善用知識聯(lián)系 加深數(shù)學理解
——“積的變化規(guī)律”教學實踐

□ 俞世祥 朱 萍 洪巨波

“積的變化規(guī)律”是乘法計算中自然存在著的規(guī)律，即當一個因數(shù)不變，積與另外一個因數(shù)存在著正比例關(guān)系。這一種關(guān)系，在二年級學習乘法口訣時學生已經(jīng)有所體會，如“一五得五，二五一十”。其中因數(shù)5不變，另一個因數(shù)乘2，積也乘2，反之，另外一個因數(shù)除以2，積也除以2。但是，由于受當時學生思維水平的限制，并沒有引導學生做這樣的探究。到了四年級上學期，學生對“積的變化規(guī)律”已經(jīng)有了較為豐富的認識基礎(chǔ)，教師可以引導學生通過對計算題的觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律、總結(jié)規(guī)律、應用規(guī)律，并滲透函數(shù)思想。

一、抽象概括，總結(jié)規(guī)律

在相應題組計算的過程中，讓學生自主地發(fā)現(xiàn)“積的變化規(guī)律”，是基本的教學思路。同時，不同的學生對于規(guī)律發(fā)現(xiàn)的水平是不一樣的。因此，教師可以在計算后讓學生充分表達自己的發(fā)現(xiàn)，有層次地展示學生的發(fā)現(xiàn)，在交流互動過程中逐步發(fā)現(xiàn)規(guī)律、總結(jié)規(guī)律。

（一）計算觀察，獲得結(jié)論

課始，教師出示如下兩組計算題，并提出問題：觀察這兩組計算題，你有什么發(fā)現(xiàn)？

對于這兩組題目，筆者預設，學生在觀察時會有兩種發(fā)現(xiàn)，一種發(fā)現(xiàn)是定性的，即每一組中的兩個算式間一個因數(shù)不變，另一個因數(shù)變大（或變?。?，積也變大（或變?。Ａ硪环N發(fā)現(xiàn)是定量的，即一個因數(shù)不變，另一個因數(shù)乘（或除以）幾，積也乘（或除以）幾。當然，學生在表達第二種規(guī)律時，一般會用具體的數(shù)據(jù)進行展示。在自主發(fā)現(xiàn)規(guī)律階段，這兩種發(fā)現(xiàn)應該都是正確的，都可以成為后續(xù)的學習資源。

（二）交流互動，分析結(jié)論

不同認知水平的學生，發(fā)現(xiàn)的規(guī)律也是不同的。整體展示學生發(fā)現(xiàn)的幾種典型的規(guī)律，在交流比較的過程中，逐步分析結(jié)論。

教師首先展示圍繞第1組題發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。

（1）一個因數(shù)不變，另一個因數(shù)變大，積也變大。

（2）一個因數(shù)不變，另一個因數(shù)乘幾，積也乘幾。展示上面的兩種發(fā)現(xiàn)后，教師追問：它們是由哪一組計算題歸納得到的？并在觀察發(fā)現(xiàn)第一種規(guī)律是正確的基礎(chǔ)上，進一步提問：第二種發(fā)現(xiàn)正確嗎？你能夠舉例說一說嗎？依據(jù)學生的說法，得到如圖1的板書。

圖1

進一步分析，這兩種規(guī)律，哪一種規(guī)律更符合實際。為什么？逐步引導學生認識到，第一種規(guī)律只是說明變化的情況，第二種規(guī)律還說明了具體的變化。所以第二種更符合實際。在此基礎(chǔ)上，依據(jù)這一種經(jīng)驗，再對第2題組發(fā)現(xiàn)的規(guī)律進行修正。

（三）舉例驗證，完善規(guī)律

上面的發(fā)現(xiàn)，還只停留于一個題組的歸納。鑒于此，可以讓學生再舉一組同類的算式，驗證總結(jié)的規(guī)律是否也同時成立。

在學生舉例的基礎(chǔ)上，教師舉出如圖2的例子。請學生分析圖2中的算式“同時除以0”是否有意義，從而進一步完善原來總結(jié)的規(guī)律。

圖2

觀察與分析、抽象與概括、猜想與驗證是學生發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律的基本方式。因此，教師在提供學習材料之后，應該讓學生有充足的獨立探究與交流反饋的時空，讓數(shù)學規(guī)律的發(fā)現(xiàn)過程成為學生數(shù)學學習經(jīng)驗的積累過程。

二、回溯舊知，溫故知新

“積的變化規(guī)律”的發(fā)現(xiàn)與總結(jié)，來自對已知的乘法題組?？偨Y(jié)出規(guī)律后，引導學生進一步回顧與“積的變化規(guī)律”有關(guān)的舊知，并用積的變化規(guī)律對新知進行理解，從而滲透函數(shù)思想。

（一）乘法口訣的回顧

圖3

教師出示二年級上學期學習乘法口訣時的一則教材內(nèi)容（如圖3），并提問：這是我們二年級學過的關(guān)于“5的乘法口訣”，你能夠發(fā)現(xiàn)其中含有的“積的變化規(guī)律”嗎？

學生指出，可以發(fā)現(xiàn)其中5不變，另一個因數(shù)乘2、3、4、5，積也分別乘2、3、4、5。

圖4

圖5

圖6

之后，教師把圖3進行調(diào)整，變成了如圖4的形式，然后追問：從左往右看，各有幾個5，積是多少？學生回答后得到圖5。最后教師添上一條直線（見圖6），讓學生直觀感受積的變化過程。

通過上面這些圖的演示，學生直觀地感受到5的個數(shù)與積的變化過程，整個教學滲透了正比例的函數(shù)思想。

（二）整十、整百數(shù)乘一位數(shù)口算的回顧

整十、整百、整千數(shù)乘一位數(shù)是多位數(shù)乘一位數(shù)的基礎(chǔ)，當時教學時，是通過數(shù)的意義來說明算理，并通過題組比較，總結(jié)簡便算法。在學習了“積的變化規(guī)律”后，可以引導學生從積的變化規(guī)律的角度來闡述算理。

圖7

教師出示圖7，提問：想一想，你能夠用“積的變化規(guī)律”來解釋簡算的道理嗎？學生回答后，再讓學生編制這樣的一組題目，讓同桌完成。

在數(shù)學學習時，許多規(guī)律在發(fā)現(xiàn)之前已經(jīng)在具體的數(shù)學情境中應用了，如在學習運算定律之前，在計算與解決問題時已經(jīng)被多次應用了。因此，在總結(jié)出相關(guān)的運算定律后，可以選擇合適的素材進行回顧反思。

（三）整十、整百數(shù)乘一位數(shù)筆算的回顧

在學習多位數(shù)乘一位數(shù)的筆算乘法中，當多位數(shù)末尾有零時，已經(jīng)學習了用豎式計算，當時更多地是從口算乘法中進行形式化的遷移，并沒有做算理上的解釋。在本節(jié)課中，可以出示如圖8的例題，讓學生用“積的變化規(guī)律”來解釋算理。

例6呈現(xiàn)的是計算方法上的優(yōu)化，是學習三位數(shù)乘兩位數(shù)例2的基礎(chǔ)。出示本題，除了重新解釋算理外，也為教學三位數(shù)乘兩位數(shù)末尾有零乘法做好鋪墊。

圖8

三、以舊促新，綜合應用

在數(shù)學學習過程中，有許多新知是在舊知的基礎(chǔ)上就某一個方面適當?shù)赝卣?，如從“兩位?shù)乘兩位數(shù)”到“三位數(shù)乘兩位數(shù)”；有的是對舊有的問題在新的知識背景下進行重新思考，如從“歸一應用問題”到“正比例應用問題”。對于前者，我們可以把“新授課”當作“練習課”來上，對于后者，我們則需要更新原有的思維方式，將思維方式進行優(yōu)化與提煉。在本節(jié)課中，這兩個方面的例子都出現(xiàn)了。

（一）滲透類比思想，學習“幾百幾十乘幾十”的筆算

顯然，人教版四年級上冊“三位數(shù)乘兩位數(shù)”例2（如圖9），與“整十、整百、整千數(shù)乘一位數(shù)”筆算是同一類型的。因此，回顧了后者，并用積的變化規(guī)律進行算理重構(gòu)后，我們順勢而為，出示了如下的題組，讓學生嘗試筆算。

圖9

這四個題目，前三題相互聯(lián)系，第（1）題是兩位數(shù)乘兩位數(shù)，第（2）（3）題是在第（1）題的基礎(chǔ)上出現(xiàn)了積末尾有零的情況。在學生計算之前，可以引導學生對這四道題進行比較，讓學生先擺出兩個因數(shù)相乘的豎式，然后說一說自己計算的思路，再整體計算。如其中的第（2）題，學生會有如圖9的兩種擺法。整體展示后，讓學生說一說哪一種擺法計算時會簡便一些，這樣計算的理由是什么？通過交流討論，統(tǒng)一豎式的擺法后，自主計算，反饋糾錯。反饋時可以特別討論第（3）題兩個因數(shù)末尾均有一個0時積為什么要添上兩個0。

這樣的編排結(jié)構(gòu)，把因數(shù)末尾有零的“三位數(shù)乘兩位數(shù)”的筆算作為“積的變化規(guī)律”的應用，更有利于促進學生利用類比思想解決問題。

（二）利用幾何直觀，學習求“長方形擴大后的面積”新方法

圖10

如圖10，是利用“積的變化規(guī)律”解決實際問題的一個很好的例子。但是，在獨立完成時，大多數(shù)學生是根據(jù)長方形的面積與寬先求出長方形的長，再用長乘增加后的寬來求出“擴大后的面積”。如何引導學生根據(jù)增加后的寬與原來的寬的倍數(shù)關(guān)系來求擴大后的面積呢？采用幾何直觀是一種好方法。

在實際教學時，教師先請學生把題目中的信息用圖畫出來（如圖11），然后再依據(jù)圖示來解決問題。這時，大部分學生能夠同時用如下兩種方法計算，其中第二種方法就是“積的變化規(guī)律”的具體應用。

圖11

方法1:200÷8×24

方法2:200×（24÷8）

把文字信息用圖來表達，可以發(fā)揮“幾何直觀”的優(yōu)點，發(fā)現(xiàn)更加合理、簡捷的解決問題的思路。

（三）借助表格信息，拓展“積的變化規(guī)律”

前面學習的“積的變化規(guī)律”，實質(zhì)上是正比例函數(shù)的模型。那么，當積不變時，兩個因數(shù)又會怎樣變化呢？這既可以看成“積的變化規(guī)律”的拓展，也可以表述成“因數(shù)的變化規(guī)律”，即反比例函數(shù)的模型。就簡便運算而言，運用這一個模型，在后續(xù)學習如“1800×25”這類題目的簡便計算時，就可作為簡算的依據(jù)。

為了讓學生探究這一種規(guī)律，我們設計了如下一份表格。

因數(shù)因數(shù)積100 6 10 60 50 12 200 3

先請學生計算出前面4組因數(shù)的積，然后請學生說一說有什么發(fā)現(xiàn)。根據(jù)“積的變化規(guī)律”的學習經(jīng)驗，逐步概括出“因數(shù)的變化規(guī)律”，并依據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，填寫最后一組因數(shù)和積。

綜上可以體會到，數(shù)學知識間是有內(nèi)在聯(lián)系的，教師在分析一個課時內(nèi)容時，通過回溯，不僅可以了解學生的學習基礎(chǔ)，還可以對原有知識進行進一步分析、提煉，真正做到“溫故而知新”；同時，還可以溝通后續(xù)學習的內(nèi)容，適時滲透數(shù)學思想方法，積累數(shù)學活動經(jīng)驗。