以“速度”理解為中心的行程問(wèn)題數(shù)量關(guān)系的教學(xué)實(shí)踐

□ 瞿仙紅 姚金金

“速度”是一個(gè)物理學(xué)概念，是描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)快慢和方向的物理量，等于位移和發(fā)生此位移所用時(shí)間的比值。從上述定義可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)教材中的“速度”指的是物理學(xué)中速度的其中一個(gè)方面——“質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的快慢”，這個(gè)快慢是用一個(gè)“比值”表示。這樣的定義給我們一個(gè)啟示，“速度”不僅是一個(gè)量，同時(shí)也是一個(gè)“比值”。認(rèn)識(shí)“速度”，不僅僅只看量的大小，還要關(guān)注速度所包含的單位的含義?；谶@樣的思考，在教學(xué)行程問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系時(shí)，教師可以以“速度”的理解為中心，在具體應(yīng)用中逐步構(gòu)建行程問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系。

一、從“比值”的視角揭示速度內(nèi)涵

四年級(jí)上學(xué)期的學(xué)生，大多數(shù)已經(jīng)知道“速度”可以表示快慢。但對(duì)于“速度”是如何表示快慢的，大多數(shù)學(xué)生還是停留在“行的路程長(zhǎng)，速度就快”的片面理解上。因此，為了更加深入理解“速度”，需要?jiǎng)?chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生從“路程與單位時(shí)間的比”的角度來(lái)理解，既關(guān)注路程，更關(guān)注單位時(shí)間，從而更加全面地認(rèn)識(shí)速度。

（一）感受速度表示快慢

在自然界與生活中，可以看到各式各樣的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，這些運(yùn)動(dòng)狀態(tài)通過(guò)比較，可以直觀地表達(dá)誰(shuí)快誰(shuí)慢。進(jìn)一步分析，如果要更精確地進(jìn)行描述，就要用到定量描述，這就是速度。在課始，可以創(chuàng)設(shè)具體情境，讓學(xué)生經(jīng)歷這一個(gè)過(guò)程。

教師出示圖1，提問(wèn)：這里有三幅圖片，請(qǐng)說(shuō)一說(shuō)它們分別是什么動(dòng)物，誰(shuí)跑得最快，誰(shuí)爬得最慢。學(xué)生回答后，教師追問(wèn)：那么怎樣表示它們的快慢呢？當(dāng)有學(xué)生說(shuō)到可以用“速度”時(shí)，教師板書(shū)“速度”并出示如下幾個(gè)數(shù)據(jù)：8米/秒；8米/分；8米/時(shí)。然后提問(wèn)：這就是“速度”，你看得懂嗎？說(shuō)一說(shuō)它們的意思。由于有前一節(jié)課中“單價(jià)”表述的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生能夠讀出并說(shuō)出每一個(gè)速度的含義。這時(shí)教師繼續(xù)追問(wèn)：這3個(gè)速度分別可以表示這三種動(dòng)物運(yùn)動(dòng)的快慢，請(qǐng)你連一連，然后說(shuō)一說(shuō)為什么。

圖1

生：8米/秒比較快，所以連獵豹；8米/分比較慢，所以連烏龜；8米/時(shí)最慢，所以連蝸牛。

師：同樣是8米，為什么你認(rèn)為8米/秒就是最快的呢？教室的長(zhǎng)大約是8米，你能夠形容一下嗎？

生：就是“嘀嗒”一下，獵豹就從教室的這頭到了那一頭。

生：真快！就像“風(fēng)馳電掣”！

師：大家想象一下，1秒鐘從教室這頭到了那一頭，能夠體會(huì)到快嗎？（停頓。學(xué)生點(diǎn)頭后教師繼續(xù)說(shuō)）那么怎樣來(lái)形容“8米/分”的“較慢”與“8米/時(shí)”的“很慢”呢？

……

通過(guò)以上的交流與體驗(yàn)，學(xué)生體會(huì)到速度是單位時(shí)間行的路程。因此，需要路程與時(shí)間共同作用，才能夠表示出快慢。

（二）認(rèn)識(shí)常見(jiàn)交通工具的速度

在日常生活中，不同的交通工具也有快慢之別。列舉常見(jiàn)的交通工具，讓學(xué)生依據(jù)經(jīng)驗(yàn)選擇合適的“速度”,從單位時(shí)間相同的角度來(lái)感受速度表示出的快慢。

教師先出示人行走的圖示，然后問(wèn)：人1小時(shí)一般可以走多少千米？學(xué)生猜測(cè)后教師出示：約6千米。接著教師依次出示自行車、汽車、動(dòng)車與飛機(jī)的圖片，讓學(xué)生先猜測(cè)。然后依次出示如下的速度：自行車約20千米/時(shí)、汽車約60千米/時(shí)、動(dòng)車約260千米/時(shí)、飛機(jī)約900千米/時(shí)。

教師繼續(xù)問(wèn)：為什么要用到“約”呢？

生：在行駛的過(guò)程中，有的時(shí)候會(huì)快一點(diǎn)，有的時(shí)候會(huì)慢一點(diǎn)，“平均”一下就是這個(gè)樣子。

師：回答得很有水平，“平均”一下“大約”是這么多!

接著教師出示幾張不同背景下汽車行駛的圖片與限速標(biāo)記，然后提問(wèn)：實(shí)際上，汽車在不同的路況下行駛，它的速度會(huì)不一樣，這幾個(gè)馬路上的交通標(biāo)識(shí)你看得懂嗎？

……

通過(guò)以上的活動(dòng)，學(xué)生對(duì)常見(jiàn)的交通工具的速度有了較為全面的了解，為后續(xù)創(chuàng)設(shè)情境、選擇合適的出行方式等問(wèn)題做了必要的鋪墊。

（三）歸納速度的比較策略

如何直接比較物體運(yùn)動(dòng)的快慢呢？以上兩種信息包含了兩種比較的策略，即第一種是當(dāng)路程相同時(shí)，單位時(shí)間越短，速度越快；第二種是當(dāng)單位時(shí)間相同時(shí)，路程越長(zhǎng)，速度越快。從而讓學(xué)生感受到速度體現(xiàn)的是兩種量（路程與時(shí)間）之間的比值。

師：同學(xué)們，剛才我們學(xué)習(xí)了兩組速度，我們來(lái)比較一下，它們有什么相同的地方？

生：它們和“單價(jià)”一樣，是由兩個(gè)單位合起來(lái)的。前面一個(gè)單位是長(zhǎng)度單位，后面一個(gè)單位是時(shí)間單位。

師：又有什么不同的地方？

生：第一種長(zhǎng)度相同，時(shí)間不同；第二種長(zhǎng)度不同，時(shí)間相同。

師：你有什么發(fā)現(xiàn)？

……

“速度”是描述物體運(yùn)動(dòng)快慢的量，只有了解“速度”的內(nèi)涵，才能夠選擇合適的方法進(jìn)行比較。同時(shí)，通過(guò)題組的形式，在比較中建立關(guān)于“速度”的量感。學(xué)生能夠依據(jù)“速度”推測(cè)可能是什么運(yùn)動(dòng)物體，看到常見(jiàn)的運(yùn)動(dòng)物體能夠估計(jì)它們大致的速度。

二、由“應(yīng)用”的需要概括關(guān)系

以“速度”理解為中心的行程問(wèn)題數(shù)量關(guān)系的構(gòu)建，也建立在對(duì)速度的理解與比較之中。速度是如何求得的？長(zhǎng)度單位與時(shí)間單位均不相同的速度如何比較快慢？如何依據(jù)路程的長(zhǎng)短合理地選擇交通工具？圍繞速度解決問(wèn)題的過(guò)程中逐步概括行程問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系。

（一）比較快慢中概括求速度的數(shù)量關(guān)系

速度是如何求得的？求得速度有什么用？解答這兩個(gè)問(wèn)題可以結(jié)合具體實(shí)例，讓學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中概括出求速度的數(shù)量關(guān)系。

教師出示信息并提出問(wèn)題：飛機(jī)滑行5秒，行了125米；汽車行駛20秒，行了560米。比較誰(shuí)行得快。

先讓學(xué)生獨(dú)立嘗試解決上面的問(wèn)題，然后反饋：要比較誰(shuí)行得快，需要求出它們的什么？

生：只要求出它們的速度后再比一比就行了。

學(xué)生展示作業(yè)并說(shuō)明。教師依據(jù)這兩個(gè)算式概括出“路程”“時(shí)間”，然后進(jìn)一步提問(wèn)：怎樣求速度？學(xué)生回答后形成板書(shū)（如圖2）。

圖2

（二）判斷快慢中概括求路程的數(shù)量關(guān)系

一般地，求路程的數(shù)量關(guān)系是行程問(wèn)題中的基本數(shù)量關(guān)系。圍繞以“速度”理解為中心的行程問(wèn)題教學(xué)，把這一個(gè)數(shù)量關(guān)系的概括也建立在比較速度的問(wèn)題情境中。

教師出示如下的情境：在一段高速公路上，有一輛汽車行駛的速度是2千米/分，這段高速公路的限速是100千米/時(shí)。這輛汽車超速了嗎？

生：一個(gè)是每分行的千米數(shù)，一個(gè)是每小時(shí)行的千米數(shù)，單位時(shí)間與千米數(shù)都不相同，不能直接進(jìn)行比較。我把“2千米/分”化成了“120千米/時(shí)”，列出的算式是2×60=120（千米），120千米＞100千米，超速了！

教師板書(shū)學(xué)生的算式后追問(wèn)：依據(jù)這一個(gè)算式，你能夠概括出什么數(shù)量關(guān)系？

生：速度×?xí)r間=路程。

教師板書(shū)關(guān)系式，提出新要求：你能夠利用這一關(guān)系式編出求路程的問(wèn)題嗎？

同桌合作，一位學(xué)生口頭編，另一位學(xué)生列式解答，兩位學(xué)生各完成一組。然后教師指名兩組學(xué)生反饋，并把算式板書(shū)于相應(yīng)位置。

（三）選擇交通工具中概括求時(shí)間的數(shù)量關(guān)系

在日常生活中，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)如下問(wèn)題：從甲地到乙地，有多種交通工具可以選擇，選擇哪一種交通工具最合理呢？一般需要依據(jù)到達(dá)目的地的時(shí)間限定和路程的長(zhǎng)短。

教師出示如下問(wèn)題：小王從甲地到乙地去辦事，兩地間有15千米。有三種出行方式，步行每小時(shí)行5千米，自行車每小時(shí)行15千米，乘公交車每小時(shí)行30千米。要求1小時(shí)內(nèi)到達(dá)，可以選擇怎樣的出行方式？為什么？

先由學(xué)生獨(dú)立完成，然后反饋。

生：我選擇的是自行車，因?yàn)?5÷15=1（小時(shí)）。

生：我選擇乘公交車，因?yàn)?5÷30=0.5（小時(shí)）。15÷30豎式我不會(huì)算，但是我發(fā)現(xiàn)15是30的一半，所以是0.5小時(shí)。

師：為什么不選擇步行出行呢？

生：步行出行要用15÷5=3（小時(shí)），超時(shí)了！

教師依據(jù)學(xué)生的回答板書(shū)算式，然后引導(dǎo)學(xué)生概括出數(shù)量關(guān)系（如圖3）。

圖3

行程問(wèn)題的三個(gè)數(shù)量關(guān)系既相互聯(lián)系，又各有作用。創(chuàng)設(shè)了三個(gè)問(wèn)題情境，讓學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中逐步概括出數(shù)量關(guān)系，有利于學(xué)生依據(jù)具體情境選擇合適的數(shù)量關(guān)系，也讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)量關(guān)系來(lái)源于現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的解決。

三、因“題組”的觀察滲透函數(shù)關(guān)系

在前面兩節(jié)課中，通過(guò)題組練習(xí)，滲透函數(shù)思想，在本節(jié)課中也可以用題組的形式觀察分析，滲透行程問(wèn)題中的函數(shù)關(guān)系。

（一）路程不變時(shí)的函數(shù)關(guān)系

教師引導(dǎo)學(xué)生觀察板書(shū)（見(jiàn)圖3）中求時(shí)間的三個(gè)算式，提出問(wèn)題：從選擇交通工具的三個(gè)算式中你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：我發(fā)現(xiàn)被除數(shù)不變，除數(shù)越大，商越小。

生：也就是說(shuō)路程不變，速度越大，時(shí)間越小。

教師在板書(shū)中的“速度”“時(shí)間”上分別打上向上與向下的箭頭，然后提問(wèn)：你能夠在算式中舉例說(shuō)明嗎？

學(xué)生舉例，教師板書(shū)呈現(xiàn)圖4。

圖4

結(jié)合具體情境，把行程問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化成函數(shù)關(guān)系，歸納總結(jié)當(dāng)路程相同時(shí)，速度和時(shí)間的變化規(guī)律。

（二）相同速度時(shí)的函數(shù)關(guān)系

教師接著引導(dǎo)學(xué)生觀察板書(shū)中的2千米/分=120千米/時(shí)，提問(wèn)：這個(gè)等式表示這兩個(gè)速度是相等的。請(qǐng)仔細(xì)觀察，這兩個(gè)速度有什么變化規(guī)律呢？

生：從左邊到右邊，2千米到120千米乘了60，“分”變成“時(shí)”也乘了60。

師：這個(gè)發(fā)現(xiàn)很有意思，也就是速度不變，時(shí)間乘幾，路程也乘幾。

教師在板書(shū)（見(jiàn)圖3）中第一個(gè)關(guān)系式的“時(shí)間”和“路程”上打上向上的剪頭，然后再在板書(shū)2×60=120的上面和下面各寫(xiě)出兩個(gè)算式“2×30”和“2×120”。學(xué)生計(jì)算后比較這三個(gè)算式的變化規(guī)律。

……

根據(jù)學(xué)生的回答，教師板書(shū)，見(jiàn)圖5。

圖5

（三）時(shí)間不變時(shí)的函數(shù)關(guān)系

以上兩個(gè)情境分別是在路程相同或速度相同的情況下歸納另外兩種量的變化規(guī)律。依據(jù)板書(shū)，讓學(xué)生自己提出問(wèn)題，然后創(chuàng)設(shè)情境來(lái)研究提出的問(wèn)題，歸納出變化規(guī)律。

教師引導(dǎo)學(xué)生再一次觀察圖4與圖5的板書(shū)，并指明它們的相同點(diǎn)，即有一種量相同，另外的兩種量有規(guī)律地變化。接著提出問(wèn)題：你還能夠提出這樣的問(wèn)題嗎？

生：如果時(shí)間相同，路程和速度會(huì)怎樣變化呢？

生：我想應(yīng)該是速度越快，路程就會(huì)越長(zhǎng)吧！

師：請(qǐng)同學(xué)們用求速度的關(guān)系式，以下面的第一個(gè)算式為例子，編寫(xiě)一組題目，然后找一找變化規(guī)律，看是否與自己的想法一致。

學(xué)生舉例時(shí)，教師巡視，選擇其中的一組寫(xiě)到黑板上相應(yīng)的位置，再進(jìn)行討論，形成如圖6的板書(shū)。

圖6

總之，有關(guān)“速度”的數(shù)量關(guān)系的學(xué)習(xí)，要把重點(diǎn)放在對(duì)“速度”的理解上，讓學(xué)生能夠從動(dòng)態(tài)的角度理解數(shù)量關(guān)系，滲透函數(shù)思想，并通過(guò)遷移類比，溝通相關(guān)數(shù)量關(guān)系的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)的同時(shí)，重視數(shù)學(xué)思維方式的學(xué)習(xí)。