橢圓中一類三角形面積最大值與最小值的探究

云南省大理賓川四中(671600) 段志強

一條定長為l的動弦AB,它的兩端點在橢圓上,O是橢圓的中心,探究△OAB的面積的最大值與最小值,這是一個有意義的問題,本文給出這類問題的一種淺顯的解法,供參考.

首先給出下面的引理.

引理已知傾斜角為θ的直線l與橢圓1(a＞b＞0)相交于不同的兩點A,B,坐標(biāo)原點O到直線l的距離為d,c為橢圓的半焦距,記t=a2-c2cos2θ,則

證明當(dāng)時,設(shè)直線l的方程為y=kx+m,其中k=tanθ,則進而有m2=d2(1+k2)=即,

將y=kx+m代入方程中得：

計算得方程 ②的判別式

又

將 ①,④代入 ③得

隨著現(xiàn)代信息化技術(shù)的不斷發(fā)展，土建技術(shù)施工要充分結(jié)合現(xiàn)代化信息技術(shù)，以提高其工作效率。因為土建施工技術(shù)信息化不但可以幫助企業(yè)有效的控制施工成本，同時還可以幫助企業(yè)預(yù)防安全隱患的發(fā)生，幫助管理層及時有效的掌握工程施工質(zhì)量，這就需要土建工程的管理者以及國家對發(fā)展土建技術(shù)施工的信息化引起高度重視。作為企業(yè)的管理層應(yīng)該加大對先進土建技術(shù)及人才的引用，以提高整個管理層的管理水平和施工效率，進而提高工程的施工質(zhì)量。而作為國家應(yīng)該加大對土建技術(shù)發(fā)展的政策扶持和資金幫助，以幫助企業(yè)土建技術(shù)朝著正規(guī)化，技術(shù)化方面發(fā)展，從而保障我國土建技術(shù)的施工質(zhì)量和施工安全。

注：直線l與橢圓相交于不同的兩點A,B,要求即d2＜t.

由引理,有下面的定理1,定理2.

定理1 設(shè)AB是橢圓=1(a＞b＞0)上一條定長為l的動弦,橢圓中心為點O,則

(1)當(dāng)0＜l＜時,△AOB面積的最大值為

(1)當(dāng)0＜l＜時,有2a2,則m=故函數(shù)f(t)的定義域為[b2,a2],注意到函數(shù)f(t)的開口向下,對稱軸利用熟知的一元二次函數(shù)在給定區(qū)間上最值問題的求法,可得(d2)max=f(a2)=進而故

綜上定理1 得證.

定理2 設(shè)AB是橢圓=1(a＞b＞0)上一條定長為l的動弦,橢圓中心為點O,直線AB不過點O,則

(1)當(dāng)2b≤l＜2a時,△AOB面積的無最小值;

(3)當(dāng)0＜l＜時,△AOB面積的最小值為

證明設(shè)直線AB的傾斜角為θ,橢圓中心點O到直線AB的距離為d,橢圓的半焦距為c,設(shè)t=a2-c2cos2θ,又b2≤a2-c2cos2θ≤a2,所以t ∈_[b2,a2],記A=[b2,a2].由引理知：|AB|=進而得直線AB不過點O,由d2＞0,解得0＜t＜記B=記d2=f(t)=

(1)當(dāng)2b≤l＜2a時,b2＜≤a2,故函數(shù)f(t)的定義域為A ∩B=注意到函數(shù)f(t)的開口向下,注意到,t→時,d2→0,故△AOB面積的無最小值;

(3)當(dāng)0＜l＜時,故函數(shù)f(t)的定義域為A ∩B=[b2,a2],注意到,函數(shù)f(t)的對稱軸t=且函數(shù)f(t)的開口向下,故(d2)min=f(b2)=即所以,

綜上定理2 得證.