雙重Stone代數(shù)的O理想

趙秀蘭，史永杰

（1.黃河科技學(xué)院數(shù)理部，鄭州450063；2.汕頭大學(xué)理學(xué)院，廣東 汕頭515063）

引言

Ockham代數(shù)是格與序代數(shù)理論的一個(gè)重要領(lǐng)域，它是定義在分配格上的一類序代數(shù)［1］。布爾代數(shù)、Stone代數(shù)、MS代數(shù)等是Ockham代數(shù)的子代數(shù)，Ockham代數(shù)的部分研究成果見文獻(xiàn)［1-4］。在分配格代數(shù)研究領(lǐng)域，利用代數(shù)的理想和濾子研究代數(shù)的結(jié)構(gòu)及其特征是比較常用的一種方法，特別是利用不同定義、不同結(jié)構(gòu)的理想和濾子來研究代數(shù)結(jié)構(gòu)是常用的手段，其中常用的理想和濾子就包括有素理想、核理想、余核濾子、O理想等。例如，文獻(xiàn)［5］給出了格的反軟理想新概念，證明2個(gè)反軟理想分別在軟集的限制并和“或”運(yùn)算下仍然是反軟理想。文獻(xiàn)［6-7］利用濾子討論了Bl代數(shù)的性質(zhì)。文獻(xiàn)［8］利用素理想將代數(shù)系統(tǒng)分劃為若干塊，并用素理想刻畫代數(shù)同余關(guān)系。文獻(xiàn)［9-13］在相應(yīng)的代數(shù)類上引入理想與濾子，以核理想與余核濾子為載體刻畫相應(yīng)代數(shù)同余結(jié)構(gòu)。O理想就是一類特殊的核理想，是W.H.Vornishz在研究分配格時(shí)首次提出的，通過O理想得出了關(guān)于分配格性質(zhì)的若干結(jié)論［4］，這極大地豐富了分配格理論。之后許多學(xué)者開始研究O理想，楊云在文獻(xiàn)［15］中將分配格中的O理想推廣到偽補(bǔ)分配格，給出偽補(bǔ)分配格的理想是O理想的判別條件；文獻(xiàn)［16］利用了O亮素理想刻畫出了幾乎分配格的代數(shù)結(jié)構(gòu)及其特征。

本文以文獻(xiàn)理論為基礎(chǔ)，將O理想引入到雙重Stone－代數(shù)上，綜合考慮雙重Stone代數(shù)的運(yùn)算特征，討論雙重Stone代數(shù)上O理想和核理想的關(guān)系，從而刻畫雙重Stone代數(shù)的內(nèi)部代數(shù)結(jié)構(gòu)。

1 預(yù)備知識(shí)

定義1［1］一個(gè)偽補(bǔ)代數(shù)（簡稱p代數(shù)）是一個(gè)分配格（L；∨，∧），它具有一個(gè)最小元0及一個(gè)映射*：L→L，使得

一個(gè)偽補(bǔ)代數(shù)（L；∧，∨，*，0，1），如果運(yùn)算*滿足條件：?x∈L，x*∨x**＝1，則稱（L；∧，∨，*，0，1）為Stone代數(shù)。

對(duì)偶地，附加的一元運(yùn)算＋：L→L，使得x＋＝min｛y且運(yùn)算＋滿足條件?x∈L，x＋∧x＋＋＝0，則稱（L；∨，∧，＋）是對(duì)偶Stone代數(shù)。

定義2［1］設(shè)（L；∧，∨，0，1）是一個(gè)有界分配格，其上賦予兩個(gè)一元運(yùn)算*，＋，并且（L；∨，∧，*）是Stone代數(shù)，（L；∨，∧，＋）是對(duì)偶Stone代數(shù)，則稱（L；∨，∧，*，＋）是一個(gè)雙重Stone代數(shù)。

引理1［1，17］設(shè)（L；∨，∧，*，＋）是一個(gè)雙重Stone代數(shù)，任意的x，y∈L，則有：

定義3［1］設(shè)（L；∨，∧，*，＋）是一個(gè)雙重Stone代數(shù)，θ是L的格同余關(guān)系，若（x，y）∈θ?（x*，y*）∈θ，（x＋，y＋）∈θ，則稱θ是L的同余關(guān)系，符號(hào)Con（L）表示L的全體同余關(guān)系構(gòu)成的集合。

定義4［1］設(shè)（L；∧，∨）是一個(gè)格，I是格L的子格，若x，y∈L，y≤x∈I總有y∈I，則稱子格I是格L的理想。對(duì)偶地，F(xiàn)是格L的子格，若x，y∈L，y≥x∈F總有y∈F，則稱子格F是格L的濾子。

定義5［1］設(shè)（L；∨，∧，*，＋，0，1）是一個(gè)雙重Stone代數(shù)，對(duì)于L的理想I，若存在L的一個(gè)同余關(guān)系φ，使得I＝Ker（φ），其中Ker（φ）＝｛x∈L x≡0（φ）｝，則稱理想I為L的核理想。對(duì)于L的濾子F，若存在L的一個(gè)同余關(guān)系φ，使得F＝CoKer（φ），其中，則稱濾子F為L的余核濾子。

為便于闡述，假定L是雙重Stone代數(shù)，a，b∈L，F(xiàn)?L，符號(hào)θ（a，b）和θlat（a，b）分別表示包含a，b的最小同余與最小格同余（即由a，b所生成的主同余和格主同余）；用θ（F）和θlat（F）分別表示包含F(xiàn)的最小同余與最小格同余（即由F所生成的主同余和格主同余）。

定義6［14］設(shè)（L；∨，∧，*，＋，0，1）是一個(gè)雙重Stone代數(shù)，I是L的一個(gè)理想，若存在L的一個(gè)濾子F，使得I＝Ker（θ（F）），則稱I是L的一個(gè)O理想。

引理2［9］設(shè)（L；∨，∧，*，＋，0，1）是一個(gè)雙重Stone代數(shù)，I是L的理想，則I是核理想的充要條件是（a∈L）a∈I?a**∈I。

引理3設(shè)（L；∨，∧，*，＋，0，1）是一個(gè)雙重Stone代數(shù)，F(xiàn)是L的濾子，則F是余核濾子的充要條件是（a∈L）a∈F?a＋＋∈F。

證明

證明充分性。若F是L的余核濾子，則存在φ∈Con（L），使得F＝CoKer（φ）。設(shè)a∈F，故a≡1（φ），從而a＋＋≡1（φ），所以a＋＋∈F。

證明必要性。設(shè)a∈L，a∈F蘊(yùn)涵a＋＋∈I。在L上定義一個(gè)等價(jià)關(guān)系RF如下：

（x，y）∈RF?（?i∈F）x∧i＝y(tǒng)∧i易得RF是一個(gè)格同余。

證明RF∈Con（L）。設(shè)（x，y）∈RF，則存在i∈F，使得x∧i＝y(tǒng)∧i，從而有x*∨i*＝y(tǒng)*∨i*，x＋∨

i＋＝y(tǒng)＋∨i＋，i**∧（x*∨i*）＝i**∧（y*∨i*），i＋＋∨

（x＋∧i＋）＝i＋＋∨（y＋∧i＋）。由引理1知，i*∧i**＝1，i＋∧i＋＋＝1，根據(jù)雙重Stone代數(shù)運(yùn)算的分配性可得i**∧x*＝i**∧y*，i＋＋∧x＋＝i＋＋∧y＋。在雙重Stone代數(shù)中，由引理1知任意的x∈L，x＋＋≤x≤x**，所以可得i＋＋∧x*＝i＋＋∧y*，由題設(shè)知i＋＋∈F，所以（x*，y*）∈RF，（x＋，y＋）∈RF，因此RF∈ConL。

證明F＝CoKer（RF）。設(shè)x∈CoKer（RF），則（x，1）∈RF，故存在i∈F，并有x∧i＝i，從而x≥i∈F，因此x∈F，從而CoKer（RF）?F。再設(shè)i∈F，因?yàn)閕＋＋∈F，且由引理1知i≥i＋＋，故i∈CoKer（RF），因此F?CoKer RF，所以F＝CoKer（RF）。

設(shè)（L；∨，∧，*，＋，0，1）是一個(gè)雙重Stone代數(shù)，I是L的核理想，定義FI＝｛x∈L（?a∈I）x≥a*｝，顯然，F(xiàn)I是L的濾子，現(xiàn)有如下結(jié)論。

引理4［9］設(shè)（L；∨，∧，*，＋，0，1）是一個(gè)雙重Stone代數(shù)，I是L的核理想，則

θ（I）＝θlat（I）∨θlat（FI）

引理5［9］設(shè)（L；∨，∧，*，＋，0，1）是一個(gè)雙重Stone代數(shù)，I是L的核理想，則：

（x，y）∈θ（I）?（?a，b∈I）（x∨a）∧b*＝

（y∨a）∧b*

引理6［9］設(shè)（L；∨，∧，*，＋，0，1）是一個(gè)雙重Stone代數(shù)，I是L的核理想，x，y∈L，則下列命題等價(jià)：

（1）（x，y）∈θ（I）；

（2）（?a∈I）x∨a＝y(tǒng)∨a；

（3）（?a，b∈I）（x∨a）∧b*＝（y∨a）∧b*。

設(shè)（L；∨，∧，*，＋，0，1）是一個(gè)雙重Stone代數(shù)，F(xiàn)是L的余核濾子，定義IF＝｛x∈L（?a∈F）x≤a＋｝，顯然，IF是L的理想，現(xiàn)有如下結(jié)論。

引理7設(shè)（L；∨，∧，*，＋，0，1）是一個(gè)雙重Stone代數(shù)，F(xiàn)是L的余核濾子，則θ（F）＝θlat（F）∨θlat（IF）。

證明 設(shè)a，b∈L且a≤b，由文獻(xiàn)［2］與定理1知：

θ（a，b）＝θlat（a，b）∨θlat（b*，a*）∨

θlat（a**，b**）∨θlat（b＋，a＋）∨θlat（a＋＋，b＋＋）

由引理3知，a＋＋，b＋＋∈F，又因a＋＋≤a≤a**，a＋≥a*，b＋＋≤b≤b**，b＋≥b*，故：

a，b，a＋＋，b＋＋，a**，b**∈F

a*，b*，a＋，b＋∈IF

故θlat（a，b），θlat（a**，b**），θlat（a＋＋，b＋＋）≤θlat（F），θlat（b*，a*），θlat（b＋，a＋）≤θlat（IF），于是θ（a，b）≤θlat（F）∨θlat（IF）。

又由文獻(xiàn)［1］知，θ（F）＝∨｛θ（a，b）a，b∈F｝，所以θ（F）≤θlat（F）∨θlat（IF）。

再因θlat（F）≤θ（F）。設(shè)a，b∈IF且a≤b，由IF的定義知，存在c∈I，使得c＋≥b≥a。由于（c，1）∈θ（F），故（c＋，0）∈θ（F），從而 有（a∧c＋，a∧0）∈θ（F），（b∧c＋，b∧0）∈θ（F），于是（a，0）∈θ（F），（b，0）∈θ（F），所以（a，b）∈θ（F）。

為了探討雙重Stone代數(shù)核理想與O理想的關(guān)系，需要下面的引理。

引理8設(shè)（L；∨，∧，*，＋，0，1）是一個(gè)雙重Stone代數(shù)，F(xiàn)是L的余核濾子，則：

（x，y）∈θ（F）?（?a，b∈F）（x∧a）∨b＋＝

（y∧a）∨b＋

證明 定義L上一個(gè)等價(jià)關(guān)系φ為：

（?a，b∈F）（x∧a）∨b＋＝（y∧a）∨b＋從中易見φ是一個(gè)格同余關(guān)系。

下證φ∈Con（L）。

設(shè)（x，y）∈φ，則（?a，b∈F）（x∧a）∨b＋＝（y∧a）∨b＋，故：（x*∨a*）∧b＋*＝（y*∨a*）∧b＋*，（x＋∨a＋）∧b＋＋＝（y＋∨a＋）∧b＋＋。根據(jù)運(yùn)算的分配性有：

（x*∧b＋*）∨（a*∧b＋*）＝（y*∧b＋*）∨（a*∧b＋*）（x＋∧b＋＋）∨（a＋∧b＋＋）＝（x＋∧b＋＋）∨（a＋∧b＋＋）

由引理1知，a＋≥a*，b＋*＝b＋＋，于是由（x*∧b＋*）∨（a*∧b＋*）＝（y*∧b＋*）∨（a*∧b＋*），可得（x*∧b＋*）∨a＋＝（y*∧b＋*）∨a＋，又因b＋*＝b＋＋，而a＋∧b＋＋＝（a∨b＋）＋，故a∨b＋≥a∈F，又因F是L的余核濾子，由引理3知，b＋＋∈F，所以（x*，y*），（x＋，y＋）∈φ，因此φ∈Con（L）。

再證φ＝θ（F）。

設(shè)（x，y）∈φ，則存在a，b∈F，使得（x∧a）∨b＋＝（y∧a）∨b＋。因?yàn)椋╝，1）∈θlat（F），（b＋，0）∈θlat（IF），所以（x，x∧a）∈θlat（F），（（x∧a）∨b＋，x∧a）∈θlat（IF），因此（x，（x∧a）∨b＋）∈θlat（F）∨θlat（IF）。同理可得，（y，（y∧a）∨b＋）∈θlat（F）∨θlat（IF），所以（x，y）∈θlat（F）∨θlat（IF），即φ∈θlat（F）∨θlat（IF），由引理7知，φ≤θ（F）。

另設(shè)（x，y）∈θlat（F）∨θlat（IF），則存在x＝x0，x1，．．．，xn－1＝y(tǒng)且（xi，xi＋1）∈θlat（F）或者（xi，xi＋1）∈

θlat（IF）（i＝0，1，2，．．．，n－2）。

因此（x，y）∈φ，故θ（F）≤φ。定理得證。

引理9設(shè)（L；∨，∧，*，＋，0，1）是一個(gè)雙重Stone代數(shù)，F(xiàn)是L的余核濾子，x，y∈L，則下列命題等價(jià)：

（1）（x，y）∈θ（F）；

（2）（?a∈F）x∧a＝y(tǒng)∧a；

（3）（?a，b∈F）（x∧a）∨b＋＝（y∧a）∨b＋。

證明 易得，（2）?（3）。

由引理8得，（1）?（3）。

下證（3）?（2）。設(shè)存在a，b∈F，使得（x∧a）∨b＋＝（y∧a）∨b＋。因此（（x∧a）∨b＋）∧b＋＋＝（（y∧a）∨b＋）∧b＋＋，根據(jù)Stone代數(shù)運(yùn)算的分配性及運(yùn)算性質(zhì)b＋∧b＋＋＝0，所以有：x∧a∧b＋＋＝y(tǒng)∧a∧b＋＋。又由引理3知，b＋＋∈F，又因a∈F，故a∧b＋＋∈F，所以（2）成立。

以上述引理為理論基礎(chǔ)來探討雙重Stone代數(shù)核理想與O理想的關(guān)系。由核理想與O理想的定義知，O理想一定是核理想。那么，核理想是否一定是O理想呢？下面的定理4對(duì)此給出了答案。

2 主要結(jié)論

設(shè)（L；∨，∧，*，＋，0，1）是一個(gè)雙重Stone代數(shù)，a∈L，定義有下列性質(zhì)。

定理1設(shè)（L；∨，∧，*，＋，0，1）是一個(gè)雙重Stone代數(shù)，I是L的一個(gè)核理想，x∈L，令σ（I）＝｛x∈，則σ（I）是L的一個(gè)O理想。

證明 由于任意的x∈L，有x≤1，且0*＝1，故0∈σ（I）。

設(shè)x，y∈σ（I），即（x*］∨I＝L，（y*］∨I＝L。下證x∧y，x∨y∈σ（I）。根據(jù)引理1可得：

（（x∧y）*］∨I＝（x*∨y*］∨I＝

（（x*］∨I）∨（（y*］∨I）＝L

（（x∨y）*］∨I＝（x*∧y*］∨I＝

（（x*］∨I）∧（（y*］∨I）＝L

從而有x∧y，x∨y∈σ（I）。

再設(shè)y∈L，x∈σ（I）且y≤x，由雙重Stone代數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)得y*≥x*，故（y*］∨I≥（x*］∨I＝L，所以（y*］∨I＝L，所以y∈σ（I），故得σ（I）是L的一個(gè)理想。

下證σ（I）是L的一個(gè)O理想。

令F＝CoKer（θ（I）），下證σ（I）＝Ker（θ（F））。

先證F是L的一個(gè)濾子。

設(shè)x∈F，y≥x，則（x，1）∈θ（I），由引理4知，存在i∈I，有x∨i＝1∨i＝1，從而y∨（x∨i）＝y(tǒng)∨1∨i，則y∨i＝1∨i，因此（y，1）∈θ（I），即y∈CoKer（θ（I）），于是y∈F，所以F是L的一個(gè)濾子。

再證F是L的一個(gè)余核濾子。

令x∈F，則（x，1）∈θ（I），由同余關(guān)系的定義以及雙重Stone代數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)引理1可得（x＋＋，1）∈θ（I），因此x＋＋∈F，由引理3知，F(xiàn)是L的一個(gè)余核濾子。

下證σ（I）＝Ker（θ（F））。

設(shè)x∈σ（I），則（x*］∨I＝L，從而存在a∈（x*］，b∈I，使得a∨b＝1。又因b∨b＝0∨b＝b，故（b，0）∈θ（I）。因此（a∨b，a∨0）∈θ（I），即（a，1）∈θ（I），故a∈F。又因a∈（x*］，則a∧x＝0，于是a∧x＝0∧a＝0。

又因a∈F，又由引理9知，（x，0）∈θ（F），故x∈Kerθ（F），所以σ（I）?Ker（θ（F））。

另一方面，設(shè)x∈Ker（θ（F）），即（x，0）∈θ（F），由引理9知，存在j∈F，使得x∧j＝0∧j＝0，從而j∈（x*］。

又因F＝CoKer（θ（I）），故（j，1）∈θ（I），由引理6知，存在i∈I，使得j∨i＝1∨i＝1，因此（x*］∨I＝L，即x∈σ（I），所以Ker（θ（F））?σ（I）。

綜上得σ（I）＝Ker（θ（F）），所以σ（I）是L的一個(gè)O理想。

為了論證雙重Stone代數(shù)上核理想和O理想的關(guān)系，需要下面定理2與定理3。

定理2設(shè)（L；∨，∧，*，＋，0，1）是一個(gè)雙重Stone代數(shù)，I是L的核理想，則I＝Ker（θ（I））。

證明 先證Ker（θ（I））為L的核理想。

設(shè)x，y∈Ker（θ（I）），下 證x∧y，x∨y∈Ker（θ（I））。

由于（x，0）∈θ（I），（y，0）∈θ（I），由同余關(guān)系的定義得（x∧y，0）∈θ（I），（x∨y，0）∈θ（I），從而x∧y，x∨y∈Ker（θ（I））。令x∈Ker（θ（I）），y≤x，則（x，0）∈θ（I），從而（x∧y，0∧y）＝（y，0）∈θ（I），故y∈Ker（θ（I））。所以Ker（θ（I））為L的理想。

設(shè)x∈Ker（θ（I）），則（x，0）∈θ（I），故（x**，0）∈θ（I），所 以x**∈Ker（θ（I）），由 引 理2知，Ker（θ（I））為L的核理想。

下證I＝Kerθ（I）。設(shè)x∈Ker（θ（I）），則（x，0）∈θ（I）。由引理6知，存在i∈I，使得x∨i＝i，從而x≤i，所以x∈I，因此Ker（θ（I））?I。

另一方面，若x∈I，由于I是L的核理想，由引理2知，x**∈I。又由引理1知x≤x**，故x∨x**＝0∨x**＝x**，所以x∈Ker（θ（I）），即I?Ker（θ（I）），所以I＝Ker（θ（I））。

設(shè)（L；∨，∧，*，＋，0，1）是一個(gè)雙重Stone代數(shù)，I是L的核理想，定義顯然，F(xiàn)I是L的濾子，現(xiàn)有如下結(jié)論。

定理3θ（I）＝θ（FI）。

證明

先證FI為L的余核濾子。設(shè)x∈FI，則存在a∈I，使得x≥a*，從而x＋＋≥a*＋＋。由引理1知，a*＋＝a**，因此a*＋＋＝a**＋＝a***＝a*，故x＋＋∈FI，所以由引理3知，F(xiàn)I為L的余核濾子。

設(shè)（x，y）∈θ（I），由引理6得，存在i∈I，使得x∨i＝y(tǒng)∨i，又因i≤i**，故x∨i**＝y(tǒng)∨i**，所以i*∧（x∨i**）＝i*∧（y∨i**）。再因i*∧i**＝0，因此x∧i*＝y(tǒng)∧i*。又因i*∈FI，所以由引理9知，（x，y）∈θ（FI）。因此，θ（I）?θ（FI）。

另一方面，設(shè)（x，y）∈θ（FI），由引理9得，存在j∈FI，使得x∧j＝y(tǒng)∧j。又由j∈FI，則存在a∈I，使得j≥a*，于是x∧a*＝y(tǒng)∧a*，所以（x∧a*）∨a**＝（y∧a*）∨a**。由引理1知，a*∨a**＝1，從而x∨a**＝y(tǒng)∨a**。又因I是L的核理想，且a∈I，故由引理2得a**∈I，所以（x，y）∈θ（I），因此θ（FI）?θ（I）。

綜上可得，θ（I）＝θ（FI）。

由定理2和定理3，可得雙重Stone代數(shù)上O理想判別定理。

定理4設(shè)（L；∨，∧，*，＋，0，1）是一個(gè)雙重Stone代數(shù)，I是L的核理想當(dāng)且僅當(dāng)I是L的O理想。

證明

必要性證明。由核理想和O理想的定義即得。

充分性證明。由定理2和定理3知，I＝Ker（θ（I））＝Ker（θ（FI）），且FI為L的余核濾子，由O理想的定義得I是L的核理想，則I是L的O理想。

3 小結(jié)

本文提出了雙重Stone代數(shù)的O理想的概念，借助O理想與核理想的關(guān)系，利用雙重Stone代數(shù)的核理想與余核濾子同余關(guān)系的表達(dá)式，給出了雙重Stone代數(shù)的理想成為O理想的充要條件，這些結(jié)論豐富了分配格理論，為其它分配格代數(shù)類O理想性質(zhì)的研究提供了方法。