整體理念觀照下的“三位數(shù)乘兩位數(shù)”單元復(fù)習(xí)教學(xué)實(shí)踐

□ 趙麗麗 張明明

“三位數(shù)乘兩位數(shù)”這個單元雖然課時數(shù)不多，但是在整數(shù)乘法中占有十分重要的地位。整個單元從乘法筆算計算方法上進(jìn)行整體回顧，從數(shù)量關(guān)系上進(jìn)行抽象概括，還要結(jié)合計算總結(jié)積的變化規(guī)律，另外還要結(jié)合學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行函數(shù)思想的滲透。如何在單元復(fù)習(xí)中對這些單元學(xué)習(xí)要點(diǎn)進(jìn)行回顧、梳理與鞏固呢？筆者從整體的視角構(gòu)思與設(shè)計復(fù)習(xí)內(nèi)容，讓學(xué)生“溫故而知新”。

一、整體設(shè)計計算練習(xí)，構(gòu)建乘法豎式計算的模型體系

筆算“三位數(shù)乘兩位數(shù)”有兩類模型，第一類是兩個因數(shù)末尾均沒有零；第二類是因數(shù)末尾有零。第二類依據(jù)零的個數(shù)與位置不同，又可以分成三種情況。這樣構(gòu)成了四種基本模型。如何把兩大類四種基本模型整體呈現(xiàn)，讓學(xué)生整體把握四種筆算模型的基本特征呢？筆者采用依據(jù)模型編題后再計算的教學(xué)策略。

（一）整體回顧乘法豎式模型

課始，教師課件出示如圖1的豎式模型，提出問題：這四個都是三位數(shù)乘兩位數(shù)的豎式模型，仔細(xì)觀察又有什么不一樣的地方？

圖1

生：①號豎式是一般的乘法，②③④號的因數(shù)末尾有零，虛線右邊的方框里填0。

生：后面三個豎式模型里面要先算虛線左邊部分的，然后虛線后面有幾個0，積也添幾個零。

師：同學(xué)們觀察得很仔細(xì)。通過簡算，后面的三道三位數(shù)乘兩位數(shù)，分別可轉(zhuǎn)化成怎樣的乘法呢？

生：②號是兩位數(shù)乘一位數(shù)、③號是兩位數(shù)乘兩位數(shù)、④號是三位數(shù)乘一位數(shù)，計算就會簡單許多。

用豎式的形式來整體認(rèn)識三位數(shù)乘兩位數(shù)的不同計算模型，培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真審題的習(xí)慣，增強(qiáng)學(xué)生對乘法豎式模型特征的整體把握。

（二）依據(jù)模型自主編制計算題

依據(jù)模型自主編制計算題可以有兩種方式，一種是自主填數(shù)，學(xué)生自己選擇數(shù)字填入相應(yīng)的方框里，然后交流點(diǎn)評各自編寫的計算題的特點(diǎn)，這樣的填數(shù)方式，有利于展現(xiàn)學(xué)生不同的思維特點(diǎn)。另一種形式是給定一組數(shù)據(jù)，讓學(xué)生從中選擇5個數(shù)字填入方框中，使算式符合特征，這樣的填數(shù)方式有利于教師的調(diào)控，避免編制的計算題過于單一，但同時也可能使得編制的題目不夠豐富。

兩種方式各有優(yōu)缺點(diǎn)，下面介紹的是采用后者的方式讓學(xué)生自主編題，為克服提供數(shù)據(jù)的缺點(diǎn)，筆者精心選擇了可促進(jìn)學(xué)生深入思考的8個數(shù)字。教師出示如下的8個數(shù)字：1、7、2、6、4、8、0、0，從中選擇5個數(shù)字填入方框里，編制出相應(yīng)模型的計算題各一道。

（三）同桌交換計算互評后集體反饋

編制出題目后，與同桌交換計算，并互批。在此基礎(chǔ)上進(jìn)行反饋點(diǎn)評。教師選擇一些典型的例子進(jìn)行反饋。

除了可以發(fā)現(xiàn)學(xué)生中出現(xiàn)的一些典型錯例，還可以對算式不同但結(jié)果相同的乘法算式進(jìn)行比較分析，如圖2、圖3。圖2比較明顯，簡算成兩位數(shù)乘兩位數(shù)時兩個因數(shù)相同。圖3則不容易發(fā)現(xiàn)，可以引導(dǎo)學(xué)生比較120與480，64與16之間的變化規(guī)律，發(fā)現(xiàn)第一組是乘4，第2組是除以4，積不變。

圖2

圖3

筆算“三位數(shù)乘兩位數(shù)”計算步驟繁雜，變化形式多樣。因此，認(rèn)真審題、把握結(jié)構(gòu)、仔細(xì)計算顯得尤為重要。

二、整體設(shè)計應(yīng)用問題練習(xí)，構(gòu)建兩種數(shù)量關(guān)系的共同模型

作為小學(xué)階段唯一單獨(dú)教學(xué)的兩個數(shù)量關(guān)系，它們在結(jié)構(gòu)上有相同之處。我們采用依據(jù)算式編寫應(yīng)用問題的形式突顯它們之間的聯(lián)系，構(gòu)建起共同的模型。

（一）回顧數(shù)量關(guān)系，滲透函數(shù)思想

教師談話引導(dǎo)回憶數(shù)量關(guān)系，構(gòu)建起兩類常見數(shù)量關(guān)系的結(jié)構(gòu)體系，為后續(xù)依據(jù)算式編寫應(yīng)用問題做鋪墊。

師：除了三位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算，我們還學(xué)習(xí)了兩類常見的數(shù)量關(guān)系。請同學(xué)們回憶一下，有哪兩類。關(guān)系式分別是怎樣的？

生：一類是買東西時用到的。有“單價×數(shù)量=總價”“總價÷數(shù)量=單價”“總價÷單價=數(shù)量”。

生：還有一類是行程問題。有“速度×?xí)r間=路程”“路程÷時間=速度”“路程÷速度=時間”。

教師依據(jù)學(xué)生的回答，分別板書關(guān)系式（如圖4未加箭頭時）。然后按上下兩個關(guān)系式為一組提出問題。

師：觀察求總價的數(shù)量關(guān)系式，想一想，當(dāng)總價不變時，單價和數(shù)量會怎樣變化呢？

生：如果總價不變，單價越貴，買的數(shù)量就越少。

師：觀察求路程的數(shù)量關(guān)系式，想一想，當(dāng)路程不變時，速度與時間又是怎樣變化的呢？

生：如果路程不變，速度越快，用的時間就少。

……

圖4

依據(jù)學(xué)生的回答，教師畫上相應(yīng)的箭頭，板書成如圖4。

由數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)變成函數(shù)關(guān)系，理解同一個關(guān)系式中三種量之間的變化規(guī)律，為今后學(xué)習(xí)正反比例函數(shù)與解決相應(yīng)的問題做好鋪墊。

（二）依據(jù)線段圖示，提出編題任務(wù)

從前面的數(shù)量關(guān)系的對比分析中，學(xué)生已經(jīng)感受到兩類數(shù)量關(guān)系之間的聯(lián)系。在此基礎(chǔ)上，通過線段圖構(gòu)成要素及其關(guān)系的分析，溝通兩個數(shù)量關(guān)系之間的聯(lián)系，并賦予具體的數(shù)據(jù)，提出編題的任務(wù)。

教師課件出示如圖5的線段圖。提出問題：如果把它想象成關(guān)于“單價”“數(shù)量”與“總價”的線段圖，你能分別指出圖中對應(yīng)的部分嗎？學(xué)生回答得到如圖6。教師繼續(xù)提問：如果是“速度”“時間”與“路程”呢？學(xué)生回答后得到如圖7。這時，教師在圖5的三個括號里分別填上相應(yīng)的數(shù)據(jù)，轉(zhuǎn)化成如圖8。請學(xué)生結(jié)合圖6、圖7的線段圖，以及黑板上的六個數(shù)量關(guān)系式，編出相應(yīng)的應(yīng)用問題。

圖5

圖6

圖7

圖8

用線段圖使數(shù)量關(guān)系變得直觀可視，同時也讓學(xué)生直觀地認(rèn)識到兩種數(shù)量關(guān)系具有相同的模型。

對于安全級別要求較高的信息系統(tǒng)，也可以考慮在自身應(yīng)用系統(tǒng)中額外加入身份認(rèn)證模塊，如二次密碼、問題驗證和令牌等認(rèn)證方式［3］。

（三）編制應(yīng)用問題，構(gòu)建數(shù)量關(guān)系網(wǎng)絡(luò)

依據(jù)以上的數(shù)量關(guān)系編制應(yīng)用問題，不在于多，而在于聯(lián)。聯(lián)系可從兩個方面來實(shí)現(xiàn)，第一個方面是同一類型應(yīng)用問題之間的聯(lián)系，即同一類型創(chuàng)設(shè)一個情境，編制出其中的一個應(yīng)用問題之后，變換信息與問題編制成其他的兩個應(yīng)用問題。如商品買賣中的數(shù)學(xué)問題，編制的基本題是求總價：一種玩具的單價是80元/個，買這樣的3個要多少元？其余兩個問題就是：（1）買3個玩具要240元，每個玩具要多少元？（2）一種玩具的單價是80元/個，240元可以買多少個？第二個方面是同一算式中的聯(lián)系。如用“80×3=240”計算的兩類應(yīng)用問題進(jìn)行比較，找到各個量之間的對應(yīng)關(guān)系。

數(shù)量關(guān)系來自應(yīng)用問題中信息與問題之間的四則運(yùn)算關(guān)系的提煉，是分析應(yīng)用問題的重要環(huán)節(jié)，依據(jù)線段圖與數(shù)量關(guān)系編應(yīng)用問題，有利于發(fā)現(xiàn)應(yīng)用問題中具體情境、信息與問題之間的結(jié)構(gòu)特征。

三、適度拓展應(yīng)用問題練習(xí)，構(gòu)建乘法應(yīng)用問題的通用模型

乘法意義下的常見數(shù)量關(guān)系，除了教材中的兩類，還有日常工作中常見的數(shù)量關(guān)系，稱為工程問題。在特定情境下，它與行程問題的數(shù)量關(guān)系相似。因此，在溝通教材中常見的兩類數(shù)量關(guān)系的基礎(chǔ)上，可以通過比較辨析，概括工作中的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而再次比較三類數(shù)量關(guān)系，概括出乘法意義下常見數(shù)量關(guān)系的通用模型。

（一）比較辨析，概括工作中的數(shù)量關(guān)系

通過題組比較，學(xué)生發(fā)現(xiàn)相同的數(shù)據(jù)在不同的情境下意義會不一樣，需要重新概括概念，獲得新的數(shù)量關(guān)系。

師：剛才同學(xué)們用線段圖中的信息編出了關(guān)于商品買賣和行程問題中的應(yīng)用問題。老師也編了兩個問題，請同學(xué)們說一說，它們符合哪一種類型？

教師課件出示如下的兩個問題：

（1）王叔叔從甲地去乙地，每分鐘行80米，3分鐘到達(dá)。甲乙兩地相距多少米？

（2）王叔叔從甲地到乙地檢測一段線路，每分鐘檢測80米，3分鐘檢測完成。線路長多少米？

生：我認(rèn)為都是行程問題，數(shù)量關(guān)系式是“速度×?xí)r間=路程”。

師：剛才大家討論得很好。第一個問題講王叔叔走一段路的事情，是行程問題；第二個問題是王叔叔做一項工作——檢測一段線路，所以這類問題被稱為“工程問題”，每分鐘檢測的米數(shù)稱為“工作效率”，3分鐘稱為“工作時間”，線路的長度就是“工作總量”。想一想，解決第二題的數(shù)量關(guān)系式是怎樣的。

生：工作效率×工作時間=工作總量。

教師依據(jù)學(xué)生的回答板書數(shù)量關(guān)系式后提問：你能把它編寫成其他兩種類型的應(yīng)用問題，并說一說解決問題的數(shù)量關(guān)系嗎？

……

工程問題的數(shù)量關(guān)系來自與行程問題的比較，在比較中依據(jù)學(xué)生的回答構(gòu)建起工程問題的數(shù)量關(guān)系結(jié)構(gòu)體系。

（二）溝通聯(lián)系，概括乘法意義下的數(shù)量關(guān)系

通過拓展延伸，進(jìn)一步豐富了常見的數(shù)量關(guān)系。同時，還需要讓學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識到，這三類常見的數(shù)量關(guān)系，是乘法意義下數(shù)量關(guān)系在具體情境中的特例。

教師課件出示如下的三個問題后提問：老師根據(jù)線段圖的信息還有三個應(yīng)用問題，同學(xué)們能夠把它們分一分類，歸到前面的哪一類呢？

（1）小明家平均每天買菜用去80元，3天用去多少元？

（2）有一卷240米長的電纜線，把它平均分成3份，每份是多少米？

（3）若干根同樣規(guī)格的鋼管總共的質(zhì)量是240千克，每根鋼管重80千克，有幾根？

生：我發(fā)現(xiàn)這三道題目哪一類也不是。如第一題“每天買菜用去80元”，不是單價；第二題“電纜線長240米”既不是“路程”也不是“工作總量”；第三題更加不是了。

生：我是豎著看的。第一題是第一類，求的是總數(shù)?？們r、路程和工作總量都是總數(shù)?！懊刻煊萌サ脑獢?shù)”可以叫每份數(shù)，單價、速度和工作效率都是每份數(shù)?！?天”就是份數(shù)，數(shù)量、時間和工作時間都是份數(shù)。按照這要分下去，第二題是第二類，求每份數(shù)；第三題是第三類，求份數(shù)。

教師依據(jù)生2的說法，對課件中原來的線段圖進(jìn)行補(bǔ)充，成為圖9的形式，并把黑板上的板書補(bǔ)充成為圖10的形式。

圖9

圖10

從一般中發(fā)現(xiàn)特殊再回到一般，有層次地構(gòu)建起乘法意義下的數(shù)量關(guān)系的結(jié)構(gòu)模型。體會到數(shù)量關(guān)系之間的聯(lián)系，以及它對于解決問題的引領(lǐng)作用。

（三）綜合應(yīng)用，溝通應(yīng)用問題中的相等關(guān)系

把數(shù)量關(guān)系思考成函數(shù)關(guān)系，有利于從變化中尋找到不變之處，發(fā)現(xiàn)解決問題的突破口，找到其中的相等關(guān)系。如歸一、歸總類應(yīng)用問題就是很好的例子。歸一應(yīng)用問題就是在每份數(shù)相等的情況下，總數(shù)與份數(shù)發(fā)生變化時提出的數(shù)學(xué)問題；歸總應(yīng)用問題則是在總數(shù)不變的情況下，每份數(shù)與份數(shù)變化時提出的數(shù)學(xué)問題。

（1）從甲地去乙地，去時騎自行車用了4小時到達(dá)，原路返回改乘公交車，2小時返回。自行車的平均速度是15千米/時，公交車的平均速度是多少千米/時？

（2）買4個籃球要320元。照這樣計算，買同樣的8個籃球要多少元？

這兩個問題均可以用兩種方法計算，且可以引導(dǎo)學(xué)生用列表法分析。

第一題列表如圖11。第一種方法，因為去時與返回的路程相同，求出去時的路程，就是求出了返回的路程，然后用返回的路程除以返回的時間就求出了返回的平均速度。第二種方法，是依據(jù)去時與返回的路程相同時，時間除以幾，速度就要乘幾來思考。

第二題列表如圖12。依據(jù)單價不變，同樣可以用兩種方法計算。

基于整體的“三位數(shù)乘兩位數(shù)”單元復(fù)習(xí)，由面到點(diǎn)，整體把握筆算三位數(shù)乘兩位數(shù)的豎式特點(diǎn)，合理選擇豎式擺法。由點(diǎn)到面，認(rèn)識常見的數(shù)量關(guān)系與乘法意義下的數(shù)量關(guān)系之間的層次結(jié)構(gòu)，能夠依據(jù)實(shí)際情況靈活地選擇數(shù)量關(guān)系，尋找變中的不變處，形成規(guī)范的解決問題的思路。