簡化圓錐曲線的計(jì)算能力的基本原則

康俊林

歷年來，理科數(shù)學(xué)高考題中，考查圓錐曲線的題目安排在倒數(shù)第二題，比最后一題稍容易一些，但是，它的計(jì)算量卻常常讓成績中上層次的學(xué)生望而卻步，往往是聯(lián)立方程后，就置之不理。其實(shí)，圓錐曲線的計(jì)算是有技巧的，一味機(jī)械式地進(jìn)行運(yùn)算，只會(huì)增加對數(shù)學(xué)的厭倦感。如果能掌握一些簡化圓錐曲線的計(jì)算能力的基本原則，那么學(xué)生對圓錐曲線的試題就不會(huì)有這么大的抵觸心理了。

原則一：假設(shè)未知數(shù)，盡量減少未知數(shù)的個(gè)數(shù)。

圓錐曲線中，變量太多就是使計(jì)算量增大的基本原因，如果未知數(shù)減少了，那么計(jì)算量也就減少了，可以更加接近目標(biāo)。

例1 已知橢圓C ?1：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的離心率為e=33，直線l：y=x+2與以原點(diǎn)為圓心，以橢圓C ?1的短半軸長為半徑的圓O相切。（1）求橢圓C ?1的方程;（2）拋物線C ?2：y2=2pxp>0與橢圓C ?1有公共焦點(diǎn)，設(shè)C ?2與x軸交于點(diǎn)Q，不同的兩點(diǎn)R、S在C ?2 上（R、S與Q不重合），且滿足QR·RS=0，求QS的取值范圍。

原則二：恰當(dāng)利用對稱性，合理進(jìn)行消元。

如果假設(shè)的變量相當(dāng)多，又有一些坐標(biāo)具有對稱性，如果盲目地進(jìn)行消元，原則上可以進(jìn)行，但是操作相當(dāng)復(fù)雜。但是如果能恰當(dāng)利用對稱性，就能合理地進(jìn)行消元，達(dá)到簡化的效果。

例2 已知雙曲線E：x2a2-y24=1a>0的中心為原點(diǎn)O，左、右焦點(diǎn)分別為F ?1、F ?2，離心率為355，點(diǎn)P是直線x=a23上任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q在雙曲線E上，且滿足PF ?2·QF ?2=0。（1）求實(shí)數(shù)a的值;（2）證明：直線PQ與直線OQ的斜率之積是定值;（3）若點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為1，過點(diǎn)P作動(dòng)直線l與雙曲線右支交于不同的兩點(diǎn)M、N，在線段MN上異于點(diǎn)M、N的點(diǎn)H，滿足PMPN=MHHN，證明點(diǎn)H恒在一條定直線上。

原則三：合理利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，建立各變量的聯(lián)系。

在圓錐曲線的試題中，常常會(huì)出現(xiàn)共線問題，如果能合理利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，那么可以使運(yùn)算量大幅度地減少。

例3 設(shè)橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左右頂點(diǎn)分別為A（-2，0），B（2，0），離心率e=32。過該橢圓上任一點(diǎn)P作PQ⊥x軸，垂足為Q，點(diǎn)C在QP的延長線上，且QP=PC。（1）求橢圓的方程;（2）求動(dòng)點(diǎn)C的軌跡E的方程;（3）設(shè)直線AC（C點(diǎn)不同于A，B）與直線x=2交于點(diǎn)R，D為線段RB的中點(diǎn)，試判斷直線CD與曲線E的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論。

解析：

（1）由題意可得a=2，e=ca=32，∴c=3，∴b2=a2-c2=1，所以橢圓的方程為x24+y2=1。

（2）設(shè)C（x，y），P（x ?0，y ?0），由題意得x=x ?0y=2y ?0，即x ?0=xy ?0=12x，又x2 ?04+y2 ?0=1，代入得x24+（12y）2=1，即x2+y2=4。

即動(dòng)點(diǎn)C的軌跡E的方程為x2+y2=4。

（3）設(shè)C（m，n），點(diǎn)R的坐標(biāo)為（2，t），

∵A，C，R三點(diǎn)共線，∴AC//AR，

而AC=（m+2，n），AR=（4，t），則4n=t（m+2），

∴t=4nm+2，

∴點(diǎn)R的坐標(biāo)為（2，4nm+2），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，2nm+2），

∴直線CD的斜率為k=n-2nm+2m-2=（m+2）n-2nm2 ?-4=mnm2 ?-4，

而m2 ?+n2 ?=4，∴m2 ?-4=-n2 ?，

∴k=mn-n2 ?=-mn，

∴直線CD的方程為y-n=-mn（x-m），化簡得mx+ny-4=0，

∴圓心O到直線CD的距離d=4m2 ?+n2 ?=44=2=r，

所以直線CD與圓O相切。

原則四：數(shù)形結(jié)合，減少計(jì)算量。

如果遇到交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，用純代數(shù)方法去求解是相當(dāng)繁瑣的，但是如果借助圖像，就能很好地減少計(jì)算量。

原則五：合理利用參數(shù)方程，大幅度減少計(jì)算量。