數(shù)學(xué)中的“異想天開”

□ 郜舒竹

按照百度百科的解釋，“異想天開”這一成語具有貶義，指的是在上天的啟示和指引下，所產(chǎn)生的不可思議或不符合實際的想法。事實上，如果把“異想（Think Different）”看作是求異的思維過程，與求同的思維過程相對，在思考過程中追求與眾不同、不同尋常的想法，那么“異想天開”就應(yīng)當(dāng)成為褒義詞，是當(dāng)今學(xué)校教育特別是課程與教學(xué)應(yīng)當(dāng)重視的培養(yǎng)目標(biāo)。

語文教科書中“司馬光砸缸”的故事，尋常的想法是去水中撈人，司馬光不同尋常的想法與做法不是去水中救人，而是通過破缸，快捷地實現(xiàn)救人的目的。同樣在語文教科書中“圍魏救趙”的歷史故事，目的是營救趙國，自然的思維是迅速派兵趕往趙國，用武力達(dá)到救趙的目的。而孫臏不同尋常的想法是通過圍魏，進(jìn)而救趙，從而不戰(zhàn)而勝。這種救人不撈人、救趙不去趙的想法都具有異想天開的特征。數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史中，類似的例子也很多。

一、賭注分配問題

17世紀(jì)的歐洲，盛行博彩業(yè)，人們通過下賭注的方式進(jìn)行諸如擲色子的對弈游戲，根據(jù)點數(shù)多少分配賭注。當(dāng)時著名的法國數(shù)學(xué)家帕斯卡（Blaise Pascal：1623—1662）和費爾瑪（Pierre de Fermat：1607—1665)），曾經(jīng)在相互通信中討論一個如何公平分配賭注的問題。由于這一問題成為了概率論研究的起源與基礎(chǔ)，因此流傳至今，被命名為“賭注分配問題”，英譯為“Problem of Division of Stakes”或“Problem of Points”。

問題的大意是：甲、乙二人進(jìn)行對弈游戲，游戲的規(guī)則為：每一盤贏者得1分，輸者得0分。先得3分者為贏家，獲得全部賭注。假設(shè)甲、乙二人每人下賭注30元。當(dāng)?shù)谌P結(jié)束時，甲得2分，乙得1分，未分勝負(fù)。此時游戲因故停止，二人需要公平分配60元賭注后各自離開。那么此時這60元賭注，應(yīng)當(dāng)如何分配最公平？［1］

之前很多人在游戲中都遇到過此類問題，通常的想法和做法是，按照二人已經(jīng)獲得的得分按比例分配。因為此時甲得2分，乙得1分。因此應(yīng)當(dāng)把60元平均分為3份，甲分得其中的2份，乙分得其中的1份。也就是甲應(yīng)當(dāng)分得60元的三分之二，40元；乙應(yīng)當(dāng)分得60元的三分之一，20元。

帕斯卡認(rèn)為這樣的分配并不公平，對弈游戲尚未結(jié)束，公平的分配不僅要考慮目前輸贏的結(jié)果，還要考慮未完成對弈中，輸贏可能性的大小。需要進(jìn)一步研究在目前甲2分、乙1分的情況下，如果對弈過程繼續(xù)下去，二人勝負(fù)的可能性分別是怎樣的？

假定二人繼續(xù)第四盤對弈，會出現(xiàn)兩種可能的結(jié)果，分別是甲贏乙輸和乙贏甲輸。如果甲贏，那么游戲結(jié)束，甲為贏家，獲得全部60元賭注。如果乙贏，二人都得2分，應(yīng)當(dāng)平分賭注，每人分別獲得30元。因此對于甲來說，第四盤無論輸贏，60元中的30元是確定要獲得的，而另外30元是由二人第四盤對弈結(jié)果決定的，甲、乙二人第四盤輸贏的可能性（概率）是相等的，都是二分之一。因此這30元二人應(yīng)當(dāng)平均分配，各得15元。因此公平的分配應(yīng)當(dāng)是甲得（30＋15＝）45元，乙得15元。如果用樹圖，可以更加清晰地看出未完成游戲輸贏可能性的大小關(guān)系。

圖1 輸贏可能性示意圖

問題的思考中，賭注應(yīng)當(dāng)公平分配是沒有異議的，因此“公平分配”是解決問題的目標(biāo)，達(dá)到這一目標(biāo)的方法并不唯一確定。尋常的想法和做法是按照已經(jīng)獲得的得分，按比例分配。而帕斯卡的想法與之不同，是在當(dāng)前結(jié)果的基礎(chǔ)上，預(yù)測尚未發(fā)生游戲結(jié)果的可能性大小。也就是說，如果游戲繼續(xù)下去，甲最終獲勝的可能性是四分之三，而不是目前的三分之二；乙最終獲勝的可能性是四分之一，而不是現(xiàn)在的三分之一。由于將已經(jīng)發(fā)生的結(jié)果和尚未發(fā)生的結(jié)果的可能性綜合考慮，因此使得分配更加公平。

在此基礎(chǔ)上，帕斯卡對問題進(jìn)行了推廣。如果在第二盤結(jié)束時停止游戲，此時甲兩盤全勝得2分、乙兩盤全輸?shù)?分。那么60元賭注應(yīng)當(dāng)如何分配？如果僅按照已有結(jié)果分配，此時似乎應(yīng)當(dāng)甲獲得全部60元賭注，乙得0分自然應(yīng)當(dāng)空手而歸。但帕斯卡按照預(yù)測未完成游戲可能性的方法，得到了不一樣的分配結(jié)果。

可以設(shè)想第三盤游戲的結(jié)果，如果甲贏，那么甲三盤全勝，得到3分，游戲結(jié)束，甲為贏家，獲得全部60元賭注。如果甲輸乙贏，那么就轉(zhuǎn)化為前面甲2分、乙1分的情況，甲應(yīng)得45元，乙應(yīng)得15元。因此第三盤甲無論輸贏，其中的45元是確定得到的，需要平均分配的是15元。因此甲應(yīng)分得（45＋7.5＝）52.5元，乙應(yīng)分得7.5元。

進(jìn)一步設(shè)想，如果在甲1分、乙0分時停止游戲，賭注又應(yīng)當(dāng)如何分配？用同樣的方法，設(shè)想第二盤如果甲贏，那么問題轉(zhuǎn)化為甲2分、乙0分的情況，甲應(yīng)分得52.5元，乙應(yīng)分得7.5元。如果乙贏，二人得分相同，應(yīng)當(dāng)各自分得30元。因此30元是甲確定得到的，二人應(yīng)當(dāng)平分52.5元與30元相差的部分22.5元，因此甲應(yīng)分得（30＋11.25=）41.25元，乙應(yīng)分得18.75元。

帕斯卡與費爾瑪與眾不同的異想，不僅解決了困惑已久的問題，而且為數(shù)學(xué)中可能性問題的研究奠定了基礎(chǔ)。概率論中“數(shù)學(xué)期望”的概念，就源于這一問題的研究。

二、雞兔同籠問題

在數(shù)學(xué)課程中，雞兔同籠問題作為問題解決的教學(xué)內(nèi)容，以各種形式呈現(xiàn)。在2001年出版的《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗稿）》以及2011年出版的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中，都以案例或例題形式提及雞兔同籠問題。在小學(xué)階段采用探索規(guī)律的方法解決，而初中階段用代數(shù)的方法解決。

雞兔同籠問題所描述的情境是，二足一頭的雞與四足一頭的兔在同一籠中。通常敘述為：雞和兔在同一個籠子中，總頭數(shù)為35，總足數(shù)為94。問雞和兔各有多少只？對于這一問題最為經(jīng)典的算法分別為《孫子算經(jīng)》中介紹的半足術(shù)，以及《算法統(tǒng)宗》中的倍頭法。

半足術(shù)的算法為：“半其足，以頭除足，以足除頭即得?！保?］也就是將籠中雞和兔的總足數(shù)94取半成為47。此時相當(dāng)于籠中的雞變?yōu)橐蛔阋活^，兔變?yōu)槎阋活^。此時思維中出現(xiàn)的是“一頭一足的雞”和“一頭二足的兔”，也就是思維中出現(xiàn)了“是雞又非雞”和“是兔又非兔”的情境。

倍頭法的算法是：“倍頭，減足，折半是兔?！保?］“倍頭”就是把總頭數(shù)35加倍變成70；“減足”是用總足數(shù)94減去70得到24；“折半”是取24的一半得到兔子的只數(shù)為12。倍頭法的第二種算法是先求雞的只數(shù)，算法為“四頭，減足，折半是雞”?！八念^”就是用4乘總頭數(shù)35得到140；“減足”是用140減去總足數(shù)94得到46；“折半”是取46的一半得到雞的只數(shù)23。與半足術(shù)類似，將雞與兔總頭數(shù)加倍，相當(dāng)于籠中雞和兔都變成了“二頭”或“四頭”，同樣也出現(xiàn)了雞非雞、兔非兔的情境。

按照通常的思維，這種情況是難以理解和解釋的。通常的思維一般遵循形式邏輯的基本規(guī)律，即同一律（Law of Identity）、無矛盾律（Non-Contradiction Law）和排中律（Law of Excluded Middle）。同一律要求同一思維過程中，任何思維對象應(yīng)當(dāng)保持一致，否則就會出現(xiàn)偷換概念的問題；無矛盾律要求任何一個判斷或命題不能既真又假，也就是說任何一個判斷如果為真，那么其相反的判斷一定為假；在此基礎(chǔ)上，排中律指的是一個判斷或命題或真或假，沒有第三種情況。［4］在雞兔同籠問題的情境中，默認(rèn)為真的判斷至少有如下三條：

判斷1：籠中動物非雞即兔，沒有第三種動物。

判斷2：凡雞都是一頭二足，不是一頭二足的動物一定不是雞。

判斷3：凡兔都是一頭四足，不是一頭四足的動物一定不是兔。

如果說半足術(shù)中所出現(xiàn)的“一頭一足”是雞，“一頭二足”是兔，就是承認(rèn)了判斷2和判斷3既真又假，違背了無矛盾律。

如果不承認(rèn)一頭一足的是雞，也不承認(rèn)一頭二足的是兔，就出現(xiàn)了同一思維過程中，雞和兔概念的屬性發(fā)生了改變，違背了同一律的要求。如果把一頭一足（雞）以及一頭二足（兔）的對象理解為既非雞又非兔的第三種動物，又違背了判斷1所說的籠中動物非雞即兔，也就是違背了排中律。

因此半足術(shù)和倍頭法都違背了通常形式邏輯的思維規(guī)律，具有與眾不同、不同尋常的異想特征。這樣的異想不能被認(rèn)為是錯誤的思維，而應(yīng)當(dāng)看作是對通常邏輯思維的拓展與提升，應(yīng)當(dāng)認(rèn)為是我國歷史文化中人們智慧的體現(xiàn)。同時也說明，基于形式邏輯的思維方式是有局限性的。

從人類歷史發(fā)展的視角看，人的思維形式多種多樣。比如，以辯證邏輯為基礎(chǔ)的辯證思維，是以辯證唯物主義普遍聯(lián)系和運(yùn)動變化的觀念為基礎(chǔ)，遵循對立統(tǒng)一（Unity of Opposite）的思維規(guī)律。認(rèn)為任何事物的存在，一定伴隨著對立一方的存在。對立的雙方相互排斥，同時也互為條件、互為因果。對立的雙方在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化。在思維過程中，“是”與“非”并非處于截然分離的狀態(tài)，存在中間地帶（Middle Ground）或過渡區(qū)（TransitionalArea），思維對象可能同真、共存和相互轉(zhuǎn)化。［5］

半足術(shù)中出現(xiàn)的“是雞又非雞”的情境，是解決問題過程中思維的產(chǎn)物，是聯(lián)結(jié)“是雞”與“非雞”的中間地帶或過渡區(qū)，作為思維中的存在是合理的。這種是非相容的思維方式可以概括為：是與非可以同地并存、是與非可以同時為真、是與非可以相互轉(zhuǎn)化。因此可以說，半足術(shù)與倍頭法都是通過不同尋常的異想得到的算法，其中蘊(yùn)含著辯證思維的特征。

三、將異想融入數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)

辯證思維對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中多視角的理解以及方法多樣化，具有廣泛的實際意義。比如在整數(shù)除法運(yùn)算中，有“余數(shù)要比除數(shù)小”的規(guī)定，與這個判斷相對的判斷是“余數(shù)不比除數(shù)小”，其中包含著兩種情況，一種是“余數(shù)等于除數(shù)”，另一種是“余數(shù)大于除數(shù)”。按照形式邏輯的無矛盾律，如果規(guī)定“余數(shù)要比除數(shù)小”，那么就應(yīng)當(dāng)否定余數(shù)等于或大于除數(shù)的情況。對于2÷2，如果遵循余數(shù)要比除數(shù)小，那么就是商1余0，寫成豎式形式就如圖2所示。

圖2

如果按照多視角的辯證思維，可以對此產(chǎn)生異想，余數(shù)未必一定小于除數(shù)，嘗試一下余數(shù)等于除數(shù)會怎樣？將2÷2=1……0改寫為2÷2=0……2，也就是商0余2。寫為豎式如圖3所示。

圖3

這個豎式（如圖4）看起來沒有什么意義，如果按照小數(shù)除法繼續(xù)這個豎式的計算，就會得到新的發(fā)現(xiàn)，這個異想天開出來的計算過程實際上從除法計算的角度證明了

圖4

在數(shù)學(xué)中，許多人為的判斷并不是是非分明的，往往具有可能這樣，也可能那樣的特征。［6］數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生經(jīng)歷這種具有異想特征的思維過程。

再比如在數(shù)學(xué)課程中，在與“角”有關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)中，有一個“平角”的概念。直觀上看平角是一條直線，并不具有通常角的形象，按照形式邏輯的思維方式，就會在思維中產(chǎn)生“平角不是角”的意識。而用辯證思維的眼光看，直觀上的“非角”可以與思維中的“是角”并存，用運(yùn)動與變化的眼光把直線看作是小于180度的角與大于180度的角相互轉(zhuǎn)化需要經(jīng)過的一個瞬間，這樣就實現(xiàn)了“非角”與“是角”的相容和統(tǒng)一。

辯證思維對于探索解題方法，實現(xiàn)方法多樣化，也同樣具有重要作用。比如小學(xué)六年級分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中一個經(jīng)典的相遇問題：從小紅家到小剛家步行需要10分鐘，從小剛家到小紅家需要15分鐘。二人同時從家出發(fā)，多少分鐘可以相遇？

通常的算法是，設(shè)小紅家與小剛家之間的距離為“1”，那么小紅步行速度為，小剛步行速度為，二人相遇所需要的時間為

這一算法是將思維局限于問題所敘述的“兩家之間”的情境。依照是非相容的辯證思維，可以虛擬題目中沒有的情境，拓展“兩家之間”的情境。比如可以設(shè)想，如果二人都按照同樣速度步行30分鐘，那么小紅步行距離就是兩家之間距離的3倍，小剛步行距離就是兩家之間距離的2倍。說明在相同時間內(nèi)，小紅和小剛的步行距離是3份與2份的關(guān)系。如果把兩家之間距離視為5份，相遇時小紅走了其中的3份，小剛走了其中的2份。那么小紅步行時間是10分鐘的小剛步行時間是15分鐘的，都是6分鐘。

這樣的思考實質(zhì)上是將題目中沒有的情境視為“有”，在思維中出現(xiàn)了“真情境”與“假情境”的共存與相容，與帕斯卡研究賭注分配問題的思維方式類似，都是虛擬出未發(fā)生事件的各種可能性。這樣的思維方式符合辯證唯物主義，用運(yùn)動與變化的眼光看待事物。

如今數(shù)學(xué)教學(xué)倡導(dǎo)變教為學(xué)，將以教師教的活動為主的課堂教學(xué)改變?yōu)橐詫W(xué)生學(xué)習(xí)活動為主的課堂教學(xué)。數(shù)學(xué)教學(xué)不再是教師將教科書中單一的、確定的內(nèi)容傳授給學(xué)生，而是引導(dǎo)學(xué)生積極主動地開展學(xué)習(xí)活動。在這樣的過程中，學(xué)生就會產(chǎn)生各式各樣異想的結(jié)果。

美國蘋果公司在題為“異想”的廣告詞中說：異想的人狂放不羈、不合主流、叛逆?zhèn)鹘y(tǒng)、制造麻煩、特立獨行。但他們是改變世界、推動進(jìn)步的人。教師在面對學(xué)生異想的結(jié)果時，如何對待有異想的學(xué)生？如何應(yīng)對學(xué)生異想的結(jié)果？這將成為數(shù)學(xué)教學(xué)改革需要研究的課題。