從裂項(xiàng)法求“差比型數(shù)列”之和說開去

廣東省廣州大學(xué)附屬中學(xué)(510050) 韓智明

本文中,“差比型數(shù)列”是指：一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列之積所形成的數(shù)列,即當(dāng)數(shù)列{an}.{bn}分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列,則數(shù)列{an·bn}就是筆者所說的“差比型數(shù)列”.筆者從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)近二十年,每當(dāng)給學(xué)生講授利用錯(cuò)位相減法進(jìn)行“差比型數(shù)列”求和時(shí),總是伴隨著一種困惑：感覺學(xué)生對(duì)這種數(shù)列求和方法很容易聽懂和理解,其原因是錯(cuò)位相減法求“差比型數(shù)列”的和有固定的求解模式,在大量的此類方法訓(xùn)練題中,學(xué)生套用這種機(jī)械的固有解題模式,解題方向和目標(biāo)一致,容易掌握其法則和步驟.而效果呢? 結(jié)果是錯(cuò)位相減法求和計(jì)算量大,經(jīng)常容易出錯(cuò).運(yùn)用錯(cuò)位相減法求“差比型數(shù)列”的和要求學(xué)生有很強(qiáng)的計(jì)算能力,加上我們一再強(qiáng)調(diào)該類型數(shù)列求和只能用錯(cuò)位相減法來解決,所以學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)遇到此類問題時(shí),就抱定自古華山一條路的決心,戰(zhàn)戰(zhàn)兢兢地走下去.

目前大部分省市參加全國新課標(biāo)卷考試,數(shù)列知識(shí)和三角知識(shí)常常作為第一個(gè)大題交替出現(xiàn),數(shù)列知識(shí)特別是對(duì)錯(cuò)位相減求和的考查成為不可或缺的部分,其地位顯得尤為重要.筆者發(fā)現(xiàn)在大量的數(shù)學(xué)雜志中,較多的老師撰文對(duì)用裂項(xiàng)相消法求“差比型數(shù)列”的和作了較為完整的研究和探索.

綜合大家的“差比型數(shù)列”求和方法,下面給出用裂項(xiàng)相消法求“差比型數(shù)列”的通式：

已知數(shù)列cn=an·bn,其中{an}是等差數(shù)列,{bn}是等比數(shù)列,設(shè)cn=anbn=(kn+b)b1qn-1=(kb1n+bb1)qn-1(其中0,q是等比數(shù)列的公比),因?yàn)閗b1n+bb1是關(guān)于n的一次式,于是設(shè)

把A,B的值代入 ①各項(xiàng)相消即得“差比型數(shù)列”的前n項(xiàng)和公式：

其中A,B由(2)式確定.

例題強(qiáng)化

例1 (2013年高考山東理科第20 題)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且S4=4S2,an+1=2an+1.

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

(2)設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn,且(λ為常數(shù)).令cn=b2n(n ∈N?),求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Rn.

解析(1)an=2n-1,(n ∈N?)(過程略).

(2)由題意知：所以當(dāng)n≥2 時(shí),故cn=由

所以

點(diǎn)評(píng)此法利用等差數(shù)列{an}為關(guān)于n的一次多項(xiàng)式,可以運(yùn)用待定系數(shù)法對(duì)通項(xiàng)式進(jìn)行變形和構(gòu)造,方法簡單,容易操作,很好的進(jìn)行了裂項(xiàng)相消法和錯(cuò)位相減法之間的溝通,簡潔明了,只要在求系數(shù)A,B時(shí)仔細(xì)認(rèn)真一點(diǎn),就可以熟練掌握此種方法求解.

運(yùn)用和構(gòu)造裂項(xiàng)相消法解決“差比型數(shù)列”的求和問題,為學(xué)生開辟了一條新的求和途徑,拓寬了學(xué)生的解題思路.所以對(duì)于任意的“差比型數(shù)列”,都可以通過構(gòu)造和待定系數(shù)法把它轉(zhuǎn)化為裂項(xiàng)相消的方式解決,充分利用函數(shù)的思想方法來處理數(shù)列問題,此解法過程簡便,思路清晰,大大減少了運(yùn)算步驟和出錯(cuò)率,同時(shí)也給教師在教學(xué)中提供了新的教學(xué)思路,充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)問題和方法的形式多樣化和邏輯嚴(yán)密性,對(duì)培養(yǎng)和提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)很有幫助.

其實(shí)在漫長而豐富的高三高考備考復(fù)習(xí)中,我們遇到很多數(shù)列求和的問題,我們都會(huì)根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)的特征決定我們采取哪種數(shù)列求和的方法,從大量的試題中,不難發(fā)現(xiàn)運(yùn)用裂項(xiàng)相消法去求某些數(shù)列和的方法總是那樣別出心裁,讓試題大放光彩.

例2 已知數(shù)列{an}首項(xiàng)a1=1,函數(shù)f(x)=x4+an+1cos 2x-(2an+1)有唯一零點(diǎn),則數(shù)列{n2(an+1)}的前n項(xiàng)和為____.

分析由題設(shè)易知f(-x)=f(x)即f(x)為偶函數(shù),若x0是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)即有f(x0)=0,則f(-x0)=0,從而-x0也是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn).又該函數(shù)有唯一零點(diǎn),所以這個(gè)唯一零點(diǎn)只能為零,即有f(0)=0,于是有an+1=2an+1,則an+1+1=2(an+1),又a1=1,所以a1+1=2,故數(shù)列{an+1}是以首項(xiàng)為2,公比為2 的等比數(shù)列,所以有an+1=2n.

解析由an+1=2n得n2(an+1)=n2·2n,這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)是一個(gè)二次式與指數(shù)式的積,顯然不是前面所說的“差比型數(shù)列”,這種類型數(shù)列的求和老師不曾講,學(xué)生未曾練,怎么辦? 用我們熟知當(dāng)通項(xiàng)是一次式與指數(shù)式的數(shù)列求和的常用方法是錯(cuò)位相減法.于是我們可以嘗試用錯(cuò)位相減法進(jìn)行求和.

設(shè)數(shù)列{n2(an+1)}的前n項(xiàng)和為Tn,則Tn=12·21+22·22+32·23+···+(n-1)2·2n-1+n2·2n,2Tn=12·22+22·23+32·24+···+(n-1)2·2n+n2·2n+1.以上兩式錯(cuò)位相減得-Tn=1·2+3·22+5·23+···+(2n-1)·2n-n2·2n+1,則-2Tn=1·22+3·23+5·24+···+(2n-3)·2n+(2n-1)·2n+1-n2·2n+2,以上兩式錯(cuò)位相減得Tn=(n2-2n+3)·2n+2-6Tn=2+23+24+25+···+2n+1-n·2n+1-(2n-1)·2n+1+n2·2n+2,即Tn=所以Tn=(n2-2n+3)·2n+2-6.

點(diǎn)評(píng)解題經(jīng)驗(yàn)告訴我們：當(dāng)通項(xiàng)是一次式與指數(shù)式的積,求解時(shí)用了一次錯(cuò)位相減法,例2 的通項(xiàng)是二次式與指數(shù)式的積,求解時(shí)用了兩次錯(cuò)位相減法,數(shù)列{n3·2n}的通項(xiàng)是三次式與指數(shù)式的積,猜想求數(shù)列的前n項(xiàng)和時(shí)要用到三次錯(cuò)位相減法.錯(cuò)位相減法式子長計(jì)算繁瑣容易出錯(cuò),多次錯(cuò)位相減令人望而生畏.這些數(shù)列前n項(xiàng)和的求解能否避開繁雜的錯(cuò)位相減法用其它較為簡單的方法呢?

我們嘗試仿照利用裂項(xiàng)相消法進(jìn)行求“差比型數(shù)列”的方法來對(duì)例2 進(jìn)行求解.

解析令n2·2n=[A(n+1)2+B(n+1)+C]·2n+1-(An2+Bn+C)·2n=[An2+(4A+B)n+2A+2B+C]·2n,通過比較系數(shù)得到解得A=1,B=-4,C=6,即n2·2n=[(n+1)2-4(n+1)+6]·2n+1-[n2-4n+6]·2n.該數(shù)列的前n項(xiàng)和

點(diǎn)評(píng)顯然裂項(xiàng)相消法解決這類數(shù)列求和顯得更加簡潔明了,解題思路清晰,簡化了計(jì)算步驟,容易讓學(xué)生掌握.

例3 求數(shù)列(3n2-n+1)·2n的前n項(xiàng)和Tn.

分析此題同樣是一個(gè)二次多項(xiàng)式和一個(gè)指數(shù)式的積的形式,用多次錯(cuò)位相減法是不可能解決的,而恰好可以運(yùn)用裂項(xiàng)相消法解決.

解析由(3n2-n+1)·2n=[A(n+1)2+B(n+1)+C]·2n+1-(An2+Bn+C)·2n=[An2+(4A+B)n+2A+2B+C]·2n,比較系數(shù)可得解得A=3,B=-13,C=21,即(3n2-n+1)·2n=[3(n+1)2-13(n+1)+21]·2n+1-[3n2-13n+21]·2n所以數(shù)列前n項(xiàng)和

當(dāng)多項(xiàng)式的次數(shù)增大時(shí),同樣可以運(yùn)用裂項(xiàng)相消法去求和.

例4 求數(shù)列{n3·2n}的前n項(xiàng)和.

解析由n3·2n=[A(n+1)3+B(n+1)2+C(n+1)+D]·2n+1-(An3+Bn2+Cn+D)·2n=[An3+(6A+B)n2+(6A+4B+C)n+2A+2B+2C+D]·2n,比較系數(shù)得解得

所以數(shù)列{n3·2n}的前n項(xiàng)和Tn=[23-6×22+18×2-26]·22-(13-6×12+18×1-26)·21+···+[(n+1)3-6(n+1)2+18(n+1)-26]·2n+1-(n3-6n2+18n-26)·2n+1=[(n+1)3-6(n+1)2+18(n+1)-26]·2n+1-(13-6×12+18×1-26)·21=(n3-3n2+9n-13)·2n+1+26.

點(diǎn)評(píng)用裂項(xiàng)相消法解決這類數(shù)列求和,避開了用錯(cuò)位相減法去求和的繁雜計(jì)算,顯得條理清晰,思路明晰.

以上類型的數(shù)列求和統(tǒng)一歸為多項(xiàng)式數(shù)列和等比數(shù)列乘積構(gòu)成的數(shù)列,即形如an=(bm-1nm-1+bm-2nm-2+···+b1n+b0)qn的數(shù)列求前n項(xiàng)和.我們不妨把它寫成一般形式從前面的例題分析可以得出此類型數(shù)列求和采用m次錯(cuò)位相減法求和的方法,但是當(dāng)次數(shù)較高時(shí)錯(cuò)位相減法的優(yōu)勢(shì)就失去了.先不妨設(shè)1 (若q=1就變成多項(xiàng)式數(shù)列的求和了),設(shè)an=(Bm-1nm-1+Bm-2nm-2+···+B1n+B0)qn-[Bm-1(n-1)m-1+Bm-2(n-1)m-2+···+B1(n-1)+B0]qn-1.先將上式化簡成an=(Cm-1nm-1+Cm-2nm-2+···+C1n+C0)qn的形式,其中C0,C1,··· ,Cm-1是用B0,B1,··· ,Bm-1,q來表示的一次式子.同樣讓對(duì)應(yīng)系數(shù)相等得到一個(gè)m元一次方程組,用代入法可以解出B0,B1,··· ,Bm-1,再用裂項(xiàng)相消法求得{an}的前n項(xiàng)和Sn=(Bm-1nm-1+Bm-2nm-2+···+B1n+B0)qn-B0.

變式練習(xí)(2017年Berkeley 大學(xué)競(jìng)賽(分析卷)試題)求值

略解此題是一個(gè)求數(shù)列無限項(xiàng)的求和問題,其第n項(xiàng)的通項(xiàng)為依然屬于一個(gè)二次式和指數(shù)式的積的形式,先通過裂項(xiàng)相消法求出其前n項(xiàng)和,再取極限.于是通過裂項(xiàng)相消法求{an}的前n項(xiàng)和為所以當(dāng)n→+∞時(shí),Tn→6,所以

通過對(duì)多項(xiàng)式數(shù)列和等比數(shù)列乘積所構(gòu)成的數(shù)列求和例題的分析和總結(jié),我們發(fā)現(xiàn)在高次多項(xiàng)式數(shù)列求和中同樣可以通過裂項(xiàng)相消法處理.

當(dāng)多項(xiàng)式數(shù)列形如an=an+b時(shí),顯然通過等差數(shù)列的定義得到結(jié)果.當(dāng)多項(xiàng)式數(shù)列的次數(shù)增大時(shí),數(shù)列就不是我們所熟知的等差數(shù)列了.下面以例題的形式加以說明：

例5 已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n3,求其前n項(xiàng)和Sn.

分析此數(shù)列就是一個(gè)純多項(xiàng)式數(shù)列,對(duì)比所學(xué)的數(shù)列前n項(xiàng)和的求和方法,很難處理,只能嘗試把n3進(jìn)行分解和裂項(xiàng).

解析設(shè)an=(An4+Bn3+Cn2+Dn)-[A(n-1)4+B(n-1)3+C(n-1)2+D(n-1)]=A(4n3-6n2+4n-1)+B(3n2-3n+1)+C(2n-1)+D=4An3+(-6A+3B)n2+(4A-3B+2C)n+(-A+B-C+D)=n3,通過比較系數(shù)得解得所以所以

點(diǎn)評(píng)通過待定系數(shù)法求出相關(guān)的系數(shù),運(yùn)用裂項(xiàng)相消法求解多項(xiàng)式數(shù)列前n項(xiàng)和同樣適合.

我們同樣可以推導(dǎo)出求多項(xiàng)式數(shù)列前n項(xiàng)和的一般形式和結(jié)論.即形如an=bm-1nm-1+bm-2nm-2+···+b1n+b0的數(shù)列前n項(xiàng)和.此類型可設(shè)an=(cmnm+cm-1nm-1+···+c1n)-[cm(n-1)m+cm-1(n-1)m-1+···+c1(n-1)]=bm-1nm-1+bm-2nm-2+···+b1n+b0.上邊化簡對(duì)應(yīng)系數(shù)相等得到一個(gè)含有m元一次方程組,解出c1,c2,··· ,cm.再通過裂項(xiàng)相消法易知Sn=cmnm+cm-1nm-1+···+c1n.

通過對(duì)上述幾類數(shù)列求和的推導(dǎo)我們不難發(fā)現(xiàn),事實(shí)上裂項(xiàng)相消求和適合用于所有能將an化成an=f(n)-f(n-1)形式的所有數(shù)列{an},f(n)和an存在形式上的相似性,從而利用待定系數(shù)法的方式得到f(n)的表達(dá)式,最終可以得到Sn=f(n)-f(0).

筆者在每年的高考復(fù)習(xí)備考中,發(fā)現(xiàn)裂項(xiàng)相消法不光用到上述求和中,它已經(jīng)滲透深入到三角、組合數(shù)及更復(fù)雜的混合數(shù)列求和,下面我們通過例析加以說明：

例6 在數(shù)1 和100 之間插入n個(gè)實(shí)數(shù),使得這n+2 個(gè)數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列,將這n+2 個(gè)數(shù)的乘積記作Tn,再令an=lgTn,n≥1.

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

(2)設(shè)bn=tanan ·tanan+1,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.

分析這是一個(gè)以三角作為知識(shí)背景的數(shù)列求和問題,在高三的檢測(cè)中難倒了不少同學(xué),學(xué)生總感覺無從下手,考查學(xué)生在熟悉裂項(xiàng)相消法求數(shù)列前n項(xiàng)和的同時(shí)必須熟練掌握三角公式的變換.

解析(1)利用倒序相乘不難得到Tn=10n+2,即得an=n+2.

(2)因?yàn)閎n=tanan·tanan+1=tan(n+2)·tan(n+3).由得 到1,故Sn=tan(1+2)·tan(1+3)+tan(2+2)·tan(2+3)+···+tan(n+2)·tan(n+3)=同樣可以以階乘公式和三角公式變換來構(gòu)造裂項(xiàng)相消法求和.

例7 化簡求和1+2×2!+3×3!+···+n×n!.

解析由階乘的定義可以得到：n×n!=(n+1)!-n!,故原式=2!-1!+3!-2!+···(n+1)!-n!=(n+1)!-1!.

例8 已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=sin2n°,求它的前n項(xiàng)和Sn及S89.

解析an=sin2n°=所以an=所以從而(與倒序相加法結(jié)果一致).

從例6、例7、例8 來看運(yùn)用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前項(xiàng)和的解題策略是一種簡化計(jì)算,化繁為簡的好方法,較好地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算的教育價(jià)值和功能.

對(duì)于一些混合型的求和問題同樣可以根據(jù)對(duì)通項(xiàng)特征的變形和轉(zhuǎn)化運(yùn)用裂項(xiàng)相消法解決.

例9 已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=求它的前n項(xiàng)和Sn.

解析設(shè)則an=所以解得A=3,B=-2,所以所以

例10 若數(shù)列求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.

解析由

故數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和

點(diǎn)評(píng)例9、例10 從題的層面上看不是前面所說的“差比型數(shù)列”,也不是由一個(gè)多項(xiàng)式和一個(gè)指數(shù)式乘積組成的數(shù)列,而是由多項(xiàng)式乘積或多項(xiàng)式和指數(shù)式乘積組成的含有分式的混合型數(shù)列的求和問題,仔細(xì)觀察數(shù)列通項(xiàng)特征,同樣可以用裂項(xiàng)法相消求和,其關(guān)鍵是數(shù)列通項(xiàng)中呈現(xiàn)一種有規(guī)律的形式,通過適當(dāng)?shù)淖冃魏屯评砜梢粤验_成兩項(xiàng)相鄰的項(xiàng)進(jìn)行抵消求解.

通過以上例題和練習(xí)的解析過程和點(diǎn)評(píng)來看,在數(shù)列的求和解答方法中,裂項(xiàng)法運(yùn)用靈活廣泛,思路顯得簡潔明晰,計(jì)算化繁為簡,不易出錯(cuò),它可以使我們少走彎路,少做重復(fù)的工作,在掌握好錯(cuò)位相減的基礎(chǔ)上,再通過對(duì)數(shù)列通項(xiàng)的特征進(jìn)行觀察比較、挖掘通項(xiàng)本質(zhì)內(nèi)涵,合理運(yùn)用待定系數(shù)法進(jìn)行裂項(xiàng)相消,進(jìn)一步理解解題的思想和方法,增強(qiáng)我們解題的自信和能力,豐富和提高我們的學(xué)科素養(yǎng).