數(shù)（shù）源于數(shù)（shǔ），意義始于表征
——基于前測定位下“小數(shù)的意義”一課教學思考

□ 張偉明

一、緣起

“小數(shù)的意義”這一課內容被編排在人教版教材四年級下冊，是小數(shù)意義的再認識，教材在學生認識小數(shù)現(xiàn)實模型的基礎上，借助長度單位及其現(xiàn)實意義，與十進分數(shù)之間建立聯(lián)系。筆者試著請教了相關年級的教師，無一不感慨，“這節(jié)課太難上了”。深思其原因，整數(shù)的位值概念和分數(shù)的意義制約著學生對小數(shù)意義的深度理解。從本質上來說，除了無限不循環(huán)小數(shù)外，其余的小數(shù)都是一種特殊的分數(shù)，分數(shù)的意義可以從分割與合成的角度來解釋。但就數(shù)的表示形式來看，小數(shù)與整數(shù)有著更為緊密的聯(lián)系，這主要是因為小數(shù)和整數(shù)都遵循十進制計數(shù)法的位值原則。

學生對小數(shù)的理解究竟有多深？小數(shù)與整數(shù)的表征如何來建立？小數(shù)與分數(shù)的聯(lián)系如何可以更緊密？教師應該怎樣引導學生認識小數(shù)的本質？帶著這些問題，筆者精心設計了問卷，對學校四年級共160名學生展開了學情調查，并在此基礎上形成對“小數(shù)的意義”一課的教學思考。

二、部分測評題及測評結果分析

（一）小數(shù)的認讀起點及分析

測評題1及結果分析：

生活中你見過小數(shù)嗎？請你寫出一個帶單位的小數(shù)，并解釋這個小數(shù)所表示的意思。

從結果上看，學生在生活情境下對于小數(shù)的含義的理解是到位的，對于純小數(shù)且一位小數(shù)最熟悉，教師可以把課堂的重心放在兩位小數(shù)的構建及多位小數(shù)的推理上，適當增加部分帶小數(shù)的相關內容。學生對于小數(shù)的生活經驗大多來源于標價，如人民幣單位，可以適當增加其他單位如“米”等的理解，促進學生對于小數(shù)意義的完整建構。

（二）小數(shù)與整數(shù)、分數(shù)的聯(lián)系分析

測評題2、部分學生答卷及結果分析：

你能用自己喜歡的方式表示出0.1和0.01嗎？

圖1

圖2

圖3

看似豐富的表征背后不難讀出學生對于這兩個代表小數(shù)計數(shù)單位的數(shù)存在認識上的一種缺失。從上圖我們讀出學生對于小數(shù)都有了一定的了解，所以他們對于0.1和0.01都能用自己的方式（文字、數(shù)字、圖形等）進行表征，圖1是一種簡化版的圖，學生說，0.1是1占了10個1中的1份，0.01是1占了10個10中的1份，與分數(shù)進行了一定的建構。圖2學生借用的是計數(shù)器模型，在計數(shù)器上設了十分位、百分位，就能輕松表示小數(shù)，這樣的學生對于小數(shù)與整數(shù)的聯(lián)系非常清晰。圖3則借助了圖進行表征，學生知道要把整體分成10份，但對于平均分并沒有概念。整體上看，學生對于分物的整體認識不充分，對于均分概念比較模糊，大部分學生對小數(shù)的理解仍停留在小數(shù)形式表面，對于小數(shù)本質意義的理解還需多種形式輔助。

（三）小數(shù)與整數(shù)、分數(shù)的聯(lián)系分析

測評題3、部分學生答卷及結果分析：

用合適的數(shù)填一填。

比0.1大，比0.3小的數(shù)有（ ）

0.5+0.08=（ ）你的解釋_____________

圖4

圖5

圖6

學生對于小數(shù)的意義的理解還存在一個理想與現(xiàn)實的差距，近80%的學生認為比0.1大比0.3小的數(shù)只有一個0.2，即對小數(shù)的本質屬性——小數(shù)的稠密性缺乏完整的體驗，對于小數(shù)的產生及其必要性缺少概念，整數(shù)知識對小數(shù)意義的學習有著很大的幫助，學生能通過以往整數(shù)學習經驗同小數(shù)進行類比，結果顯示有57.5%的學生能通過整數(shù)知識的類比找到正確的結果，但只有13.8%的學生能以計數(shù)單位的視角進行正確的解釋，而在不能正確計算的42.5%的學生中，有80.4%的學生把5和8相加，反映了學生對于計數(shù)單位的理解還不到位。

三、策略思考

基于前測對于教學的定位，筆者形成了對“小數(shù)的意義”一課的思考。

（一）以“整體”為入口，表征小數(shù)

張奠宙教授認為：“引進小數(shù)是為了表示小于‘單位1’的量，除0之外，自然數(shù)中最小的是1，所以自然數(shù)不能表示小于1的量。小數(shù)是分母為10，100，1000……的一類特殊分數(shù)。小數(shù)十進制位值原則記數(shù)法，滿十進一，但分數(shù)不是?！币虼俗鳛榫謽藴实摹?”對于認識小數(shù)及其意義有著至關重要的作用。而對于這個“1”的理解，以及對“1”充分理解后的表征則是走向小數(shù)意義理解的第一步。

筆者認為建構起以面積、線段、數(shù)軸等模型多元感知“1”，同時結合具體的情境激發(fā)學生對小數(shù)產生實際的共鳴。譬如在表征0.1時，可以先讓學生自主說一說0.1具體可以表示什么，學生可以把生活經驗中的0.1元、0.1千克、0.1米等抽取出來，并對0.1和1元、1千克、1米進行對比，從而形成對小數(shù)的初步認知。接著讓學生在面積、線段“1”中表征0.1，幫助學生建立對不同“1”形的認知，從而為感知小數(shù)的本質意義，建立小數(shù)與整數(shù)、分數(shù)的聯(lián)系，抽象出數(shù)學意義上的0.1奠定基礎。在這些模型的堆疊、運用、建構中，圖、數(shù)學結構、現(xiàn)實生活情境，通過生活語言、圖示語言和數(shù)學語言相互轉化，從而豐富教學的內涵。

（二）以“數(shù)數(shù)”為突破，展現(xiàn)過程

華羅庚曾說：“數(shù)（shù）源于數(shù)（shǔ）。”數(shù)（shù）的本質其實是數(shù)（shǔ），而數(shù)（shǔ）的本質在于計數(shù)單位，如整數(shù)，我們可以一個一個數(shù)，十個十個數(shù)，百個百個數(shù)，個、十、百就是計數(shù)單位。小數(shù)和分數(shù)亦是如此，通過數(shù)數(shù)，展開教學過程，在序列增加或減少中，凸顯計數(shù)單位，培養(yǎng)數(shù)感，豐富學生數(shù)概念。

因此，筆者建議在教學中應關注作為計數(shù)單位的0.1及0.01的認識，把小數(shù)的意義和對小數(shù)的建構建立在數(shù)計數(shù)單位上來。在表征出0.1后，可以借助于數(shù)數(shù)鞏固對0.1的認識，如在面積模型中從0.4開始數(shù)數(shù)到整數(shù)1，驗證10個0.1是1，建立“1”與0.1在形上的聯(lián)系。而在對本課的難點兩位小數(shù)的突破上，還是以數(shù)數(shù)為基礎，讓學生在實際情境（如身高）0.01中或0.01的增加中深刻認識兩位小數(shù)的計數(shù)單位是0.01，在數(shù)到相同的數(shù)如1.77時，感知一位小數(shù)與兩位小數(shù)的區(qū)別，在數(shù)到1.80時體會一位小數(shù)與兩位小數(shù)的聯(lián)系。為比較一位小數(shù)與兩位小數(shù)的本質，進而推理產生三位小數(shù)乃至多位小數(shù)，建構起小數(shù)體系，夯實了基礎。學生在數(shù)數(shù)中所經歷的十等分、百等分及計數(shù)單位累加的過程，深化了對小數(shù)意義的認知，形成了對計數(shù)單位、數(shù)位等抽象意義更深刻、個性化的認識和理解。

（三）以“分割”為深化，促進內化

維果茨基說：“了解概念形成的過程，即可把握住兒童認知與思維的過程?！睂τ跀?shù)概念的理解也應遵循數(shù)概念的形成過程。即幫助學生在無限分割中逐步建立小數(shù)概念，體會小數(shù)因測量、分物、計算而產生需要，深度理解小數(shù)的稠密性，從而促進自身的認知，提升數(shù)學思維。

筆者認為小數(shù)的產生其實質是整數(shù)不夠表示。當整數(shù)不夠表示時，把整數(shù)平均分成10份，每1份是0.1，于是就產生了一位小數(shù)，當一位小數(shù)不夠表示時，就把0.1平均分成10份，每1份就是0.01，于是就產生了兩位小數(shù)。多位小數(shù)亦是如此。借助面積、立體、數(shù)軸模型十等分再十等分，學生不斷感受細分的過程，逐漸體會兩個小數(shù)之間還存在著無數(shù)個小數(shù)。以這樣的分割操作引入，學生在分一分、畫一畫、說一說、數(shù)一數(shù)等活動中發(fā)現(xiàn)小數(shù)產生的實際需要，體驗具體到抽象的理解過程，從而刻畫出小數(shù)的稠密性。在這樣的學習活動中，學生對于整數(shù)、分數(shù)自然進行了聯(lián)系，而數(shù)數(shù)又很好地彌補了學生意義概念上的缺失，指向于學生對于數(shù)的本質理解，打破了學生原有的數(shù)的體系，豐富了數(shù)系的內涵，而更為關鍵的是學生習得數(shù)產生的基本活動經驗，為后續(xù)新的數(shù)的學習埋下了種子。

（四）以“文化”厚實，培育素養(yǎng)

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》指出：“數(shù)學是人類文化的重要組成部分，數(shù)學素養(yǎng)是現(xiàn)代社會每一個公民應該具備的基本素養(yǎng)?！笨梢姡瑪?shù)學、文化、素養(yǎng)本身就可以進行有機結合。在數(shù)學的課堂里，以文化人，用文化來培育人，讓素養(yǎng)得以真正發(fā)生，是“小數(shù)的意義”這一課所期望達成的另一高度。

筆者認為，可以讓數(shù)學在人文科學、自然科學領域找到原型，用學生所熟知的小數(shù)，如圓周率π、黃金分割率0.618等展開設計，開闊學生的視野，讓素養(yǎng)伴隨著文化自然發(fā)生。以0.618為例，給出一條0～1的數(shù)軸，讓學生來猜數(shù)。在學生的猜測中謎底逐步揭示，學生在數(shù)線的無限逼近中實現(xiàn)對小數(shù)意義的深度抽象認識，推理出數(shù)軸上的點是稠密的，并且是連續(xù)的，任意兩個無限接近的點之間的線段仍然可以不斷地細分，從而繼續(xù)產生無數(shù)個點的特性，與此對應的小數(shù)也是無窮無盡的，從而建構起對小數(shù)本質意義的理解。在數(shù)學素養(yǎng)諸如抽象、推理等概念的建立的同時，學生對0.618這個古老分割率的認識得到了提升。