海二期課改教材都是先教學(xué)垂線和畫垂線，再教學(xué)平行線和畫平行線。而新世紀(jì)小學(xué)數(shù)學(xué)教材是在平移的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)平行。其他幾個版本的教材都是先教學(xué)平行和垂直的概念，再教學(xué)畫垂線和平行線。

2.對平行的定義也有不同之處。如西南師大版教材、人教版教材、蘇教版教材、現(xiàn)代小學(xué)新數(shù)學(xué)讀本均采用“同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線互相平行”來定義。現(xiàn)代小學(xué)新數(shù)學(xué)讀本在西南師大版教材的基礎(chǔ)上，明確提出“兩條平行線之間的距離處處相等”。上海二期課改新教材是從兩條直線間的距離相等來定義的，繞開“平面”的概念：“像這樣垂直于同一條直線的兩條直線，它們之間的距離是相等的，也就是它們之間的寬是一樣的，它們是互相平行的?！倍率兰o(jì)小學(xué)數(shù)學(xué)教材中沒有給平行下定義，只是讓學(xué)生在感受生活和具體操作（平移鉛筆）中初步感受平行。

同樣教學(xué)“垂直與平行”，但在內(nèi)容設(shè)置以及概念的定義上，卻存在這樣大的差異，對于學(xué)生來說，學(xué)習(xí)難點又有哪些呢？人教版實驗教材的教參是這樣描述的：這一單元涉及許多作圖的內(nèi)容，如畫垂線和平行線、畫長方形和正方形、畫平行四邊形和梯形的高等，對于四年級的學(xué)生來說，這些都有一定的難度。對此，筆者對已學(xué)過相關(guān)知識的222位五年級學(xué)生進(jìn)行了后測，后測數(shù)據(jù)如下：

從數(shù)據(jù)來看，學(xué)生對于這一單元技能操作掌握情況非常不錯。為此，筆者對學(xué)生進(jìn)行了訪談，重點放在他們畫平行線和畫垂線的過程。訪談結(jié)果顯示，學(xué)生畫垂線的方法正確，而且92.5%的學(xué)生能清楚說明為什么利用三角板畫垂線——因為三角板中有現(xiàn)成的直角，由此可知學(xué)生對垂線的學(xué)習(xí)比較到位。

隨后又對畫平行線正確的218人進(jìn)行了訪談。

從畫好的平行線的結(jié)果來看，正確率達(dá)到了98.20%，而從學(xué)生的操作方法來看，按照教材上提供的方法畫的學(xué)生有60.55%，用其他方法畫的學(xué)生約40%。對60.55%的學(xué)生做進(jìn)一步的訪談，發(fā)現(xiàn)他們基本不知道這樣畫出來的為什么是平行線，不知道這樣操作的本質(zhì)是什么。

一、思考

1.學(xué)生能真正理解“在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線互相平行”嗎

小學(xué)屬于幾何概念的引入階段。國際上公認(rèn)：對幾何概念的引入處理，應(yīng)該讓兒童通過操作活動或其他的一些行為來進(jìn)行，而這些操作活動和行為必須是能夠幫助學(xué)生抽象出這一概念的。

大家都知道，歐氏幾何的平行公理是不能在實踐中檢驗的。定義是由公理體系導(dǎo)出的，自然，平行線的定義“在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線”也無法通過操作活動和行為來使學(xué)生理解。因為學(xué)生無法每次都準(zhǔn)確地延長一條直線至隨心所欲的長度，因此雖然知曉延長的含義，但“任意延長，永不相交”卻無法在具體的活動中實踐，也就是無法通過操作抽象出“平行”的概念。由此，在小學(xué)階段對平行線所下的“在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線叫作平行線”這一定義是不妥當(dāng)?shù)摹?/p>

“平面”是中學(xué)才出現(xiàn)的概念，即使是初中的教材，也沒有下“平面”的定義，只能使用“教室的墻面，課桌的桌面，平靜的水面”“平面是平的，無邊無際”等來描述，以使學(xué)生初步感知平面。顯然，小學(xué)教材中更不宜出示“平面”的正式定義。

2.應(yīng)該如何合理定義

經(jīng)過數(shù)十年對“如何進(jìn)行‘平行概念的教學(xué)”的研究，多數(shù)人認(rèn)為在四五年級進(jìn)行“平行”概念的教學(xué)時，需要一個切實可行的、能夠從具體活動中抽象出“兩條直線互相平行”的活動。歐洲和亞洲的大部分國家的專家都認(rèn)為：在平面幾何學(xué)中，此定義確實是可操作的定義。德國、日本、韓國以及中國臺灣對平行線的定義大致有兩種處理方法：第一種是用“像這樣（在同一紙面上）垂直于同一直線的兩條直線是平行的”，第二種是用“兩條直線總是有相同的距離，則這兩條直線是平行的”。筆者更傾向于第二種，因為兩條直線距離處處相等是平行的本質(zhì)特征，要判斷兩條直線是否平行，就先要動手測量它們之間的距離，然后進(jìn)一步在操作的基礎(chǔ)上抽象出概念。

3.溝通平行線的定義和平行線的畫法之間的聯(lián)系

正確畫平行線的一般步驟是：（1）固定三角尺，沿一條直角邊先畫一條直線;（2）用直尺緊靠三角尺的另一條直角邊，固定直尺，然后平移三角尺;（3）再沿第一步中的直角邊畫出另一直線。為了讓學(xué)生更好地掌握平行線的畫法，教師在教學(xué)過程中通常把畫平行線的步驟簡縮為三步：（1）靠;（2）移;（3）畫。這三個步驟看起來容易，學(xué)生掌握起來卻很難，總需要教師反復(fù)強調(diào)才學(xué)會畫平行線。筆者對畫法正確的學(xué)生進(jìn)行了訪談：“你怎么知道這樣畫出的直線就是已知直線的平行線？”學(xué)生均回答：“老師說的?！庇纱丝梢?，現(xiàn)行教材中建立起來的平行概念和平行線的畫法不利于學(xué)生理解操作的本質(zhì)，他們只是依樣畫瓢，機械操作。真可謂知其然而不知其所以然。

因此，從平行線的本質(zhì)下定義“兩條直線間的距離相等，這兩條直線是互相平行的”，然后利用這個定義去溝通畫平行線的方法，讓學(xué)生理解操作的本質(zhì)，知道畫已知直線的平行線其實就是畫一條和已知直線距離處處相等的直線，這樣教學(xué)將有助于學(xué)生更好地理解平行的概念以及畫法。

二、實踐

有了對“垂直與平行”后測數(shù)據(jù)的分析以及對各教材的深入理解和把握，筆者進(jìn)行了教學(xué)嘗試。

1.教學(xué)目標(biāo)的合理定位

既然學(xué)生無法想象延長兩條直線，以及無法理解平面的概念，筆者就將平行線的概念定義為“兩條直線間的距離相等，這兩條直線是互相平行的”，讓學(xué)生在直觀的操作中理解平行，再建立起畫平行線和平行概念之間的聯(lián)系，讓學(xué)生從真正意義上理解平行。

2.教材重組

平行線的定義要講到距離，也就說垂直和畫垂線是學(xué)習(xí)平行線的基礎(chǔ)。因此，筆者對教材的內(nèi)容進(jìn)行了重組，將垂直的概念和畫垂線放在平行教學(xué)之前。先教學(xué)垂直的概念，以及用直尺畫垂線，再教學(xué)平行線的概念和畫法。這樣教學(xué)可以避免第一課時純概念課教學(xué)時間緊張以及學(xué)生難以接受等問題。

3.教學(xué)過程

（1）引出平行線

教師出示第①組直線，提問：“這組直線中藏著一個秘密。你能找出來嗎？”

雖然學(xué)生較難說出這組直線里藏著的秘密，但已經(jīng)開始思考。教師接著出示第②組直線，引導(dǎo)學(xué)生比較：“兩組直線有什么不同？”有了第②組直線做依托，學(xué)生會猜第①組直線之間的距離處處相等，然后畫多條垂線，量得這兩條直線間的距離總是相等。此時教師再用多媒體動態(tài)演示這兩組直線延長后的情況，得出定義：“像這樣，兩條直線間的距離相等，這兩條直線是平行的。”

（2）建立畫圖與概念之間的聯(lián)系

引出平行線的概念以后，教師應(yīng)該放手讓學(xué)生嘗試畫一組平行線。學(xué)生在嘗試過程中能找到多種畫平行線的方法。如利用直尺的兩條邊、本子上的平行格子、從平行線的定義出發(fā)等。接著，教師讓學(xué)生畫出距離5厘米的一組平行線，學(xué)生自然能發(fā)現(xiàn)利用直尺的兩條邊和本子上的平行格子畫平行線方法上的缺陷。教師進(jìn)一步詢問：“從平行線的定義出發(fā)畫的兩條直線真的一定互相平行嗎？”使學(xué)生明白這種簡便方法的操作原理是什么。

教學(xué)結(jié)束后，對我校四年級的四個班的學(xué)生的學(xué)習(xí)情況進(jìn)行了統(tǒng)計：55.9%的學(xué)生通過畫直線的兩條相等的垂線來畫平分線;22.7%的學(xué)生借助了尺子的兩條平行邊畫平行線;5.9%的學(xué)生在課前已經(jīng)知道畫平行線的步驟，他們是按照書上方法畫出平行線;15.5%借助了數(shù)學(xué)草稿本上的平行格子畫出平行線。

從數(shù)據(jù)來看，55.9%會嘗試著通過畫直線的兩條相等的垂線來畫平行線，足以說明學(xué)生對平行概念已有一定的理解和把握。可見，改變定義，從平行線的本質(zhì)入手，對學(xué)生將來的學(xué)習(xí)是有利的。

（責(zé)編 金 鈴）